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三、判断题
1. 0 的平方根是 0,0 的算术平方根也是 0. （
2. $(-2)^2$ 的平方根是-2. （
3. $\sqrt{a}$ 是 $a$ 的算术平方根. （
4. 64 的立方根是$\pm4$. （
5. -10 是 1 000 的一个立方根. （
6. 无理数也可以用数轴上的点表示出来. （
1. 0 的平方根是 0,0 的算术平方根也是 0. （
√
）2. $(-2)^2$ 的平方根是-2. （
×
）3. $\sqrt{a}$ 是 $a$ 的算术平方根. （
×
）4. 64 的立方根是$\pm4$. （
×
）5. -10 是 1 000 的一个立方根. （
×
）6. 无理数也可以用数轴上的点表示出来. （
√
）答案
1. $\surd$ 2. $×$ 3. $×$ 4. $×$ 5. $×$ 6. $\surd$
解析
【分析】
做这类判断题需紧扣平方根、算术平方根、立方根、无理数的核心定义与性质，逐题对应概念验证说法是否正确：①平方根定义：若$x^2=a$，则$x$叫$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；算术平方根是$a$的非负平方根，且只有非负数才有算术平方根；②立方根定义：若$x^3=a$，则$x$叫$a$的立方根，任意实数都只有1个立方根，正数立方根为正，负数立方根为负，0的立方根是0；③实数与数轴上的点一一对应，无理数属于实数，可在数轴上表示。
【解析】
1. 根据相关定义规定，0的平方根是0，算术平方根也是0，说法符合规则，因此正确。
2. 先计算得$(-2)^2=4$，4的平方根是$\pm2$，不是只有-2，因此说法错误。
3. 算术平方根$\sqrt{a}$有意义的前提是被开方数$a≥0$，题目未说明$a$的取值范围，当$a＜0$时$\sqrt{a}$无意义，不是$a$的算术平方根，因此说法错误。
4. 根据立方根性质，正数的立方根是正数，计算得$4^3=64$，$(-4)^3=-64≠64$，因此64的立方根只有4，因此说法错误。
5. 计算得$(-10)^3=-1000≠1000$，1000的立方根是10，因此-10不是1000的立方根，因此说法错误。
6. 实数与数轴上的点一一对应，无理数是实数的一部分，因此无理数可以用数轴上的点表示，因此说法正确。
【答案】
1. $\surd$ 2. $×$ 3. $×$ 4. $×$ 5. $×$ 6. $\surd$
【知识点】
平方根与算术平方根，立方根的性质，实数与数轴的关系
【点评】
本题主要考查实数相关的基础概念辨析，解题的关键是准确区分平方根和立方根的性质差异，牢记算术平方根、平方根、立方根的适用条件，避免因概念混淆出现判断错误。
【难度系数】
0.8
做这类判断题需紧扣平方根、算术平方根、立方根、无理数的核心定义与性质，逐题对应概念验证说法是否正确：①平方根定义：若$x^2=a$，则$x$叫$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；算术平方根是$a$的非负平方根，且只有非负数才有算术平方根；②立方根定义：若$x^3=a$，则$x$叫$a$的立方根，任意实数都只有1个立方根，正数立方根为正，负数立方根为负，0的立方根是0；③实数与数轴上的点一一对应，无理数属于实数，可在数轴上表示。
【解析】
1. 根据相关定义规定，0的平方根是0，算术平方根也是0，说法符合规则，因此正确。
2. 先计算得$(-2)^2=4$，4的平方根是$\pm2$，不是只有-2，因此说法错误。
3. 算术平方根$\sqrt{a}$有意义的前提是被开方数$a≥0$，题目未说明$a$的取值范围，当$a＜0$时$\sqrt{a}$无意义，不是$a$的算术平方根，因此说法错误。
4. 根据立方根性质，正数的立方根是正数，计算得$4^3=64$，$(-4)^3=-64≠64$，因此64的立方根只有4，因此说法错误。
5. 计算得$(-10)^3=-1000≠1000$，1000的立方根是10，因此-10不是1000的立方根，因此说法错误。
6. 实数与数轴上的点一一对应，无理数是实数的一部分，因此无理数可以用数轴上的点表示，因此说法正确。
【答案】
1. $\surd$ 2. $×$ 3. $×$ 4. $×$ 5. $×$ 6. $\surd$
【知识点】
平方根与算术平方根，立方根的性质，实数与数轴的关系
【点评】
本题主要考查实数相关的基础概念辨析，解题的关键是准确区分平方根和立方根的性质差异，牢记算术平方根、平方根、立方根的适用条件，避免因概念混淆出现判断错误。
【难度系数】
0.8
四、解答题
1. 求下列各式中$ x $的值：
(1)$ 9x^2 = 16 $；
(2)$ (3x + 8)^3 = -64 $。
1. 求下列各式中$ x $的值：
(1)$ 9x^2 = 16 $；
(2)$ (3x + 8)^3 = -64 $。
答案
解:(1)$\because 9x^2 = 16$,
$\therefore x^2 = \dfrac{16}{9}$.
$\therefore x = \pm\dfrac{4}{3}$.
(2)$\because (3x+8)^3 = -64$,
$\therefore 3x+8 = \sqrt[3]{-64}$,即 $3x+8 = -4$.
$\therefore x = -4$.
$\therefore x^2 = \dfrac{16}{9}$.
$\therefore x = \pm\dfrac{4}{3}$.
(2)$\because (3x+8)^3 = -64$,
$\therefore 3x+8 = \sqrt[3]{-64}$,即 $3x+8 = -4$.
$\therefore x = -4$.
解析
【分析】
这道题分为两小问，分别对应平方根和立方根的应用，解题思路如下：(1)对于含$x^2$的等式，首先将$x^2$的系数化为1，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，即可求出$x$的取值；(2)对于含三次方的等式，首先根据立方根的定义对等式两边同时开立方，将三次式转化为常见的一元一次方程，再按一元一次方程的解法步骤求解即可得到$x$的值。
【解析】
(1) $\because 9x^2 = 16$,
$\therefore$ 等式两边同时除以9，得$x^2 = \dfrac{16}{9}$,
$\therefore$ 由平方根的定义可得$x = \pm\dfrac{4}{3}$.
(2) $\because (3x+8)^3 = -64$,
$\therefore$ 对等式两边同时开立方，得$3x+8 = \sqrt[3]{-64}$，即 $3x+8 = -4$,
移项得$3x=-4-8=-12$,
系数化为1得$x = -4$.
【答案】
(1)$x=\pm\dfrac{4}{3}$；(2)$x=-4$
【知识点】
平方根的运算；立方根的运算；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题时需注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏写负的平方根；立方根的符号与被开方数一致，计算时注意符号的准确性，解一元一次方程时移项要记得变号。
【难度系数】
0.8
这道题分为两小问，分别对应平方根和立方根的应用，解题思路如下：(1)对于含$x^2$的等式，首先将$x^2$的系数化为1，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，即可求出$x$的取值；(2)对于含三次方的等式，首先根据立方根的定义对等式两边同时开立方，将三次式转化为常见的一元一次方程，再按一元一次方程的解法步骤求解即可得到$x$的值。
【解析】
(1) $\because 9x^2 = 16$,
$\therefore$ 等式两边同时除以9，得$x^2 = \dfrac{16}{9}$,
$\therefore$ 由平方根的定义可得$x = \pm\dfrac{4}{3}$.
(2) $\because (3x+8)^3 = -64$,
$\therefore$ 对等式两边同时开立方，得$3x+8 = \sqrt[3]{-64}$，即 $3x+8 = -4$,
移项得$3x=-4-8=-12$,
系数化为1得$x = -4$.
【答案】
(1)$x=\pm\dfrac{4}{3}$；(2)$x=-4$
【知识点】
平方根的运算；立方根的运算；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题时需注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏写负的平方根；立方根的符号与被开方数一致，计算时注意符号的准确性，解一元一次方程时移项要记得变号。
【难度系数】
0.8
2. 计算：$(-2)^3 + \sqrt{(-4)^2} + \sqrt[3]{(-4)^3} × (-\frac{1}{2})^2 - \sqrt[3]{27}$.
答案
解:原式$=-8+4-4×\dfrac{1}{4}-3=-8$.
解析
【分析】
本题属于实数混合运算题，解题时需遵循实数混合运算的运算顺序：先计算乘方、开方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算。解题时先分别算出每一个乘方、开方项的具体值，再代入原式按顺序计算即可，计算过程中要重点注意符号的处理，避免因符号判断错误失分。
【解析】
解：先分别计算各乘方、开方项的值：
$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$
$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$（算术平方根的结果为非负数）
$\sqrt[3]{(-4)^3}=-4$（立方根的符号与被开方数符号一致）
$(-\frac{1}{2})^2=(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$
$\sqrt[3]{27}=3$
将上述结果代入原式按运算顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=-8 + 4 + (-4)×\frac{1}{4} - 3\\&=-8 + 4 - 1 - 3\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
$-8$
【知识点】
乘方运算、开方运算、实数混合运算顺序
【点评】
本题是实数运算的基础题，易错点为算术平方根、立方根的符号判断，以及乘方运算的符号处理，只要牢记各类运算法则，严格按运算顺序计算就能正确求解。
【难度系数】
0.7
本题属于实数混合运算题，解题时需遵循实数混合运算的运算顺序：先计算乘方、开方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算。解题时先分别算出每一个乘方、开方项的具体值，再代入原式按顺序计算即可，计算过程中要重点注意符号的处理，避免因符号判断错误失分。
【解析】
解：先分别计算各乘方、开方项的值：
$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$
$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$（算术平方根的结果为非负数）
$\sqrt[3]{(-4)^3}=-4$（立方根的符号与被开方数符号一致）
$(-\frac{1}{2})^2=(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$
$\sqrt[3]{27}=3$
将上述结果代入原式按运算顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=-8 + 4 + (-4)×\frac{1}{4} - 3\\&=-8 + 4 - 1 - 3\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
$-8$
【知识点】
乘方运算、开方运算、实数混合运算顺序
【点评】
本题是实数运算的基础题，易错点为算术平方根、立方根的符号判断，以及乘方运算的符号处理，只要牢记各类运算法则，严格按运算顺序计算就能正确求解。
【难度系数】
0.7
3. 已知$\sqrt{5.217}\approx2.284,\sqrt{52.17}\approx7.223$.
(1)求$\sqrt{0.05217}$和$\sqrt{5217}$的值；
(2)若$\sqrt{x}\approx0.2284$,求$x$的值.
(1)求$\sqrt{0.05217}$和$\sqrt{5217}$的值；
(2)若$\sqrt{x}\approx0.2284$,求$x$的值.
答案
(1) $\sqrt{0.052\ 17} \approx 0.228\ 4$, $\sqrt{5\ 217} \approx 72$.
(2) $x=0.052\ 17$.
(2) $x=0.052\ 17$.
解析
【分析】
本题考查算术平方根的小数点移动规律的应用，解题思路如下：首先回忆核心规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，它的算术平方根的小数点就对应向左（或向右）移动1位。（1）中求$\sqrt{0.05217}$，观察可知0.05217是把5.217的小数点向左移动2位得到的，对应算术平方根的小数点向左移动1位即可；求$\sqrt{5217}$，观察可知5217是把52.17的小数点向右移动2位得到的，对应算术平方根的小数点向右移动1位即可。（2）中已知$\sqrt{x}\approx0.2284$，观察可知0.2284是把2.284的小数点向左移动1位得到的，对应被开方数$x$的小数点向左移动2位即可求出结果。
【解析】
解：(1) 根据算术平方根小数点移动规律：被开方数小数点向左移动2位，算术平方根小数点向左移动1位，
已知$\sqrt{5.217}\approx2.284$，因此$\sqrt{0.05217}\approx2.284÷10=0.2284$；
根据规律：被开方数小数点向右移动2位，算术平方根小数点向右移动1位，
已知$\sqrt{52.17}\approx7.223$，因此$\sqrt{5217}\approx7.223×10=72.23\approx72$。
(2) 已知$\sqrt{x}\approx0.2284=2.284÷10$，算术平方根小数点向左移动了1位，因此对应的被开方数小数点要向左移动2位，
已知$\sqrt{5.217}\approx2.284$，因此$x\approx5.217÷100=0.05217$。
【答案】
(1) $\sqrt{0.05217} \approx 0.2284$, $\sqrt{5217} \approx 72$；
(2) $x=0.05217$
【知识点】
算术平方根性质，小数点移动规律，开平方运算
【点评】
本题是算术平方根规律的典型应用，解题的核心是准确把握被开方数与算术平方根小数点移动位数的对应关系，注意移动方向不要混淆，掌握规律后可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题考查算术平方根的小数点移动规律的应用，解题思路如下：首先回忆核心规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，它的算术平方根的小数点就对应向左（或向右）移动1位。（1）中求$\sqrt{0.05217}$，观察可知0.05217是把5.217的小数点向左移动2位得到的，对应算术平方根的小数点向左移动1位即可；求$\sqrt{5217}$，观察可知5217是把52.17的小数点向右移动2位得到的，对应算术平方根的小数点向右移动1位即可。（2）中已知$\sqrt{x}\approx0.2284$，观察可知0.2284是把2.284的小数点向左移动1位得到的，对应被开方数$x$的小数点向左移动2位即可求出结果。
【解析】
解：(1) 根据算术平方根小数点移动规律：被开方数小数点向左移动2位，算术平方根小数点向左移动1位，
已知$\sqrt{5.217}\approx2.284$，因此$\sqrt{0.05217}\approx2.284÷10=0.2284$；
根据规律：被开方数小数点向右移动2位，算术平方根小数点向右移动1位，
已知$\sqrt{52.17}\approx7.223$，因此$\sqrt{5217}\approx7.223×10=72.23\approx72$。
(2) 已知$\sqrt{x}\approx0.2284=2.284÷10$，算术平方根小数点向左移动了1位，因此对应的被开方数小数点要向左移动2位，
已知$\sqrt{5.217}\approx2.284$，因此$x\approx5.217÷100=0.05217$。
【答案】
(1) $\sqrt{0.05217} \approx 0.2284$, $\sqrt{5217} \approx 72$；
(2) $x=0.05217$
【知识点】
算术平方根性质，小数点移动规律，开平方运算
【点评】
本题是算术平方根规律的典型应用，解题的核心是准确把握被开方数与算术平方根小数点移动位数的对应关系，注意移动方向不要混淆，掌握规律后可快速求解。
【难度系数】
0.7
五、趣味题
由10个圆排成1个三角形,你能否只移动其中的3个圆,就让这个三角形上下颠倒呢?
由10个圆排成1个三角形,你能否只移动其中的3个圆,就让这个三角形上下颠倒呢?
答案
解：
原三角形共4层，从上到下各层圆数为1、2、3、4个，总计10个。
颠倒后的三角形需从上到下各层圆数为4、3、2、1个，仅移动3个圆即可实现：
1. 将原最上层（第1层）的1个圆，移到原最下层（第4层）的正下方，作为新第4层；
2. 将原最下层左侧的1个圆，移到原第2层的左侧，作为新第1层的左端点；
3. 将原最下层右侧的1个圆，移到原第2层的右侧，作为新第1层的右端点；
此时形成的三角形即为上下颠倒的三角形，仅移动了3个圆。
答：能，按上述方法移动3个圆即可让三角形上下颠倒。
原三角形共4层，从上到下各层圆数为1、2、3、4个，总计10个。
颠倒后的三角形需从上到下各层圆数为4、3、2、1个，仅移动3个圆即可实现：
1. 将原最上层（第1层）的1个圆，移到原最下层（第4层）的正下方，作为新第4层；
2. 将原最下层左侧的1个圆，移到原第2层的左侧，作为新第1层的左端点；
3. 将原最下层右侧的1个圆，移到原第2层的右侧，作为新第1层的右端点；
此时形成的三角形即为上下颠倒的三角形，仅移动了3个圆。
答：能，按上述方法移动3个圆即可让三角形上下颠倒。
解析
【分析】
首先观察原三角形的结构：原三角形共4层，从上到下每层圆的数量依次为1、2、3、4个。要将三角形上下颠倒，目标三角形的每层数量从上到下需要变为4、3、2、1个。我们只需对比原图形和目标图形的每层数量差异，把原图形中多余位置的圆移动到缺少的位置即可，总圆数固定为10个，经计算差异刚好只需移动3个圆就能满足要求。
【解析】
原三角形共4层，从上到下各层圆数为1、2、3、4个，总计10个。颠倒后的三角形需从上到下各层圆数为4、3、2、1个，仅移动3个圆即可实现：
1. 将原最上层（第1层）的1个圆，移到原最下层（第4层）的正下方，作为新三角形的最底层（第4层）；
2. 将原最下层左侧的1个圆，移到原第2层的左侧，作为新三角形最上层（第1层）的左端点；
3. 将原最下层右侧的1个圆，移到原第2层的右侧，作为新三角形最上层（第1层）的右端点；
此时形成的三角形即为上下颠倒的三角形，仅移动了3个圆。
【答案】
能，按上述方法移动3个圆即可让三角形上下颠倒。
【知识点】
图形变换，空间想象，规律探究
【点评】
这是一道趣味性较强的图形操作题，不需要复杂计算，主要考查对图形结构的观察对比能力和空间想象能力，通过对比原图形和目标图形的结构差异就能快速找到移动方案。
【难度系数】
0.6
首先观察原三角形的结构：原三角形共4层，从上到下每层圆的数量依次为1、2、3、4个。要将三角形上下颠倒，目标三角形的每层数量从上到下需要变为4、3、2、1个。我们只需对比原图形和目标图形的每层数量差异，把原图形中多余位置的圆移动到缺少的位置即可，总圆数固定为10个，经计算差异刚好只需移动3个圆就能满足要求。
【解析】
原三角形共4层，从上到下各层圆数为1、2、3、4个，总计10个。颠倒后的三角形需从上到下各层圆数为4、3、2、1个，仅移动3个圆即可实现：
1. 将原最上层（第1层）的1个圆，移到原最下层（第4层）的正下方，作为新三角形的最底层（第4层）；
2. 将原最下层左侧的1个圆，移到原第2层的左侧，作为新三角形最上层（第1层）的左端点；
3. 将原最下层右侧的1个圆，移到原第2层的右侧，作为新三角形最上层（第1层）的右端点；
此时形成的三角形即为上下颠倒的三角形，仅移动了3个圆。
【答案】
能，按上述方法移动3个圆即可让三角形上下颠倒。
【知识点】
图形变换，空间想象，规律探究
【点评】
这是一道趣味性较强的图形操作题，不需要复杂计算，主要考查对图形结构的观察对比能力和空间想象能力，通过对比原图形和目标图形的结构差异就能快速找到移动方案。
【难度系数】
0.6
