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11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（-1，4），点D在第一象限，则点D的坐标为（）。
A.（3，6）
B.（4，6）
C.（4，5）
D.（5，2）
A.（3，6）
B.（4，6）
C.（4，5）
D.（5，2）
答案
D
解析
【分析】
要确定点D的坐标，结合正方形邻边垂直且相等的性质，我们可以构造“一线三垂直”模型证明三角形全等，利用全等三角形对应边相等的性质计算点D的横、纵坐标。具体思路是：过点B、D分别作x轴的垂线，得到两个直角三角形，先证明这两个直角三角形全等，再根据已知点A、B的坐标计算对应线段长度，最终推出点D的坐标。
【解析】
解：过点B作$BE⊥x$轴于点E，过点D作$DF⊥x$轴于点F，
则$∠ BEA=∠ AFD=90°$，
$\therefore ∠ ABE+∠ BAE=90°$。
∵四边形ABCD是正方形，
$\therefore AB=AD$，$∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ BAE+∠ DAF=90°$，
$\therefore ∠ ABE=∠ DAF$。
在$△ BEA$和$△ AFD$中：
$\begin{cases}∠ BEA=∠ AFD \\∠ ABE=∠ DAF \\AB=AD\end{cases}$
$\therefore △ BEA≌△ AFD\mathrm{(AAS)}$。
已知$A(1,0)$，$B(-1,4)$，
∴E点坐标为$(-1,0)$，
$\therefore AE=1-(-1)=2$，$BE=4-0=4$。
由全等得：$AF=BE=4$，$DF=AE=2$，
∴点F的横坐标为$1+4=5$，纵坐标为$2$，
即点D的坐标为$(5,2)$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是几何与坐标结合的典型习题，核心考查“一线三垂直”全等模型的应用，熟练掌握正方形性质和全等三角形判定方法是快速解题的关键，能有效提升学生数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.6
要确定点D的坐标，结合正方形邻边垂直且相等的性质，我们可以构造“一线三垂直”模型证明三角形全等，利用全等三角形对应边相等的性质计算点D的横、纵坐标。具体思路是：过点B、D分别作x轴的垂线，得到两个直角三角形，先证明这两个直角三角形全等，再根据已知点A、B的坐标计算对应线段长度，最终推出点D的坐标。
【解析】
解：过点B作$BE⊥x$轴于点E，过点D作$DF⊥x$轴于点F，
则$∠ BEA=∠ AFD=90°$，
$\therefore ∠ ABE+∠ BAE=90°$。
∵四边形ABCD是正方形，
$\therefore AB=AD$，$∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ BAE+∠ DAF=90°$，
$\therefore ∠ ABE=∠ DAF$。
在$△ BEA$和$△ AFD$中：
$\begin{cases}∠ BEA=∠ AFD \\∠ ABE=∠ DAF \\AB=AD\end{cases}$
$\therefore △ BEA≌△ AFD\mathrm{(AAS)}$。
已知$A(1,0)$，$B(-1,4)$，
∴E点坐标为$(-1,0)$，
$\therefore AE=1-(-1)=2$，$BE=4-0=4$。
由全等得：$AF=BE=4$，$DF=AE=2$，
∴点F的横坐标为$1+4=5$，纵坐标为$2$，
即点D的坐标为$(5,2)$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是几何与坐标结合的典型习题，核心考查“一线三垂直”全等模型的应用，熟练掌握正方形性质和全等三角形判定方法是快速解题的关键，能有效提升学生数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.6
12. 如图，A，B是直线m上两个定点，C是直线n上一个动点，且$m// n$，以下说法：①三角形ABC的周长不变；②三角形ABC的面积不变；③$∠ACB$的度数不变；④点C到直线m的距离不变. 其中正确的是（ ）.
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
答案
C
解析
【分析】
解题需结合平行线的核心性质逐一判断4个说法的正误：首先明确$m// n$，则两条平行线之间的距离处处相等，以此为基础推导各结论：①三角形周长为$AB+AC+BC$，AB是定长，但C在n上移动时AC、BC的长度会变化，因此周长会改变，①错误；②三角形ABC的底AB固定，高是两平行线的距离，高不变，根据面积公式可知面积不变，②正确；③C在n上左右移动时，$∠ ACB$的开口大小会随C的位置变化，角度不是定值，③错误；④点C到直线m的距离就是平行线m、n的间距，平行线间距处处相等，因此距离不变，④正确。综上正确的是②④。
【解析】
已知$m// n$，A、B是直线m上的定点，C在直线n上运动：
1. 判断①：$△ ABC$的周长$=AB+AC+BC$，AB为定长，当C移动时，AC、BC的长度会发生变化，因此周长是变化的，①错误；
2. 判断②：$△ ABC$的底AB长度固定，高为平行线m与n之间的距离，平行线间距离处处相等即高不变，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可知$△ ABC$的面积不变，②正确；
3. 判断③：当C在n上左右移动时，$∠ ACB$的大小随C的位置改变而变化，不是固定值，③错误；
4. 判断④：点C到直线m的距离就是平行线m、n之间的距离，平行线间距离处处相等，因此该距离不变，④正确。
综上，②④正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形面积计算；点到直线的距离
【点评】
本题考查平行线基本性质的应用，解题关键是牢牢掌握“平行线间距离处处相等”这一核心结论，再结合周长、面积、角度的变化规律逐一判断即可，属于基础性质应用题。
【难度系数】
0.8
解题需结合平行线的核心性质逐一判断4个说法的正误：首先明确$m// n$，则两条平行线之间的距离处处相等，以此为基础推导各结论：①三角形周长为$AB+AC+BC$，AB是定长，但C在n上移动时AC、BC的长度会变化，因此周长会改变，①错误；②三角形ABC的底AB固定，高是两平行线的距离，高不变，根据面积公式可知面积不变，②正确；③C在n上左右移动时，$∠ ACB$的开口大小会随C的位置变化，角度不是定值，③错误；④点C到直线m的距离就是平行线m、n的间距，平行线间距处处相等，因此距离不变，④正确。综上正确的是②④。
【解析】
已知$m// n$，A、B是直线m上的定点，C在直线n上运动：
1. 判断①：$△ ABC$的周长$=AB+AC+BC$，AB为定长，当C移动时，AC、BC的长度会发生变化，因此周长是变化的，①错误；
2. 判断②：$△ ABC$的底AB长度固定，高为平行线m与n之间的距离，平行线间距离处处相等即高不变，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可知$△ ABC$的面积不变，②正确；
3. 判断③：当C在n上左右移动时，$∠ ACB$的大小随C的位置改变而变化，不是固定值，③错误；
4. 判断④：点C到直线m的距离就是平行线m、n之间的距离，平行线间距离处处相等，因此该距离不变，④正确。
综上，②④正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形面积计算；点到直线的距离
【点评】
本题考查平行线基本性质的应用，解题关键是牢牢掌握“平行线间距离处处相等”这一核心结论，再结合周长、面积、角度的变化规律逐一判断即可，属于基础性质应用题。
【难度系数】
0.8
13. 如图，四边形ABCD是菱形，$CD=5$，$BD=8$，$AE ⊥ BC$于点E，则AE的长是（）.
A.$\dfrac{24}{5}$
B.6
C.$\dfrac{48}{5}$
D.12
A.$\dfrac{24}{5}$
B.6
C.$\dfrac{48}{5}$
D.12
答案
A
解析
【分析】
解题时先利用菱形的性质得到对角线互相垂直平分、四条边相等的结论，先求出对角线AC的长度，再利用菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式，即可求出AE的长度。具体思路：第一步，根据菱形对角线平分的性质算出OD的长度，用勾股定理求出OC，进而得到AC的长；第二步，用两种方法表示菱形面积，联立等式求解AE。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，$OD=OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$，$BC=CD=5$
在$Rt△ COD$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$
∴$AC=2OC=6$
菱形ABCD的面积有两种计算方式：
① 对角线乘积的一半：$S=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×6×8=24$
② 底乘高：$S=BC×AE$
∴$BC×AE=24$，即$5×AE=24$
解得$AE=\frac{24}{5}$
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质应用的典型题，通过面积法建立等量关系求解高是常用的解题技巧，掌握菱形边、对角线的相关性质以及面积的两种计算方法是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时先利用菱形的性质得到对角线互相垂直平分、四条边相等的结论，先求出对角线AC的长度，再利用菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式，即可求出AE的长度。具体思路：第一步，根据菱形对角线平分的性质算出OD的长度，用勾股定理求出OC，进而得到AC的长；第二步，用两种方法表示菱形面积，联立等式求解AE。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，$OD=OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$，$BC=CD=5$
在$Rt△ COD$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$
∴$AC=2OC=6$
菱形ABCD的面积有两种计算方式：
① 对角线乘积的一半：$S=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×6×8=24$
② 底乘高：$S=BC×AE$
∴$BC×AE=24$，即$5×AE=24$
解得$AE=\frac{24}{5}$
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质应用的典型题，通过面积法建立等量关系求解高是常用的解题技巧，掌握菱形边、对角线的相关性质以及面积的两种计算方法是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
14. 如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点. 下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等. 其中正确的个数是（）.
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
A
解析
【分析】
解题时首先利用三角形中位线定理，先推导得出任意四边形的中点四边形都是平行四边形，再结合原四边形对角线AC、BD的数量关系（是否相等）、位置关系（是否垂直），逐一判断4个结论中中点四边形的形状是否对应，最终统计正确结论的个数。
【解析】
∵点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，
根据三角形中位线定理可得：
$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$；$GH// AC$，$GH=\frac{1}{2}AC$，
∴$EF// GH$且$EF=GH$，
∴四边形EFGH是平行四边形。
接下来逐个分析结论：
①若$AC=BD$，则$EF=\frac{1}{2}AC$，$EH=\frac{1}{2}BD$，可得$EF=EH$，邻边相等的平行四边形是菱形，不是矩形，故①错误；
②若$AC⊥ BD$，由$EF// AC$、$EH// BD$可得$EF⊥ EH$，有一个内角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，故②错误；
③任意四边形的中点四边形都是平行四边形，和AC、BD是否互相平分无关，故③错误；
④若四边形EFGH是正方形，则它同时满足菱形和矩形的判定条件，因此需要$AC=BD$（保证是菱形）且$AC⊥ BD$（保证是矩形），即AC与BD互相垂直且相等，故④正确。
综上，只有1个结论正确。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，中点四边形，特殊平行四边形判定
【点评】
本题考查中点四边形的相关规律，核心是明确中点四边形的形状仅由原四边形两条对角线的关系决定：对角线相等时中点四边形为菱形，对角线垂直时中点四边形为矩形，对角线既相等又垂直时中点四边形为正方形，牢记该规律可快速判断正误。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用三角形中位线定理，先推导得出任意四边形的中点四边形都是平行四边形，再结合原四边形对角线AC、BD的数量关系（是否相等）、位置关系（是否垂直），逐一判断4个结论中中点四边形的形状是否对应，最终统计正确结论的个数。
【解析】
∵点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，
根据三角形中位线定理可得：
$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$；$GH// AC$，$GH=\frac{1}{2}AC$，
∴$EF// GH$且$EF=GH$，
∴四边形EFGH是平行四边形。
接下来逐个分析结论：
①若$AC=BD$，则$EF=\frac{1}{2}AC$，$EH=\frac{1}{2}BD$，可得$EF=EH$，邻边相等的平行四边形是菱形，不是矩形，故①错误；
②若$AC⊥ BD$，由$EF// AC$、$EH// BD$可得$EF⊥ EH$，有一个内角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，故②错误；
③任意四边形的中点四边形都是平行四边形，和AC、BD是否互相平分无关，故③错误；
④若四边形EFGH是正方形，则它同时满足菱形和矩形的判定条件，因此需要$AC=BD$（保证是菱形）且$AC⊥ BD$（保证是矩形），即AC与BD互相垂直且相等，故④正确。
综上，只有1个结论正确。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，中点四边形，特殊平行四边形判定
【点评】
本题考查中点四边形的相关规律，核心是明确中点四边形的形状仅由原四边形两条对角线的关系决定：对角线相等时中点四边形为菱形，对角线垂直时中点四边形为矩形，对角线既相等又垂直时中点四边形为正方形，牢记该规律可快速判断正误。
【难度系数】
0.6
