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15. 若一组数据的平均数、中位数、众数都相等，则这组数据可能是（）.
A.1，2，3，4，5
B.1，2，2，2，3
C.1，1，1，2，2
D.1，1，2，2，3
A.1，2，3，4，5
B.1，2，2，2，3
C.1，1，1，2，2
D.1，1，2，2，3
答案
B
解析
【分析】
要判断哪组数据满足平均数、中位数、众数相等，只需分别计算每个选项的三个统计量，对比是否一致即可。首先明确三个统计量的计算规则：①平均数是所有数据之和除以数据总个数；②中位数是将数据从小到大排序后，位于中间位置的数（本题每组均为5个数据，中位数是排序后的第3个数据）；③众数是一组数据中出现次数最多的数。按上述规则逐一验证四个选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个计算每个选项的三个统计量：
选项A：数据1，2，3，4，5
平均数：$(1+2+3+4+5)÷5=3$，中位数：排序后第3个数是3，所有数出现次数相同，无众数，不符合要求，排除A。
选项B：数据1，2，2，2，3
平均数：$(1+2+2+2+3)÷5=2$，中位数：排序后第3个数是2，众数：出现次数最多的是2，三个统计量均为2，符合要求。
选项C：数据1，1，1，2，2
平均数：$(1+1+1+2+2)÷5=1.4$，中位数：排序后第3个数是1，众数是1，三个统计量不相等，排除C。
选项D：数据1，1，2，2，3
平均数：$(1+1+2+2+3)÷5=1.8$，中位数：排序后第3个数是2，1和2都出现2次，有两个众数，三个统计量不相等，排除D。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算；中位数定义；众数定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查三个常见统计量的基本计算与概念辨析，只要熟练掌握各统计量的定义和计算方法，逐一验证选项就能快速解题，注意无众数、多众数的特殊情况也要准确判断。
【难度系数】
0.85
要判断哪组数据满足平均数、中位数、众数相等，只需分别计算每个选项的三个统计量，对比是否一致即可。首先明确三个统计量的计算规则：①平均数是所有数据之和除以数据总个数；②中位数是将数据从小到大排序后，位于中间位置的数（本题每组均为5个数据，中位数是排序后的第3个数据）；③众数是一组数据中出现次数最多的数。按上述规则逐一验证四个选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个计算每个选项的三个统计量：
选项A：数据1，2，3，4，5
平均数：$(1+2+3+4+5)÷5=3$，中位数：排序后第3个数是3，所有数出现次数相同，无众数，不符合要求，排除A。
选项B：数据1，2，2，2，3
平均数：$(1+2+2+2+3)÷5=2$，中位数：排序后第3个数是2，众数：出现次数最多的是2，三个统计量均为2，符合要求。
选项C：数据1，1，1，2，2
平均数：$(1+1+1+2+2)÷5=1.4$，中位数：排序后第3个数是1，众数是1，三个统计量不相等，排除C。
选项D：数据1，1，2，2，3
平均数：$(1+1+2+2+3)÷5=1.8$，中位数：排序后第3个数是2，1和2都出现2次，有两个众数，三个统计量不相等，排除D。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算；中位数定义；众数定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查三个常见统计量的基本计算与概念辨析，只要熟练掌握各统计量的定义和计算方法，逐一验证选项就能快速解题，注意无众数、多众数的特殊情况也要准确判断。
【难度系数】
0.85
16. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=3\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，$BE$平分$∠ ABC$交$AD$于点$E$，$CF$平分$∠ BCD$交$AD$于点$F$，则$EF$的长为________cm.
答案
1
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的基本性质，结合角平分线的特征推导等腰三角形，再通过线段和差计算EF长度：第一步利用平行四边形对边平行且相等，得到AD与BC的位置关系和各边长度；第二步结合角平分线定义和平行线内错角相等，推出△ABE和△DCF为等腰三角形，得到AE、DF的长度；第三步根据线段的和差关系计算EF即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴$AD// BC$，$AB=CD=3\ \mathrm{cm}$，$AD=BC=5\ \mathrm{cm}$
∴$∠ CBE=∠ AEB$，$∠ BCF=∠ DFC$
∵BE平分$∠ ABC$
∴$∠ ABE=∠ CBE$
∴$∠ ABE=∠ AEB$，即$△ ABE$为等腰三角形
∴$AE=AB=3\ \mathrm{cm}$
同理，CF平分$∠ BCD$，可得$∠ DCF=∠ BCF=∠ DFC$，$△ DCF$为等腰三角形
∴$DF=CD=3\ \mathrm{cm}$
∴$EF=AE+DF-AD=3+3-5=1\ \mathrm{cm}$
【答案】
1
【知识点】
平行四边形的性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何综合题，重点考查平行四边形性质与等腰三角形判定的结合应用，解题的关键是掌握“平行线+角平分线”的组合特征可推导出等腰三角形。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平行四边形的基本性质，结合角平分线的特征推导等腰三角形，再通过线段和差计算EF长度：第一步利用平行四边形对边平行且相等，得到AD与BC的位置关系和各边长度；第二步结合角平分线定义和平行线内错角相等，推出△ABE和△DCF为等腰三角形，得到AE、DF的长度；第三步根据线段的和差关系计算EF即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴$AD// BC$，$AB=CD=3\ \mathrm{cm}$，$AD=BC=5\ \mathrm{cm}$
∴$∠ CBE=∠ AEB$，$∠ BCF=∠ DFC$
∵BE平分$∠ ABC$
∴$∠ ABE=∠ CBE$
∴$∠ ABE=∠ AEB$，即$△ ABE$为等腰三角形
∴$AE=AB=3\ \mathrm{cm}$
同理，CF平分$∠ BCD$，可得$∠ DCF=∠ BCF=∠ DFC$，$△ DCF$为等腰三角形
∴$DF=CD=3\ \mathrm{cm}$
∴$EF=AE+DF-AD=3+3-5=1\ \mathrm{cm}$
【答案】
1
【知识点】
平行四边形的性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何综合题，重点考查平行四边形性质与等腰三角形判定的结合应用，解题的关键是掌握“平行线+角平分线”的组合特征可推导出等腰三角形。
【难度系数】
0.7
17. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使$CE = BD$，连接AE，如果$∠ADB = 30°$，那么$∠E =$.
答案
15°
解析
【分析】
解题时首先结合矩形的性质，考虑作辅助线连接AC：①利用矩形对角线相等的性质，可将已知CE=BD转化为AC=CE，得到等腰△ACE，进而推出∠CAE=∠E；②结合矩形AD//BC的性质，可得内错角∠DAE=∠E，从而推出∠CAD=2∠E；③再利用矩形对角线互相平分且相等的性质，可求出∠CAD=∠ADB=30°，最后代入即可求出∠E的度数。
【解析】
解：连接AC。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，AD//BE，对角线互相平分且相等，即OA=OD，
∴ ∠CAD=∠ADB=30°，∠DAE=∠E（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ CE=BD，
∴ AC=CE，
∴ △ACE是等腰三角形，∠CAE=∠E。
∵ ∠CAD=∠CAE + ∠DAE = ∠E + ∠E = 2∠E，
∴ 2∠E=30°，
解得 ∠E=15°。
【答案】
15°
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过连接AC构造等腰三角形，将已知的边相等条件和角的条件结合起来，熟练掌握各类几何图形的基本性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合矩形的性质，考虑作辅助线连接AC：①利用矩形对角线相等的性质，可将已知CE=BD转化为AC=CE，得到等腰△ACE，进而推出∠CAE=∠E；②结合矩形AD//BC的性质，可得内错角∠DAE=∠E，从而推出∠CAD=2∠E；③再利用矩形对角线互相平分且相等的性质，可求出∠CAD=∠ADB=30°，最后代入即可求出∠E的度数。
【解析】
解：连接AC。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，AD//BE，对角线互相平分且相等，即OA=OD，
∴ ∠CAD=∠ADB=30°，∠DAE=∠E（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ CE=BD，
∴ AC=CE，
∴ △ACE是等腰三角形，∠CAE=∠E。
∵ ∠CAD=∠CAE + ∠DAE = ∠E + ∠E = 2∠E，
∴ 2∠E=30°，
解得 ∠E=15°。
【答案】
15°
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过连接AC构造等腰三角形，将已知的边相等条件和角的条件结合起来，熟练掌握各类几何图形的基本性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
18. 如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E，F分别在AD，CD上，AE=DF=4，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为________.
答案
2√13
解析
【分析】
解题步骤可分为三步：①首先利用正方形的边、角性质，结合已知AE=DF，证明△ABE≌△DAF，通过角的等量代换推出∠AGB=90°，得到△BGF是直角三角形；②根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可知GH的长度是BF长度的一半，将求GH转化为求BF的长度；③最后在Rt△BCF中用勾股定理计算BF的长度，即可求出GH的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为12，
∴AB=AD=BC=CD=12，∠BAD=∠D=∠C=90°。
在△ABE和△DAF中：
$\{\begin{array}{l}AB=DA\\ ∠ BAE=∠ D\\ AE=DF\end{array} $
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF。
∵∠DAF+∠BAG=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠BAG=90°，
∴∠AGB=180°-90°=90°，即∠BGF=90°，△BGF为直角三角形。
∵点H为BF的中点，
∴GH=$\frac{1}{2}$BF（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
∵DF=4，
∴CF=CD-DF=12-4=8，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
BF=$\sqrt{BC^2+CF^2}$=$\sqrt{12^2+8^2}$=$\sqrt{144+64}$=$\sqrt{208}$=4$\sqrt{13}$，
∴GH=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{13}$=2$\sqrt{13}$。
【答案】
2√13
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是典型的几何综合题，解题的核心是通过全等证明垂直关系，再利用直角三角形的性质转化线段关系，将未知线段转化为可直接用勾股定理计算的线段，考查学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题步骤可分为三步：①首先利用正方形的边、角性质，结合已知AE=DF，证明△ABE≌△DAF，通过角的等量代换推出∠AGB=90°，得到△BGF是直角三角形；②根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可知GH的长度是BF长度的一半，将求GH转化为求BF的长度；③最后在Rt△BCF中用勾股定理计算BF的长度，即可求出GH的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为12，
∴AB=AD=BC=CD=12，∠BAD=∠D=∠C=90°。
在△ABE和△DAF中：
$\{\begin{array}{l}AB=DA\\ ∠ BAE=∠ D\\ AE=DF\end{array} $
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF。
∵∠DAF+∠BAG=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠BAG=90°，
∴∠AGB=180°-90°=90°，即∠BGF=90°，△BGF为直角三角形。
∵点H为BF的中点，
∴GH=$\frac{1}{2}$BF（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
∵DF=4，
∴CF=CD-DF=12-4=8，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
BF=$\sqrt{BC^2+CF^2}$=$\sqrt{12^2+8^2}$=$\sqrt{144+64}$=$\sqrt{208}$=4$\sqrt{13}$，
∴GH=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{13}$=2$\sqrt{13}$。
【答案】
2√13
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是典型的几何综合题，解题的核心是通过全等证明垂直关系，再利用直角三角形的性质转化线段关系，将未知线段转化为可直接用勾股定理计算的线段，考查学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
19. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由魏晋数学家刘徽提出. “将一个几何图形任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB=5$，$AD=12$，对角线$AC$与$BD$交于点$O$，点$E$为$BC$边上的一个动点，$EF ⊥ AC$，$EG ⊥ BD$，垂足分别为点$F$，$G$，则$EF+EG=$______.
答案
$\frac{60}{13}$
解析
【分析】
解题时我们可以按以下思路思考：首先利用矩形的性质和勾股定理求出对角线的长度，明确矩形对角线被交点平分成相等的四段；再根据矩形对角线将矩形分成4个面积相等的三角形，算出△OBC的面积；最后连接OE，把△OBC的面积拆分为△OBE和△OCE的面积之和，两个小三角形的高恰好是EG、EF，代入面积公式即可求出EF+EG的数值。
【解析】
在矩形$ABCD$中，$AB=5$，$BC=AD=12$，$∠ ABC=90°$，
由勾股定理得对角线长：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
由矩形对角线相等且互相平分的性质可得：$BD=AC=13$，$OB=OC=\frac{13}{2}$，
矩形$ABCD$的面积为$AB× AD=5×12=60$，对角线将矩形分成4个面积相等的三角形，因此$S_{△ OBC}=\frac{1}{4}×60=15$。
连接$OE$，可得$S_{△ OBC}=S_{△ OBE}+S_{△ OCE}$，
其中$S_{△ OBE}=\frac{1}{2}× OB× EG$，$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}× OC× EF$，代入$OB=OC=\frac{13}{2}$得：
$15=\frac{1}{2}×\frac{13}{2}× EG+\frac{1}{2}×\frac{13}{2}× EF=\frac{13}{4}(EF+EG)$，
解得$EF+EG=15×\frac{4}{13}=\frac{60}{13}$。
【答案】
$\frac{60}{13}$
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，面积法求线段和
【点评】
本题结合古代数学原理考查几何线段计算，核心是灵活运用等面积法拆分图形，将所求两条垂线段的和转化为可通过面积计算的量，是几何中求解多条垂线段和的典型题型，解题关键是熟练掌握矩形的性质并灵活运用面积关系。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以按以下思路思考：首先利用矩形的性质和勾股定理求出对角线的长度，明确矩形对角线被交点平分成相等的四段；再根据矩形对角线将矩形分成4个面积相等的三角形，算出△OBC的面积；最后连接OE，把△OBC的面积拆分为△OBE和△OCE的面积之和，两个小三角形的高恰好是EG、EF，代入面积公式即可求出EF+EG的数值。
【解析】
在矩形$ABCD$中，$AB=5$，$BC=AD=12$，$∠ ABC=90°$，
由勾股定理得对角线长：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
由矩形对角线相等且互相平分的性质可得：$BD=AC=13$，$OB=OC=\frac{13}{2}$，
矩形$ABCD$的面积为$AB× AD=5×12=60$，对角线将矩形分成4个面积相等的三角形，因此$S_{△ OBC}=\frac{1}{4}×60=15$。
连接$OE$，可得$S_{△ OBC}=S_{△ OBE}+S_{△ OCE}$，
其中$S_{△ OBE}=\frac{1}{2}× OB× EG$，$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}× OC× EF$，代入$OB=OC=\frac{13}{2}$得：
$15=\frac{1}{2}×\frac{13}{2}× EG+\frac{1}{2}×\frac{13}{2}× EF=\frac{13}{4}(EF+EG)$，
解得$EF+EG=15×\frac{4}{13}=\frac{60}{13}$。
【答案】
$\frac{60}{13}$
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，面积法求线段和
【点评】
本题结合古代数学原理考查几何线段计算，核心是灵活运用等面积法拆分图形，将所求两条垂线段的和转化为可通过面积计算的量，是几何中求解多条垂线段和的典型题型，解题关键是熟练掌握矩形的性质并灵活运用面积关系。
【难度系数】
0.6
20. 数据集 {12，15，18，22，24，27，30} 的第一四分位数是，第三四分位数是.
答案
15；27
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确四分位数的计算前提是数据按从小到大（或从大到小）排序，本题给出的数据集已经是升序排列，无需额外排序。接下来统计数据总个数n，再分别计算第一四分位数、第三四分位数对应的位置：第一四分位数位置为$(n+1)×\frac{1}{4}$，第三四分位数位置为$(n+1)×\frac{3}{4}$，最后找到对应位置的数值即可得到结果。
【解析】
第一步：确认给定数据集已按升序排列：12，15，18，22，24，27，30，统计得数据总个数$n=7$。
第二步：计算第一四分位数的位置：$\frac{n+1}{4}=\frac{7+1}{4}=2$，即第一四分位数为排序后第2个数据，结果为15。
第三步：计算第三四分位数的位置：$\frac{3(n+1)}{4}=\frac{3×(7+1)}{4}=6$，即第三四分位数为排序后第6个数据，结果为27。
【答案】
15；27
【知识点】
四分位数的计算；有序数据处理
【点评】
本题是统计板块的基础题型，核心考查四分位数的求解方法，解题时要注意先确认数据的排列顺序，再准确代入位置公式计算，避免混淆第一、第三四分位数的对应位置。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先明确四分位数的计算前提是数据按从小到大（或从大到小）排序，本题给出的数据集已经是升序排列，无需额外排序。接下来统计数据总个数n，再分别计算第一四分位数、第三四分位数对应的位置：第一四分位数位置为$(n+1)×\frac{1}{4}$，第三四分位数位置为$(n+1)×\frac{3}{4}$，最后找到对应位置的数值即可得到结果。
【解析】
第一步：确认给定数据集已按升序排列：12，15，18，22，24，27，30，统计得数据总个数$n=7$。
第二步：计算第一四分位数的位置：$\frac{n+1}{4}=\frac{7+1}{4}=2$，即第一四分位数为排序后第2个数据，结果为15。
第三步：计算第三四分位数的位置：$\frac{3(n+1)}{4}=\frac{3×(7+1)}{4}=6$，即第三四分位数为排序后第6个数据，结果为27。
【答案】
15；27
【知识点】
四分位数的计算；有序数据处理
【点评】
本题是统计板块的基础题型，核心考查四分位数的求解方法，解题时要注意先确认数据的排列顺序，再准确代入位置公式计算，避免混淆第一、第三四分位数的对应位置。
【难度系数】
0.8
