9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且$BE=DF$，$OE=OA$。
求证：四边形AECF是正方形。

四边形AECF是正方形，证明如上。

【分析】
解题时先回忆菱形、平行四边形、正方形的判定相关知识：首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合已知BE=DF推导出OE=OF，先判定四边形AECF是平行四边形；再结合菱形对角线垂直的特征，判定平行四边形AECF是菱形；最后利用OE=OA的条件推出菱形AECF的对角线相等，即可判定其为正方形。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD（菱形的对角线互相垂直且平分）。
∵ BE=DF，
∴ OB - BE = OD - DF，即OE=OF。
又
∵ OA=OC，
∴ 四边形AECF的对角线互相平分，即四边形AECF是平行四边形。
∵ AC⊥BD，即AC⊥EF，
∴ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故四边形AECF是菱形。
∵ OE=OA，
∴ AC=OA+OC=2OA，EF=OE+OF=2OE，可得AC=EF。
∴ 对角线相等的菱形是正方形，故四边形AECF是正方形。
【答案】
四边形AECF是正方形。
【知识点】
菱形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的典型题型，核心是灵活运用各类特殊四边形的性质和判定定理，按照“平行四边形→菱形→正方形”的顺序逐步推导，逻辑清晰，能够很好地考查学生对特殊四边形相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7

10. 如图，O 为矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，$EF ⊥ AC$ 于点 O，交 AD，BC 于点 E，F，连接 AF，CE.
（1）求证：四边形 AECF 为菱形.
（2）若 $AB=2$，$BC=4$，求 AE 的长.

（1）四边形AECF为菱形的证明如上；（2）$\frac{5}{2}$

【分析】
（1）要证明四边形AECF是菱形，首先利用矩形对边平行的性质得到内错角相等，结合O是AC中点、对顶角相等证明△AEO和△CFO全等，得到一组对边平行且相等，先判定四边形AECF是平行四边形，再结合EF垂直AC的条件，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可完成证明。（2）求AE的长度时，可设AE为x，利用菱形四边相等的性质得AF=AE=x，再表示出BF的长度，在Rt△ABF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠OAE = ∠OCF，
∵O是AC的中点，
∴AO = CO，
在△AEO和△CFO中：
$\begin{cases}∠OAE = ∠OCF \\AO = CO \\∠AOE = ∠COF\end{cases}$
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE = CF，
又
∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形。
（2）解：设AE的长为x，
∵四边形AECF是菱形，
∴AF = AE = x，CF = x，
∵BC = 4，
∴BF = BC - CF = 4 - x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B = 90°，
在Rt△ABF中，由勾股定理得$AB^2 + BF^2 = AF^2$，
将AB=2代入得：$2^2 + (4-x)^2 = x^2$，
展开化简得：$4 + 16 -8x +x^2 =x^2$，
解得：$x=\frac{5}{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\frac{5}{2}$
【知识点】
菱形的判定，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题综合考查了矩形、菱形的性质与判定以及勾股定理的应用，第一问需熟练掌握特殊四边形的判定逻辑，第二问用方程思想结合勾股定理求解是几何中求线段长度的常用方法，解题思路清晰，综合性不强。
【难度系数】
0.7