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1. 在$□ ABCD$中，若$∠ B+∠ D=110°$，则$∠ A$的度数为（）.
A.$55°$
B.$70°$
C.$110°$
D.$125°$
A.$55°$
B.$70°$
C.$110°$
D.$125°$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的角的性质：一是平行四边形对角相等，二是平行四边形邻角互补。第一步，根据对角相等的性质，结合已知∠B+∠D=110°，可先求出∠B的度数；第二步，根据邻角互补的性质，∠A与∠B是邻角，和为180°，代入∠B的度数即可求出∠A的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°（平行四边形对角相等、邻角互补）
已知∠B+∠D=110°，则2∠B=110°，解得∠B=55°
∴∠A=180°-∠B=180°-55°=125°
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行四边形角的相关性质的应用，熟练掌握平行四边形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆平行四边形的角的性质：一是平行四边形对角相等，二是平行四边形邻角互补。第一步，根据对角相等的性质，结合已知∠B+∠D=110°，可先求出∠B的度数；第二步，根据邻角互补的性质，∠A与∠B是邻角，和为180°，代入∠B的度数即可求出∠A的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°（平行四边形对角相等、邻角互补）
已知∠B+∠D=110°，则2∠B=110°，解得∠B=55°
∴∠A=180°-∠B=180°-55°=125°
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行四边形角的相关性质的应用，熟练掌握平行四边形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
2. 如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离. 他先在A，B外选一点C，取AC，BC的中点D，E，测得$DE=35\ \mathrm{m}$，则A，B之间的距离为（）.
A.40 m
B.60 m
C.70 m
D.80 m
A.40 m
B.60 m
C.70 m
D.80 m
答案
C
解析
【分析】
要计算无法直接测量的AB距离，可借助三角形中位线的性质求解：首先根据D、E分别是AC、BC的中点，判断出DE是△ABC的中位线，再回忆三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，即可通过DE的长度求出AB的长度。
【解析】
解：
∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$AB=2DE$，
已知$DE=35\ \mathrm{m}$，
∴$AB=2×35=70\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题考查三角形中位线定理的实际应用，解题关键是准确识别中位线，熟练运用中位线的性质计算，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
要计算无法直接测量的AB距离，可借助三角形中位线的性质求解：首先根据D、E分别是AC、BC的中点，判断出DE是△ABC的中位线，再回忆三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，即可通过DE的长度求出AB的长度。
【解析】
解：
∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$AB=2DE$，
已知$DE=35\ \mathrm{m}$，
∴$AB=2×35=70\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题考查三角形中位线定理的实际应用，解题关键是准确识别中位线，熟练运用中位线的性质计算，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在菱形$ABCD$中，连接$AC$，$BD$，若$∠ 1=20°$，则$∠ 2$的度数为（）.
A.$20°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
A.$20°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
C
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的相关性质：第一步，根据菱形对边平行的特征，可得AB与CD平行，进而推出∠1和∠DCA是一组内错角，二者大小相等；第二步，根据菱形对角线互相垂直的性质，可知AC与BD的夹角为90°，即△DOC是直角三角形；第三步，利用直角三角形两锐角互余的规律，用90°减去∠DCA的度数即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC⊥BD（菱形的对边平行，对角线互相垂直），
∴∠DCA=∠1=20°（两直线平行，内错角相等），
∵AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
在Rt△DOC中，∠2+∠DCA=90°，
∴∠2=90°-20°=70°。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是菱形性质的基础应用考题，结合平行线、直角三角形的基础性质即可快速求解，属于几何部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆菱形的相关性质：第一步，根据菱形对边平行的特征，可得AB与CD平行，进而推出∠1和∠DCA是一组内错角，二者大小相等；第二步，根据菱形对角线互相垂直的性质，可知AC与BD的夹角为90°，即△DOC是直角三角形；第三步，利用直角三角形两锐角互余的规律，用90°减去∠DCA的度数即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC⊥BD（菱形的对边平行，对角线互相垂直），
∴∠DCA=∠1=20°（两直线平行，内错角相等），
∵AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
在Rt△DOC中，∠2+∠DCA=90°，
∴∠2=90°-20°=70°。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是菱形性质的基础应用考题，结合平行线、直角三角形的基础性质即可快速求解，属于几何部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）.
A.$OA=OC$，$OB=OD$
B.$AD// BC$，$AB=DC$
C.$AD// BC$，$∠ BAD=∠ BCD$
D.$AD// BC$，$OB=OD$
A.$OA=OC$，$OB=OD$
B.$AD// BC$，$AB=DC$
C.$AD// BC$，$∠ BAD=∠ BCD$
D.$AD// BC$，$OB=OD$
答案
B
解析
【分析】
本题考查平行四边形的判定，解题时先回忆平行四边形的判定定理，再逐一分析每个选项是否满足判定条件，即可选出不能判定的选项。首先明确平行四边形的核心判定依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，结合选项给出的条件推导即可。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A. 若$OA=OC$，$OB=OD$，说明四边形ABCD的对角线互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B. 若$AD// BC$，$AB=DC$，该四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形（等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等），因此不能判定四边形ABCD一定是平行四边形，符合题意；
C. 已知$AD// BC$，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得$∠ BAD+∠ ABC=180°$，又因为$∠ BAD=∠ BCD$，代入得$∠ BCD+∠ ABC=180°$，可推出$AB// CD$，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此可判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D. 已知$AD// BC$，可得$∠ OAD=∠ OCB$，$∠ ODA=∠ OBC$，又$OB=OD$，可证$△ AOD≌△ COB$（AAS），因此$OA=OC$，即四边形对角线互相平分，可判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行四边形判定的常规考题，易错点是容易忽略“一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形”这一特殊情况，需要熟练掌握平行四边形的判定定理，区分判定定理和易混淆的错误结论。
【难度系数】
0.7
本题考查平行四边形的判定，解题时先回忆平行四边形的判定定理，再逐一分析每个选项是否满足判定条件，即可选出不能判定的选项。首先明确平行四边形的核心判定依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，结合选项给出的条件推导即可。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A. 若$OA=OC$，$OB=OD$，说明四边形ABCD的对角线互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B. 若$AD// BC$，$AB=DC$，该四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形（等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等），因此不能判定四边形ABCD一定是平行四边形，符合题意；
C. 已知$AD// BC$，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得$∠ BAD+∠ ABC=180°$，又因为$∠ BAD=∠ BCD$，代入得$∠ BCD+∠ ABC=180°$，可推出$AB// CD$，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此可判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D. 已知$AD// BC$，可得$∠ OAD=∠ OCB$，$∠ ODA=∠ OBC$，又$OB=OD$，可证$△ AOD≌△ COB$（AAS），因此$OA=OC$，即四边形对角线互相平分，可判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行四边形判定的常规考题，易错点是容易忽略“一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形”这一特殊情况，需要熟练掌握平行四边形的判定定理，区分判定定理和易混淆的错误结论。
【难度系数】
0.7
5. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ().
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.对角相等
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.对角相等
答案
A
解析
【分析】
要解决本题，需先明确正方形和菱形的性质，再逐一对比各选项的性质是否是正方形独有、菱形不一定具备的。首先回忆：菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，同时还有四条边相等、对角线互相垂直的特有性质；正方形是特殊的菱形，除具备菱形的全部性质外，还有自己的特有性质。我们只需逐个判断选项中的性质是否为两者共有，排除共有性质后剩下的就是正确答案。
【解析】
我们先梳理两种图形的性质，再逐一分析选项：
1. 菱形的性质：对角相等，对角线互相平分、互相垂直，四条边相等；
2. 正方形的性质：具备菱形的全部性质，同时对角线相等、四个角都是直角。
对选项逐一判断：
A. 对角线相等：正方形的对角线一定相等，菱形的对角线仅互相垂直平分，不一定相等，符合“正方形具有而菱形不一定具有”的要求；
B. 对角线互相垂直：菱形和正方形的对角线都互相垂直，是两者共有的性质，不符合要求；
C. 对角线互相平分：所有平行四边形的对角线都互相平分，菱形和正方形都是特殊平行四边形，都具备该性质，不符合要求；
D. 对角相等：同样是平行四边形的共有性质，菱形和正方形的对角都相等，不符合要求。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正方形的性质
2. 菱形的性质
3. 特殊四边形辨析
【点评】
本题属于基础性质考查题，核心是区分不同特殊四边形的性质差异，解题关键是理清特殊四边形之间的从属关系，牢记各类图形的共性和特有性质，避免混淆。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需先明确正方形和菱形的性质，再逐一对比各选项的性质是否是正方形独有、菱形不一定具备的。首先回忆：菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，同时还有四条边相等、对角线互相垂直的特有性质；正方形是特殊的菱形，除具备菱形的全部性质外，还有自己的特有性质。我们只需逐个判断选项中的性质是否为两者共有，排除共有性质后剩下的就是正确答案。
【解析】
我们先梳理两种图形的性质，再逐一分析选项：
1. 菱形的性质：对角相等，对角线互相平分、互相垂直，四条边相等；
2. 正方形的性质：具备菱形的全部性质，同时对角线相等、四个角都是直角。
对选项逐一判断：
A. 对角线相等：正方形的对角线一定相等，菱形的对角线仅互相垂直平分，不一定相等，符合“正方形具有而菱形不一定具有”的要求；
B. 对角线互相垂直：菱形和正方形的对角线都互相垂直，是两者共有的性质，不符合要求；
C. 对角线互相平分：所有平行四边形的对角线都互相平分，菱形和正方形都是特殊平行四边形，都具备该性质，不符合要求；
D. 对角相等：同样是平行四边形的共有性质，菱形和正方形的对角都相等，不符合要求。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正方形的性质
2. 菱形的性质
3. 特殊四边形辨析
【点评】
本题属于基础性质考查题，核心是区分不同特殊四边形的性质差异，解题关键是理清特殊四边形之间的从属关系，牢记各类图形的共性和特有性质，避免混淆。
【难度系数】
0.8
6. 已知一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数为.
答案
10
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心知识点：①任意多边形的外角和都是固定的360°，与边数无关；②n边形的内角和公式为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$。题目给出内角和是外角和的4倍，我们可以先设多边形的边数为n，根据两者的等量关系列出一元一次方程，再解方程即可得到边数。
【解析】
解：设这个多边形的边数为$n$。
根据多边形的性质可知：任意多边形的外角和为$360°$，$n$边形的内角和为$(n-2)×180°$。
由题意列方程：
$\begin{aligned}(n-2) × 180° &= 4 × 360° \\n-2 &= \frac{1440°}{180°} \\n-2 &= 8 \\n &= 10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
多边形内角和公式、多边形外角和性质、一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查多边形内外角和的相关性质，解题的关键是牢记外角和为定值360°，结合内角和公式建立方程求解，是多边形章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两个核心知识点：①任意多边形的外角和都是固定的360°，与边数无关；②n边形的内角和公式为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$。题目给出内角和是外角和的4倍，我们可以先设多边形的边数为n，根据两者的等量关系列出一元一次方程，再解方程即可得到边数。
【解析】
解：设这个多边形的边数为$n$。
根据多边形的性质可知：任意多边形的外角和为$360°$，$n$边形的内角和为$(n-2)×180°$。
由题意列方程：
$\begin{aligned}(n-2) × 180° &= 4 × 360° \\n-2 &= \frac{1440°}{180°} \\n-2 &= 8 \\n &= 10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
多边形内角和公式、多边形外角和性质、一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查多边形内外角和的相关性质，解题的关键是牢记外角和为定值360°，结合内角和公式建立方程求解，是多边形章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
7. 如图，$□ ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，且 $AD ≠ CD$，过点 $O$ 作 $OM ⊥ AC$，交 $AD$ 于点 $M$. 如果 $△ CDM$ 的周长为 $18$，那么 $□ ABCD$ 的周长是 ______.
答案
36
解析
【分析】
解题思路：首先根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，即O是AC的中点；结合OM⊥AC的条件，可判定OM是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质能推出AM=CM；接下来对△CDM的周长做等量代换，将其转化为平行四边形一组邻边AD与CD的和，最后根据平行四边形对边相等的特点，周长等于2倍邻边之和，即可算出最终结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，AD=BC，AB=CD（平行四边形对角线互相平分、对边相等）
∵OM⊥AC，且O为AC中点
∴OM是线段AC的垂直平分线
∴AM=CM（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
已知△CDM的周长为18，即$CD + DM + CM = 18$
将CM替换为AM，可得：$CD + DM + AM = CD + AD = 18$
∴平行四边形ABCD的周长$= 2(AD + CD) = 2×18 = 36$
【答案】
36
【知识点】
平行四边形的性质，垂直平分线的性质，周长计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转化，建立三角形周长和平行四边形邻边和的关联，是四边形章节的高频考点，需熟练掌握此类线段转化的思路。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，即O是AC的中点；结合OM⊥AC的条件，可判定OM是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质能推出AM=CM；接下来对△CDM的周长做等量代换，将其转化为平行四边形一组邻边AD与CD的和，最后根据平行四边形对边相等的特点，周长等于2倍邻边之和，即可算出最终结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，AD=BC，AB=CD（平行四边形对角线互相平分、对边相等）
∵OM⊥AC，且O为AC中点
∴OM是线段AC的垂直平分线
∴AM=CM（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
已知△CDM的周长为18，即$CD + DM + CM = 18$
将CM替换为AM，可得：$CD + DM + AM = CD + AD = 18$
∴平行四边形ABCD的周长$= 2(AD + CD) = 2×18 = 36$
【答案】
36
【知识点】
平行四边形的性质，垂直平分线的性质，周长计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转化，建立三角形周长和平行四边形邻边和的关联，是四边形章节的高频考点，需熟练掌握此类线段转化的思路。
【难度系数】
0.7
8. 矩形的两条对角线的夹角为$60°$，较短的边长为12 cm，则矩形的对角线长为________cm
答案
24
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线将矩形分成4个等腰三角形，且每个等腰三角形的腰长均为对角线长度的一半。已知对角线夹角为60°，则夹角所在的等腰三角形有一个内角为60°，满足等边三角形的判定条件，可推出该三角形的边长等于较短边的长度，进而求出对角线的长度。
【解析】
设矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O。
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，且OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD（矩形对角线相等且互相平分）
∴OA=OB
又
∵两条对角线的夹角为60°，即∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴OA=AB
∵矩形较短边长AB=12cm
∴OA=12cm
∴对角线AC=2OA=2×12=24cm
【答案】
24
【知识点】
1.矩形的性质
2.等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础题，解题核心是利用矩形对角线平分且相等的性质，结合60°的夹角推导出等边三角形，从而建立边长与对角线长度的关系，是矩形性质应用的常见题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线将矩形分成4个等腰三角形，且每个等腰三角形的腰长均为对角线长度的一半。已知对角线夹角为60°，则夹角所在的等腰三角形有一个内角为60°，满足等边三角形的判定条件，可推出该三角形的边长等于较短边的长度，进而求出对角线的长度。
【解析】
设矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O。
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，且OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD（矩形对角线相等且互相平分）
∴OA=OB
又
∵两条对角线的夹角为60°，即∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴OA=AB
∵矩形较短边长AB=12cm
∴OA=12cm
∴对角线AC=2OA=2×12=24cm
【答案】
24
【知识点】
1.矩形的性质
2.等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础题，解题核心是利用矩形对角线平分且相等的性质，结合60°的夹角推导出等边三角形，从而建立边长与对角线长度的关系，是矩形性质应用的常见题型。
【难度系数】
0.8
