12.国庆节前,某超市为了满足人们的购物需求,计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解,甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示.

已知用1200元购进的甲种水果与用1500元购进的乙种水果一样重.
(1)求$ x $的值；
(2)若超市购进这两种水果共100 kg,其中甲种水果的质量不低于乙种水果质量的3倍,则超市应如何进货才能获得最大利润,最大利润是多少？

12.解:(1)由题意,得$\dfrac{1200}{x}=\dfrac{1500}{x+4}$,解得$x=16$.经检验,$x=16$是原方程的解且符合题意.
(2)设超市购进甲种水果$y$ kg,则购进乙种水果$(100-y)$kg,由题意,得$y≥3(100-y)$,解得$y≥75$.因为利润$=(20-16)y+(25-20)(100-y)=-y+500$,当$y=75$时,利润最大,为425元,即超市购进甲种水果75 kg,乙种水果25 kg时,利润最大,最大利润是425元.

【分析】
（1）根据“数量=总价÷单价”分别表示出1200元购进甲水果的重量和1500元购进乙水果的重量，结合二者重量相等的等量关系列分式方程求解，注意分式方程需要检验解的合理性。
（2）先设购进甲种水果的质量为y kg，可得乙种水果质量为(100-y)kg，先根据“甲种水果的质量不低于乙种水果质量的3倍”列不等式求出y的取值范围；再根据“总利润=甲的总利润+乙的总利润”列出利润关于y的表达式，根据表达式的增减性，结合y的取值范围找到利润最大时的y值，即可求出最大利润和对应的进货方案。
【解析】
(1) 由题意可知，1200元购进甲水果的重量等于1500元购进乙水果的重量，列方程得：
$\dfrac{1200}{x}=\dfrac{1500}{x+4}$
交叉相乘得：$1200(x+4)=1500x$
展开得：$1200x + 4800 = 1500x$
移项合并得：$300x=4800$
解得$x=16$。
经检验，当$x=16$时，原方程分母不为0，是原方程的解，且符合实际意义。
(2) 设超市购进甲种水果$y$ kg，则购进乙种水果$(100-y)$kg，
根据甲种水果质量不低于乙种水果质量的3倍，列不等式得：
$y≥3(100-y)$
解得：$y≥75$。
设总利润为$W$元，每千克甲的利润为$(20-16)$元，每千克乙的利润为$(25-(16+4))=5$元，因此：
$W=(20-16)y + (25-20)(100-y)$
整理得：$W=4y + 5(100-y) = -y + 500$
因为$-1＜0$，所以$W$随$y$的增大而减小，因此当$y$取最小值75时，$W$取得最大值，
此时$W=-75 + 500=425$，对应乙种水果的质量为$100-75=25$kg。
【答案】
(1) $x=16$；
(2) 购进甲种水果75 kg，乙种水果25 kg时获得最大利润，最大利润是425元。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的最值应用
【点评】
本题是生活实际类的综合应用题，解题的核心是找准题目中的等量关系与不等关系，分别列出方程、不等式和利润表达式，再结合一次函数的增减性求解最值，是应用类题型的常考组合。
【难度系数】
0.7