登录
13. [2025·合肥四十八中期末]如图,已知$AB// CD$,$AD// BC$,$∠ DCE=90°$,点$E$在线段$AB$上,$∠ FCG=90°$,点$F$在直线$AD$上,$∠ AHG=90°$.
(1)写出图中所有与$∠ D$相等的角,并说明理由；
(2)若$∠ ECF=25°$,求$∠ BCD$的度数；
(3)在(2)的条件下,点$C$(点$C$不与$B$,$H$两点重合)从点$B$出发,沿射线$BG$的方向运动,其他条件不变,求$∠ BAF$的度数.
(1)写出图中所有与$∠ D$相等的角,并说明理由；
(2)若$∠ ECF=25°$,求$∠ BCD$的度数；
(3)在(2)的条件下,点$C$(点$C$不与$B$,$H$两点重合)从点$B$出发,沿射线$BG$的方向运动,其他条件不变,求$∠ BAF$的度数.
答案
13.解:(1)与$∠D$相等的角为$∠DCG,∠ECF,∠B,∠AME,∠CMH$.理由:因为$AD// BC$,所以$∠D=∠DCG$.因为$∠FCG=∠DCE=90°$,所以$∠ECF=∠DCG$,所以$∠D=∠ECF$.因为$AB// CD$,所以$∠DCG=∠B$,所以$∠B=∠D$.因为$∠FCG=90°$,$∠AHC=90°$,所以$AH// FC$,所以$∠ECF=∠CMH=∠AME$,所以$∠CMH=∠AME=∠D$,所以与$∠D$相等的角为$∠DCG,∠ECF,∠B,∠AME,∠CMH$.
(2)因为$∠ECF=25°$,$∠DCE=90°$,所以$∠FCD=65°$.因为$∠BCF=90°$,所以$∠BCD=65°+90°=155°$.
(3)如图1,当点C在线段BH上时,点F在DA的延长线上.因为$∠B=∠ECF=25°$,$AD// BC$,所以$∠BAF=∠B=25°$.如图2,当点C在BH的延长线上时,点F在线段AD上.因为$∠B=∠DCG=∠ECF=25°$,$AD// BC$,所以$∠BAF=180°-∠B=180°-25°=155°$.综上所述,$∠BAF$的度数为$25°$或$155°$.
解析
【分析】
(1) 找与∠D相等的角时，先利用平行线的性质推导与∠D相关的等角，再结合直角的性质推出同角的余角相等，最后利用平行线的判定得到AH和FC平行，结合对顶角性质即可找出所有等角。
(2) 计算∠BCD时，先根据∠DCE是直角和已知的∠ECF度数求出∠FCD的度数，再结合∠FCG是直角，将两个角相加即可得到∠BCD的度数。
(3) 点C沿射线BG运动时，位置存在两种情况：①在线段BH上，②在BH的延长线上，需要分两种情况结合平行线的性质计算∠BAF的度数，避免漏解。
【解析】
(1) 与$∠D$相等的角为$∠DCG,∠ECF,∠B,∠AME,∠CMH$，理由如下：
因为$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$∠D=∠DCG$。
因为$∠FCG=∠DCE=90°$，所以$∠ECF+∠FCD=∠DCG+∠FCD=90°$，根据同角的余角相等，得$∠ECF=∠DCG$，所以$∠D=∠ECF$。
因为$AB// CD$，根据两直线平行，同位角相等，所以$∠DCG=∠B$，所以$∠B=∠D$。
因为$∠FCG=90°$，$∠AHG=90°$，所以$AH// FC$（同位角相等，两直线平行），所以$∠ECF=∠CMH$（两直线平行，同位角相等），又$∠CMH=∠AME$（对顶角相等），所以$∠CMH=∠AME=∠D$。
综上，与$∠D$相等的角为$∠DCG,∠ECF,∠B,∠AME,∠CMH$。
(2) 因为$∠ECF=25°$，$∠DCE=90°$，所以$∠FCD=∠DCE - ∠ECF=90°-25°=65°$。
又因为$∠BCF=∠FCG=90°$，所以$∠BCD=∠BCF + ∠FCD=90°+65°=155°$。
(3) 分两种情况讨论：
① 如图1，当点C在线段BH上时，点F在DA的延长线上：
由(1)可知$∠B=∠ECF=25°$，因为$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$∠BAF=∠B=25°$。
② 如图2，当点C在BH的延长线上时，点F在线段AD上：
由(1)可知$∠B=∠ECF=25°$，因为$AD// BC$，根据两直线平行，同旁内角互补，所以$∠BAF + ∠B=180°$，即$∠BAF=180°-25°=155°$。
【答案】
(1) 与$∠D$相等的角为$∠DCG,∠ECF,∠B,∠AME,∠CMH$，理由见解析；
(2) $∠BCD=155°$；
(3) $∠BAF$的度数为$25°$或$155°$。
【知识点】
平行线的性质，余角的性质，分类讨论
【点评】
本题属于几何综合题，基础部分考查平行线的性质、余角性质、对顶角相等的应用，第三问结合动点设置，需要分类讨论不同位置下的角度关系，解题时要注意不要漏解，能有效提升几何推理和思维的严谨性。
【难度系数】
0.65
(1) 找与∠D相等的角时，先利用平行线的性质推导与∠D相关的等角，再结合直角的性质推出同角的余角相等，最后利用平行线的判定得到AH和FC平行，结合对顶角性质即可找出所有等角。
(2) 计算∠BCD时，先根据∠DCE是直角和已知的∠ECF度数求出∠FCD的度数，再结合∠FCG是直角，将两个角相加即可得到∠BCD的度数。
(3) 点C沿射线BG运动时，位置存在两种情况：①在线段BH上，②在BH的延长线上，需要分两种情况结合平行线的性质计算∠BAF的度数，避免漏解。
【解析】
(1) 与$∠D$相等的角为$∠DCG,∠ECF,∠B,∠AME,∠CMH$，理由如下：
因为$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$∠D=∠DCG$。
因为$∠FCG=∠DCE=90°$，所以$∠ECF+∠FCD=∠DCG+∠FCD=90°$，根据同角的余角相等，得$∠ECF=∠DCG$，所以$∠D=∠ECF$。
因为$AB// CD$，根据两直线平行，同位角相等，所以$∠DCG=∠B$，所以$∠B=∠D$。
因为$∠FCG=90°$，$∠AHG=90°$，所以$AH// FC$（同位角相等，两直线平行），所以$∠ECF=∠CMH$（两直线平行，同位角相等），又$∠CMH=∠AME$（对顶角相等），所以$∠CMH=∠AME=∠D$。
综上，与$∠D$相等的角为$∠DCG,∠ECF,∠B,∠AME,∠CMH$。
(2) 因为$∠ECF=25°$，$∠DCE=90°$，所以$∠FCD=∠DCE - ∠ECF=90°-25°=65°$。
又因为$∠BCF=∠FCG=90°$，所以$∠BCD=∠BCF + ∠FCD=90°+65°=155°$。
(3) 分两种情况讨论：
① 如图1，当点C在线段BH上时，点F在DA的延长线上：
由(1)可知$∠B=∠ECF=25°$，因为$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$∠BAF=∠B=25°$。
② 如图2，当点C在BH的延长线上时，点F在线段AD上：
由(1)可知$∠B=∠ECF=25°$，因为$AD// BC$，根据两直线平行，同旁内角互补，所以$∠BAF + ∠B=180°$，即$∠BAF=180°-25°=155°$。
【答案】
(1) 与$∠D$相等的角为$∠DCG,∠ECF,∠B,∠AME,∠CMH$，理由见解析；
(2) $∠BCD=155°$；
(3) $∠BAF$的度数为$25°$或$155°$。
【知识点】
平行线的性质，余角的性质，分类讨论
【点评】
本题属于几何综合题，基础部分考查平行线的性质、余角性质、对顶角相等的应用，第三问结合动点设置，需要分类讨论不同位置下的角度关系，解题时要注意不要漏解，能有效提升几何推理和思维的严谨性。
【难度系数】
0.65
