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1. 下列各式中,正确的是 (
A.$\sqrt{4\dfrac{1}{4}}=2\dfrac{1}{2}$
B.$\sqrt{(-4)^2}=\pm4$
C.$-\sqrt{(-4)^2}=4$
D.$\sqrt[3]{0.001}=0.1$
D
)A.$\sqrt{4\dfrac{1}{4}}=2\dfrac{1}{2}$
B.$\sqrt{(-4)^2}=\pm4$
C.$-\sqrt{(-4)^2}=4$
D.$\sqrt[3]{0.001}=0.1$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查算术平方根、立方根的基本性质与运算，解题时需要逐个分析每个选项：首先回忆算术平方根的结果一定是非负数，立方根的符号与被开方数的符号一致；遇到带分数要先转化为假分数再进行开方运算，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个判断每个选项的正误：
A选项：先把带分数化为假分数，$4\dfrac{1}{4}=\dfrac{17}{4}$，因此$\sqrt{4\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{17}{4}}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$，而$2\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$，二者不相等，故A错误；
B选项：算术平方根的结果是非负数，$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$，不是$\pm4$，故B错误；
C选项：$-\sqrt{(-4)^2}=-\sqrt{16}=-4≠4$，故C错误；
D选项：因为$0.1^3=0.001$，所以$\sqrt[3]{0.001}=0.1$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.算术平方根的性质
2.立方根的运算
3.根式化简
【点评】
本题属于根式运算的基础题型，核心是区分算术平方根与平方根的差异，牢记算术平方根的结果具有非负性，立方根的符号与被开方数一致，遇到带分数开方时要先化为假分数再运算，熟练掌握这些性质就能快速准确解题。
【难度系数】
0.75
这道题考查算术平方根、立方根的基本性质与运算，解题时需要逐个分析每个选项：首先回忆算术平方根的结果一定是非负数，立方根的符号与被开方数的符号一致；遇到带分数要先转化为假分数再进行开方运算，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个判断每个选项的正误：
A选项：先把带分数化为假分数，$4\dfrac{1}{4}=\dfrac{17}{4}$，因此$\sqrt{4\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{17}{4}}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$，而$2\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$，二者不相等，故A错误；
B选项：算术平方根的结果是非负数，$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$，不是$\pm4$，故B错误；
C选项：$-\sqrt{(-4)^2}=-\sqrt{16}=-4≠4$，故C错误；
D选项：因为$0.1^3=0.001$，所以$\sqrt[3]{0.001}=0.1$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.算术平方根的性质
2.立方根的运算
3.根式化简
【点评】
本题属于根式运算的基础题型，核心是区分算术平方根与平方根的差异，牢记算术平方根的结果具有非负性，立方根的符号与被开方数一致，遇到带分数开方时要先化为假分数再运算，熟练掌握这些性质就能快速准确解题。
【难度系数】
0.75
2. 芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗.我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为 0.000 000 007 mm..将数据 0.000 000 007 用科学记数法表示为 （
A.$0.7×10^{-9}$
B.$0.7×10^{-8}$
C.$7×10^{-9}$
D.$7×10^{-8}$
C
）A.$0.7×10^{-9}$
B.$0.7×10^{-8}$
C.$7×10^{-9}$
D.$7×10^{-8}$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：科学记数法的标准形式是$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为负整数。解题时第一步先确定$a$的值，把原数的小数点向右移动，直到得到一个大于等于1且小于10的数，这个数就是$a$；第二步确定$n$的值，小数点向右移动了几位，$n$就是负几。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的数的形式为$a × 10^{-n}$，其中要求$1 ≤ a ＜ 10$，$n$是正整数，$n$的取值等于原数左起第一个非零数字前所有0的个数（包含小数点前的0）。
对于$0.000000007$：
1. 确定$a$：将小数点向右移动9位得到7，满足$1 ≤ 7 ＜ 10$，所以$a=7$；
2. 确定指数：小数点一共向右移动了9位，所以指数为$-9$；
因此$0.000000007 = 7 × 10^{-9}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法表示较小数
【点评】
本题考查科学记数法的基本应用，只要掌握$a$的取值范围和指数的确定规则就能快速解题，是常规基础考题。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：科学记数法的标准形式是$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为负整数。解题时第一步先确定$a$的值，把原数的小数点向右移动，直到得到一个大于等于1且小于10的数，这个数就是$a$；第二步确定$n$的值，小数点向右移动了几位，$n$就是负几。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的数的形式为$a × 10^{-n}$，其中要求$1 ≤ a ＜ 10$，$n$是正整数，$n$的取值等于原数左起第一个非零数字前所有0的个数（包含小数点前的0）。
对于$0.000000007$：
1. 确定$a$：将小数点向右移动9位得到7，满足$1 ≤ 7 ＜ 10$，所以$a=7$；
2. 确定指数：小数点一共向右移动了9位，所以指数为$-9$；
因此$0.000000007 = 7 × 10^{-9}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法表示较小数
【点评】
本题考查科学记数法的基本应用，只要掌握$a$的取值范围和指数的确定规则就能快速解题，是常规基础考题。
【难度系数】
0.85
3. 小明拿着50元去超市采购，结账时收到的小票如图所示，其中笔那一栏被污渍遮挡.已知每支笔的价格是2元，则小明剩余的钱可能是 （
××超市
A.1元
B.3元
C.4元
D.6元
C
）××超市
A.1元
B.3元
C.4元
D.6元
答案
3.C
解析
【分析】
首先先计算已知的三种商品的总花费，再结合笔的单价为2元，可知买笔的总花费是偶数，由此可先通过奇偶性排除不符合的选项；再结合小票上有笔的条目，说明至少购买了1支笔，且总花费不超过50元，进一步筛选出符合条件的剩余钱数即可。
【解析】
第一步：计算洗衣液、文具盒、水杯的总金额：
$22+10+12=44$（元）
第二步：设小明买了$x$支笔，由小票有笔的条目可知$x$是正整数，即$x≥1$，每支笔2元，买笔总花费为$2x$元，且总花费不超过50元，可列不等式：
$44+2x≤50$
解得$x≤3$，因此$x$可取1、2、3。
第三步：计算剩余的钱数：
剩余钱数$=50-(44+2x)=6-2x$
分别代入$x$的取值：
当$x=1$时，剩余$6-2×1=4$元；
当$x=2$时，剩余$6-2×2=2$元；
当$x=3$时，剩余$6-2×3=0$元。
对比选项，只有4元符合要求。
【答案】
C
【知识点】
有理数加减运算，奇偶性应用，简单不等式应用
【点评】
本题结合生活购物场景出题，既考查基础运算能力，也需要结合生活常识确定商品的购买数量范围，通过奇偶性可以快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先先计算已知的三种商品的总花费，再结合笔的单价为2元，可知买笔的总花费是偶数，由此可先通过奇偶性排除不符合的选项；再结合小票上有笔的条目，说明至少购买了1支笔，且总花费不超过50元，进一步筛选出符合条件的剩余钱数即可。
【解析】
第一步：计算洗衣液、文具盒、水杯的总金额：
$22+10+12=44$（元）
第二步：设小明买了$x$支笔，由小票有笔的条目可知$x$是正整数，即$x≥1$，每支笔2元，买笔总花费为$2x$元，且总花费不超过50元，可列不等式：
$44+2x≤50$
解得$x≤3$，因此$x$可取1、2、3。
第三步：计算剩余的钱数：
剩余钱数$=50-(44+2x)=6-2x$
分别代入$x$的取值：
当$x=1$时，剩余$6-2×1=4$元；
当$x=2$时，剩余$6-2×2=2$元；
当$x=3$时，剩余$6-2×3=0$元。
对比选项，只有4元符合要求。
【答案】
C
【知识点】
有理数加减运算，奇偶性应用，简单不等式应用
【点评】
本题结合生活购物场景出题，既考查基础运算能力，也需要结合生活常识确定商品的购买数量范围，通过奇偶性可以快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
4. 若$(x^2 + ax + 5) · (-6x^3) + 6x^4$的展开式中不含$x^4$的项，则常数$a$的值为________.
答案
4.1
解析
【分析】
解题思路如下：首先我们需要先对原式进行展开运算，再找到其中x⁴项的总系数；题目说展开式不含x⁴的项，意味着x⁴项的系数等于0，据此建立关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
第一步：先根据单项式乘多项式的法则展开乘积项：
$\begin{aligned}&(x^2 + ax + 5)·(-6x^3) + 6x^4\\=&x^2·(-6x^3) + ax·(-6x^3) + 5·(-6x^3) + 6x^4\\=&-6x^5 -6a x^4 -30x^3 + 6x^4\end{aligned}$
第二步：合并x⁴的同类项，整理得：
$=-6x^5 + (-6a + 6)x^4 -30x^3$
第三步：因为展开式中不含x⁴的项，所以x⁴项的系数为0，即：
$-6a + 6 = 0$
第四步：解这个一元一次方程：
移项得：$-6a = -6$
系数化为1得：$a = 1$
【答案】
1
【知识点】
1. 单项式乘多项式运算
2. 多项式项的系数
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是整式乘法的典型常考题型，核心考点是理解“多项式不含某项”等价于“该项的系数为0”，只要熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，准确找到对应项的系数，结合一元一次方程即可求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先我们需要先对原式进行展开运算，再找到其中x⁴项的总系数；题目说展开式不含x⁴的项，意味着x⁴项的系数等于0，据此建立关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
第一步：先根据单项式乘多项式的法则展开乘积项：
$\begin{aligned}&(x^2 + ax + 5)·(-6x^3) + 6x^4\\=&x^2·(-6x^3) + ax·(-6x^3) + 5·(-6x^3) + 6x^4\\=&-6x^5 -6a x^4 -30x^3 + 6x^4\end{aligned}$
第二步：合并x⁴的同类项，整理得：
$=-6x^5 + (-6a + 6)x^4 -30x^3$
第三步：因为展开式中不含x⁴的项，所以x⁴项的系数为0，即：
$-6a + 6 = 0$
第四步：解这个一元一次方程：
移项得：$-6a = -6$
系数化为1得：$a = 1$
【答案】
1
【知识点】
1. 单项式乘多项式运算
2. 多项式项的系数
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是整式乘法的典型常考题型，核心考点是理解“多项式不含某项”等价于“该项的系数为0”，只要熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，准确找到对应项的系数，结合一元一次方程即可求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,EO⊥CD,垂足为点 O.若∠AOE=55°,则∠BOD 的度数是
145°
.答案
5.145°
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：EO垂直于CD，∠AOE=55°，直线AB和CD相交于点O。首先根据垂直的定义得到∠EOC的度数，再通过角的和差关系求出∠AOC的度数，最后利用对顶角相等的性质，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵EO⊥CD，垂足为点O，
∴∠EOC=90°（垂直的定义）。
∵∠AOE=55°，
∴∠AOC=∠AOE+∠EOC=55°+90°=145°。
又
∵直线AB、CD相交于点O，∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=145°（对顶角相等）。
【答案】
145°
【知识点】
垂直的定义，对顶角的性质，角的和差计算
【点评】
本题是相交线相关的基础题型，核心是对垂直定义和对顶角性质的理解应用，解题的关键是准确识别图形中各个角的位置关系，理清角之间的数量逻辑。
【难度系数】
0.8
解题时先明确已知条件：EO垂直于CD，∠AOE=55°，直线AB和CD相交于点O。首先根据垂直的定义得到∠EOC的度数，再通过角的和差关系求出∠AOC的度数，最后利用对顶角相等的性质，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵EO⊥CD，垂足为点O，
∴∠EOC=90°（垂直的定义）。
∵∠AOE=55°，
∴∠AOC=∠AOE+∠EOC=55°+90°=145°。
又
∵直线AB、CD相交于点O，∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=145°（对顶角相等）。
【答案】
145°
【知识点】
垂直的定义，对顶角的性质，角的和差计算
【点评】
本题是相交线相关的基础题型，核心是对垂直定义和对顶角性质的理解应用，解题的关键是准确识别图形中各个角的位置关系，理清角之间的数量逻辑。
【难度系数】
0.8
6. 如图,用六块纸板拼成一块大长方形纸板,其中一块是边长为 $ a $ 的正方形,两块是边长为 $ b $ 的正方形,三块是长为 $ a $、宽为 $ b $ 的小长方形$(a＞b)$.观察图形,发现多项式$ a^2 + 3ab + 2b^2 $可分解因式为________.
答案
6.$(a+b)(a+2b)$
解析
【分析】
本题可利用面积法求解，同一个大长方形的面积可以用两种方式表示：一是把6块小图形的面积相加，刚好对应给出的多项式$a^2 + 3ab + 2b^2$；二是先求出大长方形的长和宽，再用“长×宽”计算面积。两种方式计算的面积相等，据此就能得到多项式的因式分解结果。解题时先观察图形确定大长方形的长、宽，再结合面积相等的关系推导即可。
【解析】
首先计算所有小图形的面积和：
1个边长为$a$的正方形面积为$a^2$，2个边长为$b$的正方形面积和为$2b^2$，3个长为$a$、宽为$b$的长方形面积和为$3ab$，因此总面积为$S=a^2 + 3ab + 2b^2$。
再观察大长方形的边长：
由图可知，大长方形的宽为$a + b$，长为$a + 2b$，因此大长方形的面积也可以表示为$S=(a + b)(a + 2b)$。
因为两种方式计算的是同一个大长方形的面积，所以二者相等，即：
$a^2 + 3ab + 2b^2=(a + b)(a + 2b)$
【答案】
$(a+b)(a+2b)$
【知识点】
1. 因式分解
2. 整式乘法
3. 数形结合
【点评】
本题通过几何图形的面积关系推导因式分解的结果，将代数运算与几何直观相结合，能帮助理解因式分解和整式乘法的互逆关系，解题的核心是准确识别大长方形的长和宽，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
本题可利用面积法求解，同一个大长方形的面积可以用两种方式表示：一是把6块小图形的面积相加，刚好对应给出的多项式$a^2 + 3ab + 2b^2$；二是先求出大长方形的长和宽，再用“长×宽”计算面积。两种方式计算的面积相等，据此就能得到多项式的因式分解结果。解题时先观察图形确定大长方形的长、宽，再结合面积相等的关系推导即可。
【解析】
首先计算所有小图形的面积和：
1个边长为$a$的正方形面积为$a^2$，2个边长为$b$的正方形面积和为$2b^2$，3个长为$a$、宽为$b$的长方形面积和为$3ab$，因此总面积为$S=a^2 + 3ab + 2b^2$。
再观察大长方形的边长：
由图可知，大长方形的宽为$a + b$，长为$a + 2b$，因此大长方形的面积也可以表示为$S=(a + b)(a + 2b)$。
因为两种方式计算的是同一个大长方形的面积，所以二者相等，即：
$a^2 + 3ab + 2b^2=(a + b)(a + 2b)$
【答案】
$(a+b)(a+2b)$
【知识点】
1. 因式分解
2. 整式乘法
3. 数形结合
【点评】
本题通过几何图形的面积关系推导因式分解的结果，将代数运算与几何直观相结合，能帮助理解因式分解和整式乘法的互逆关系，解题的核心是准确识别大长方形的长和宽，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
