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1. 一间教室长8 m、宽6 m、高3 m，现在要用涂料粉刷它内部的四壁和天花板。如果扣除门、窗和黑板所占的面积24 m²，那么要粉刷的面积有多大？如果每平方米用涂料0.15 kg，一共需要多少千克涂料？
答案
108 m² 16.2 kg
解析
【分析】
这道题是长方体表面积的实际应用问题，解题时首先要结合生活场景明确需要计算的面：粉刷教室仅需要算四壁和天花板，不用计算长方体的底面（地面）面积。第一步先求出这5个面的总面积，再减去门、窗和黑板的面积，就能得到要粉刷的面积；第二步用粉刷面积乘每平方米所需涂料的质量，即可算出总共需要的涂料质量。
【解析】
1. 计算需要粉刷的5个面的总面积
天花板（顶面）面积：$8×6 = 48(\mathrm{m}^2)$
四壁面积 = 2个长×高的面面积 + 2个宽×高的面面积：
$2×8×3 + 2×6×3 = 48 + 36 = 84(\mathrm{m}^2)$
5个面的总面：$48 + 84 = 132(\mathrm{m}^2)$
2. 扣除门窗黑板面积，得实际粉刷面积：
$132 - 24 = 108(\mathrm{m}^2)$
3. 计算所需涂料总质量：
$108×0.15 = 16.2(\mathrm{kg})$
【答案】
要粉刷的面积是$108\ \mathrm{m}^2$，一共需要$16.2\ \mathrm{kg}$涂料。
【知识点】
长方体表面积计算、小数乘法应用
【点评】
本题是长方体表面积的生活化考题，解题核心是结合实际场景确定需要计算的面，避免多算不需要粉刷的底面，同时不要忘记扣除门窗黑板等无需粉刷的部分，梳理清各部分面积即可正确解答。
【难度系数】
0.7
这道题是长方体表面积的实际应用问题，解题时首先要结合生活场景明确需要计算的面：粉刷教室仅需要算四壁和天花板，不用计算长方体的底面（地面）面积。第一步先求出这5个面的总面积，再减去门、窗和黑板的面积，就能得到要粉刷的面积；第二步用粉刷面积乘每平方米所需涂料的质量，即可算出总共需要的涂料质量。
【解析】
1. 计算需要粉刷的5个面的总面积
天花板（顶面）面积：$8×6 = 48(\mathrm{m}^2)$
四壁面积 = 2个长×高的面面积 + 2个宽×高的面面积：
$2×8×3 + 2×6×3 = 48 + 36 = 84(\mathrm{m}^2)$
5个面的总面：$48 + 84 = 132(\mathrm{m}^2)$
2. 扣除门窗黑板面积，得实际粉刷面积：
$132 - 24 = 108(\mathrm{m}^2)$
3. 计算所需涂料总质量：
$108×0.15 = 16.2(\mathrm{kg})$
【答案】
要粉刷的面积是$108\ \mathrm{m}^2$，一共需要$16.2\ \mathrm{kg}$涂料。
【知识点】
长方体表面积计算、小数乘法应用
【点评】
本题是长方体表面积的生活化考题，解题核心是结合实际场景确定需要计算的面，避免多算不需要粉刷的底面，同时不要忘记扣除门窗黑板等无需粉刷的部分，梳理清各部分面积即可正确解答。
【难度系数】
0.7
2.某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40 cm，它的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？
答案
64000 cm³ 64 dm³
解析
【分析】
这道题分两步解答即可：第一步先求正方体纸板箱的体积，我们已知正方体体积公式为棱长×棱长×棱长，直接将棱长40cm代入公式就能算出体积是多少立方厘米；第二步做单位换算，我们学过1立方分米=1000立方厘米，小单位换算成大单位要除以进率，用算出的立方厘米数除以1000就能得到对应的立方分米数。
【解析】
1. 计算正方体纸板箱的体积：
正方体体积公式：$V=a× a× a$（$a$为正方体棱长）
将$a=40\mathrm{cm}$代入公式：
$V=40×40×40=1600×40=64000(\mathrm{cm}^3)$
2. 单位换算：
因为$1\mathrm{dm}^3=1000\mathrm{cm}^3$，所以：
$64000÷1000=64(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
64000 cm³ 64 dm³
【知识点】
正方体体积计算、体积单位换算
【点评】
本题是基础类应用题，主要考察正方体体积公式的应用和体积单位间的换算，掌握相关基础公式和单位进率就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
这道题分两步解答即可：第一步先求正方体纸板箱的体积，我们已知正方体体积公式为棱长×棱长×棱长，直接将棱长40cm代入公式就能算出体积是多少立方厘米；第二步做单位换算，我们学过1立方分米=1000立方厘米，小单位换算成大单位要除以进率，用算出的立方厘米数除以1000就能得到对应的立方分米数。
【解析】
1. 计算正方体纸板箱的体积：
正方体体积公式：$V=a× a× a$（$a$为正方体棱长）
将$a=40\mathrm{cm}$代入公式：
$V=40×40×40=1600×40=64000(\mathrm{cm}^3)$
2. 单位换算：
因为$1\mathrm{dm}^3=1000\mathrm{cm}^3$，所以：
$64000÷1000=64(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
64000 cm³ 64 dm³
【知识点】
正方体体积计算、体积单位换算
【点评】
本题是基础类应用题，主要考察正方体体积公式的应用和体积单位间的换算，掌握相关基础公式和单位进率就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
3.一个长方体的沙坑装满了沙子,这个沙坑长3 m、宽1.5 m、深2 m,每立方米沙子重1400 kg。这个沙坑里共装沙子多少吨？
答案
12.6 t
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，沙坑装满沙子，沙子的体积等于长方体沙坑的容积，长方体容积的计算方法和体积一致，用公式“长方体体积=长×宽×高”计算即可，这里沙坑的深度就是公式里的高；第二步，用算出的沙子体积乘每立方米沙子的重量，就能得到沙子的总重量，此时得到的重量单位是千克；第三步，题目最终问的是多少吨，我们按照1吨=1000千克的进率，把千克换算成吨即可。
【解析】
1. 计算沙子的体积（即沙坑的容积）：
根据长方体体积公式：体积=长×宽×高
$3×1.5×2$
$=4.5×2$
$=9$（立方米）
2. 计算沙子的总重量（单位：千克）：
$9×1400=12600$（千克）
3. 单位换算：
因为$1吨=1000千克$，所以$12600千克=12600÷1000=12.6$（吨）
【答案】
12.6 t
【知识点】
长方体体积计算；质量单位换算；容积实际应用
【点评】
这道题是立体图形容积在生活场景中的典型应用，解题核心是明确容器装满物体时，物体的体积等于容器的容积，计算完毕后要注意按照题目要求统一单位，避免因漏看单位要求出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，沙坑装满沙子，沙子的体积等于长方体沙坑的容积，长方体容积的计算方法和体积一致，用公式“长方体体积=长×宽×高”计算即可，这里沙坑的深度就是公式里的高；第二步，用算出的沙子体积乘每立方米沙子的重量，就能得到沙子的总重量，此时得到的重量单位是千克；第三步，题目最终问的是多少吨，我们按照1吨=1000千克的进率，把千克换算成吨即可。
【解析】
1. 计算沙子的体积（即沙坑的容积）：
根据长方体体积公式：体积=长×宽×高
$3×1.5×2$
$=4.5×2$
$=9$（立方米）
2. 计算沙子的总重量（单位：千克）：
$9×1400=12600$（千克）
3. 单位换算：
因为$1吨=1000千克$，所以$12600千克=12600÷1000=12.6$（吨）
【答案】
12.6 t
【知识点】
长方体体积计算；质量单位换算；容积实际应用
【点评】
这道题是立体图形容积在生活场景中的典型应用，解题核心是明确容器装满物体时，物体的体积等于容器的容积，计算完毕后要注意按照题目要求统一单位，避免因漏看单位要求出错。
【难度系数】
0.7
右图是一些棱长为1 cm的小正方体积木，继续堆下去（原来的积木不动）。
(1)若堆成一个长方体，至少还需要(
(2)若堆成一个大正方体，至少还需要(
(1)若堆成一个长方体，至少还需要(
10
)个小正方体积木，这个长方体的体积是(18
)$\mathrm{cm}^3$。(2)若堆成一个大正方体，至少还需要(
19
)个小正方体积木，这个大正方体的体积是(27
)$\mathrm{cm}^3$。答案
(1)10 18 (2)19 27
解析
【分析】
解题思路：首先分层数出已有的小正方体积木总个数；再观察现有积木的尺寸，确定堆成最小长方体的长、宽、高：现有积木横向最长有3个小正方体棱长，前后方向最宽有2个，上下方向最高有3个，因此最小的长方体长宽高对应为3cm、2cm、3cm；堆成最小大正方体时，棱长需要取现有最长的边的长度，即3个小正方体棱长，也就是3cm。分别计算长方体、大正方体总共需要的小正方体个数，减去已有个数，就能得到还需要的个数，总个数乘单个小正方体的体积1cm³就是对应立体图形的体积。
【解析】
第一步：数现有小正方体数量，从上到下分层数：最上层1个，中间层3个，最底层4个，总共有$1+3+4=8$个。
(1) 堆成最小长方体，长宽高分别为3cm、2cm、3cm，总共需要小正方体个数：$3×2×3=18$个，还需要的个数：$18-8=10$个，长方体体积为$18×1=18\ \mathrm{cm}^3$。
(2) 堆成最小大正方体，棱长最小为3cm，总共需要小正方体个数：$3×3×3=27$个，还需要的个数：$27-8=19$个，大正方体体积为$27×1=27\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1)10，18；(2)19，27
【知识点】
立体图形计数，长方体体积计算，正方体体积计算
【点评】
本题重点考察空间想象能力和长正方体体积公式的应用，解题的关键是准确计数现有小正方体的个数，并且正确判断出拼成的最小长方体、大正方体的尺寸。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先分层数出已有的小正方体积木总个数；再观察现有积木的尺寸，确定堆成最小长方体的长、宽、高：现有积木横向最长有3个小正方体棱长，前后方向最宽有2个，上下方向最高有3个，因此最小的长方体长宽高对应为3cm、2cm、3cm；堆成最小大正方体时，棱长需要取现有最长的边的长度，即3个小正方体棱长，也就是3cm。分别计算长方体、大正方体总共需要的小正方体个数，减去已有个数，就能得到还需要的个数，总个数乘单个小正方体的体积1cm³就是对应立体图形的体积。
【解析】
第一步：数现有小正方体数量，从上到下分层数：最上层1个，中间层3个，最底层4个，总共有$1+3+4=8$个。
(1) 堆成最小长方体，长宽高分别为3cm、2cm、3cm，总共需要小正方体个数：$3×2×3=18$个，还需要的个数：$18-8=10$个，长方体体积为$18×1=18\ \mathrm{cm}^3$。
(2) 堆成最小大正方体，棱长最小为3cm，总共需要小正方体个数：$3×3×3=27$个，还需要的个数：$27-8=19$个，大正方体体积为$27×1=27\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1)10，18；(2)19，27
【知识点】
立体图形计数，长方体体积计算，正方体体积计算
【点评】
本题重点考察空间想象能力和长正方体体积公式的应用，解题的关键是准确计数现有小正方体的个数，并且正确判断出拼成的最小长方体、大正方体的尺寸。
【难度系数】
0.7
