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3.与函数$y=x^2$是同一个函数的是（
A.$y=(\sqrt{x})^4$
B.$y=\frac{x^3}{x}$
C.$y=\sqrt[3]{x^6}$
D.$y=(\frac{1}{x})^{-2}$
C
）A.$y=(\sqrt{x})^4$
B.$y=\frac{x^3}{x}$
C.$y=\sqrt[3]{x^6}$
D.$y=(\frac{1}{x})^{-2}$
答案
3.C 函数$y=x^2$的定义域为$\mathbb{R}$.
函数$y=(\sqrt{x})^4$的定义域为$[0,+∞)$,所以与函数$y=x^2$不是同一个函数,所以A不符合题意;
函数$y=\dfrac{x^3}{x}$的定义域为$\{x|x≠0\}$,所以与函数$y=x^2$不是同一个函数,所以B不符合题意;
函数$y=\sqrt[3]{x^6}=x^2$的定义域为$\mathbb{R}$,且与$y=x^2$的对应关系相同,所以与函数$y=x^2$是同一个函数,所以C符合题意;
函数$y=(\dfrac{1}{x})^{-2}$的定义域为$\{x|x≠0\}$,所以与函数$y=x^2$不是同一个函数,所以D不符合题意.
函数$y=(\sqrt{x})^4$的定义域为$[0,+∞)$,所以与函数$y=x^2$不是同一个函数,所以A不符合题意;
函数$y=\dfrac{x^3}{x}$的定义域为$\{x|x≠0\}$,所以与函数$y=x^2$不是同一个函数,所以B不符合题意;
函数$y=\sqrt[3]{x^6}=x^2$的定义域为$\mathbb{R}$,且与$y=x^2$的对应关系相同,所以与函数$y=x^2$是同一个函数,所以C符合题意;
函数$y=(\dfrac{1}{x})^{-2}$的定义域为$\{x|x≠0\}$,所以与函数$y=x^2$不是同一个函数,所以D不符合题意.
4.已知函数$y=f(x)$的定义域是$[-1,3]$，则函数$y=f(2x-1)$的定义域是（
A.$[0,2]$
B.$[-1,3]$
C.$[0,4]$
D.$[-\dfrac{5}{2},0]$
A
）A.$[0,2]$
B.$[-1,3]$
C.$[0,4]$
D.$[-\dfrac{5}{2},0]$
答案
4.A 因为函数$y=f(x)$的定义域是$[-1,3]$,所以$-1≤2x-1≤3$,解得$0≤x≤2$,所以函数$y=f(2x-1)$的定义域是$[0,2].$
5.设集合$A=(-2,10],B=[5,13)$,则$\complement_{\mathbb{R}}(A∩ B)=$
$(-∞,5)\cup(10,+∞)$
.(用区间表示)答案
5.$(-∞,5)\cup(10,+∞)$ 因为集合$A=(-2,10],B=[5,13)$,所以$A∩ B=[5,10]$,所以$\complement_{\mathbb{R}}(A∩ B)=(-∞,5)\cup(10,+∞).$
6.(北京卷)函数$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{1-x}$的定义域是
$(-∞,0)\cup(0,1]$
。答案
6.$(-∞,0)\cup(0,1]$ 因为$f(x)=\dfrac{1}{x}+\sqrt{1-x}$,所以$\begin{cases}1-x≥0,\\x≠0,\end{cases}$解得$x≤1$且$x≠0$,所以函数$f(x)$的定义域是$(-∞,0)\cup(0,1].$
7.(教材改编题)求下列函数的定义域：
(1)$y=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$；
(2)$y=\frac{1}{|x|-1}$。
(1)$y=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$；
(2)$y=\frac{1}{|x|-1}$。
答案
7.解:(1)要使函数有意义,则$\begin{cases}x≥0,\\1-x≥0,\end{cases}$ 解得$0≤x≤1$,所以函数的定义域为$[0,1].$
(2)要使函数有意义,则$|x|-1≠0$,解得$x≠±1$,所以函数的定义域为$(-∞,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+∞).$
(2)要使函数有意义,则$|x|-1≠0$,解得$x≠±1$,所以函数的定义域为$(-∞,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+∞).$
8.已知函数$f(x)=\dfrac{x^2 - 3x}{\sqrt{2x + 1}},g(x)=\dfrac{\sqrt{2x + 1}}{x - 3},$设$h(x)=f(x)· g(x).$若函数$H(x)=x,$试判断$y=H(x)$和$y=h(x)$是否是同一个函数，并说明理由。
答案
8.解:$y=H(x)$和$y=h(x)$不是同一个函数.理由如下:
由题意,得函数$f(x)$的定义域为$(-\dfrac{1}{2},+∞)$,$g(x)$的定义域为$[-\dfrac{1}{2},3)\cup(3,+∞)$,
所以$h(x)$的定义域为$f(x)$和$g(x)$的定义域的交集,即$(-\dfrac{1}{2},3)\cup(3,+∞)$.$(h(x)$由$f(x)$和$g(x)$构成,需分别求出$f(x)$和$g(x)$的定义域,再取交集)
因为$h(x)=f(x)· g(x)=\dfrac{x^2-3x}{\sqrt{2x+1}}·\dfrac{\sqrt{2x+1}}{x-3}=\dfrac{x(x-3)}{x-3}=x$,(不可化简后再求定义域)
所以$h(x)=x,x\in(-\dfrac{1}{2},3)\cup(3,+∞).$
虽然函数$y=H(x)$和$y=h(x)$的对应关系相同,但定义域不同,$H(x)$的定义域为$\mathbb{R}$,$h(x)$的定义域为$(-\dfrac{1}{2},3)\cup(3,+∞)$,所以$y=H(x)$和$y=h(x)$不是同一个函数.
由题意,得函数$f(x)$的定义域为$(-\dfrac{1}{2},+∞)$,$g(x)$的定义域为$[-\dfrac{1}{2},3)\cup(3,+∞)$,
所以$h(x)$的定义域为$f(x)$和$g(x)$的定义域的交集,即$(-\dfrac{1}{2},3)\cup(3,+∞)$.$(h(x)$由$f(x)$和$g(x)$构成,需分别求出$f(x)$和$g(x)$的定义域,再取交集)
因为$h(x)=f(x)· g(x)=\dfrac{x^2-3x}{\sqrt{2x+1}}·\dfrac{\sqrt{2x+1}}{x-3}=\dfrac{x(x-3)}{x-3}=x$,(不可化简后再求定义域)
所以$h(x)=x,x\in(-\dfrac{1}{2},3)\cup(3,+∞).$
虽然函数$y=H(x)$和$y=h(x)$的对应关系相同,但定义域不同,$H(x)$的定义域为$\mathbb{R}$,$h(x)$的定义域为$(-\dfrac{1}{2},3)\cup(3,+∞)$,所以$y=H(x)$和$y=h(x)$不是同一个函数.
9.若函数$f(x)=\sqrt{x-2}$的定义域为$A$，$B=\{y|y=2x^2,x≠1\}$，则$A∩B=$（
A.$(2,+∞)$
B.$[2,+∞)$
C.$[1,+∞)$
D.$(1,+∞)$
B
）A.$(2,+∞)$
B.$[2,+∞)$
C.$[1,+∞)$
D.$(1,+∞)$
答案
9.B 由题意,得$A=[2,+∞)$.因为$B=\{y|y=2x^2,x≠1\}=[0,+∞)$,所以$A∩ B=[2,+∞).$
10. 下列各组中的函数,是同一个函数的是（
A.$f(x)=1$ 与 $g(x)=x^0$
B.$f(x)=x(x\in\mathbb{R})$ 与 $g(x)=x(x\in\mathbb{Z})$
C.$f(x)=|x|$ 与 $g(x)=\begin{cases}x, & x≥0, \\ -x, & x＜0\end{cases}$
D.$f(x)=\sqrt{x+2}·\sqrt{x-2}$ 与 $g(x)=\sqrt{x^2 -4}$
C
）A.$f(x)=1$ 与 $g(x)=x^0$
B.$f(x)=x(x\in\mathbb{R})$ 与 $g(x)=x(x\in\mathbb{Z})$
C.$f(x)=|x|$ 与 $g(x)=\begin{cases}x, & x≥0, \\ -x, & x＜0\end{cases}$
D.$f(x)=\sqrt{x+2}·\sqrt{x-2}$ 与 $g(x)=\sqrt{x^2 -4}$
答案
10.C 函数$f(x)=1$的定义域为$\mathbb{R}$,$g(x)=x^0$的定义域为$(-∞,0)\cup(0,+∞)$,两个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故A不符合题意.
函数$f(x)=x(x\in\mathbb{R})$的定义域为全体实数,$g(x)=x(x\in\mathbb{Z})$的定义域为全体整数,两个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故B不符合题意.
函数$f(x)=|x|$的定义域为$\mathbb{R}$,$g(x)=\begin{cases}x,x≥0,\\-x,x＜0\end{cases}$的定义域为$\mathbb{R}$,两个函数的定义域相同,对应关系也相同,故是同一个函数,故C符合题意.
由函数$f(x)=\sqrt{x+2}·\sqrt{x-2}$可得,$\begin{cases}x+2≥0,\\x-2≥0,\end{cases}$解得$x≥2$,即函数$f(x)=\sqrt{x+2}·\sqrt{x-2}$的定义域为$[2,+∞)$,
由函数$g(x)=\sqrt{x^2-4}$可得,$x^2-4≥0$,解得$x≥2$或$x≤-2$,即函数$g(x)=\sqrt{x^2-4}$的定义域为$(-∞,-2]\cup[2,+∞)$,两个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故D不符合题意.
函数$f(x)=x(x\in\mathbb{R})$的定义域为全体实数,$g(x)=x(x\in\mathbb{Z})$的定义域为全体整数,两个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故B不符合题意.
函数$f(x)=|x|$的定义域为$\mathbb{R}$,$g(x)=\begin{cases}x,x≥0,\\-x,x＜0\end{cases}$的定义域为$\mathbb{R}$,两个函数的定义域相同,对应关系也相同,故是同一个函数,故C符合题意.
由函数$f(x)=\sqrt{x+2}·\sqrt{x-2}$可得,$\begin{cases}x+2≥0,\\x-2≥0,\end{cases}$解得$x≥2$,即函数$f(x)=\sqrt{x+2}·\sqrt{x-2}$的定义域为$[2,+∞)$,
由函数$g(x)=\sqrt{x^2-4}$可得,$x^2-4≥0$,解得$x≥2$或$x≤-2$,即函数$g(x)=\sqrt{x^2-4}$的定义域为$(-∞,-2]\cup[2,+∞)$,两个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故D不符合题意.
11.(一题多解)已知函数$f(x+1)$的定义域为$[1,5]$，求函数$f(x-1)$的定义域.
(提示:方法1:首先明确函数$f(x+1)$和$f(x-1)$的定义域均指的是该函数中自变量$x$的取值范围，然后根据$f(x+1)$和$f(x-1)$中代数式的取值范围相同进行求解;方法2:根据函数$f(x-1)$可以看作是由函数$f(x+1)$向右平移2个单位长度得到的进行求解)
......答案 P22
(提示:方法1:首先明确函数$f(x+1)$和$f(x-1)$的定义域均指的是该函数中自变量$x$的取值范围，然后根据$f(x+1)$和$f(x-1)$中代数式的取值范围相同进行求解;方法2:根据函数$f(x-1)$可以看作是由函数$f(x+1)$向右平移2个单位长度得到的进行求解)
......答案 P22
答案
11.(一题多解)解:方法1:由题意,得$1≤x≤5$,所以$2≤x+1≤6$,所以函数$f(x)$的定义域为$[2,6]$.令$2≤x-1≤6$,解得$3≤x≤7$,故函数$f(x-1)$的定义域为$[3,7].$
方法2:函数$f(x-1)$可以看作将函数$f(x+1)$向右平移2个单位长度之后得到的新函数,所以将$f(x+1)$的定义域向右平移2个单位长度可得到$f(x-1)$的定义域.由题意,得$f(x+1)$的定义域为$[1,5]$,所以$f(x-1)$的定义域为$[1+2,5+2]$,即$[3,7].$
方法2:函数$f(x-1)$可以看作将函数$f(x+1)$向右平移2个单位长度之后得到的新函数,所以将$f(x+1)$的定义域向右平移2个单位长度可得到$f(x-1)$的定义域.由题意,得$f(x+1)$的定义域为$[1,5]$,所以$f(x-1)$的定义域为$[1+2,5+2]$,即$[3,7].$
