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【典例2】(1)若函数$f(x)=ax^2 + 2x - 3$在$[1,+∞)$上单调递增，求实数$a$的取值范围.
(2)已知函数$f(x)=\frac{x^2}{x - 1},x\in(2,+∞)$.
①判断函数$f(x)$在$(2,+∞)$上的单调性，并证明；
②若$f(2a + 1)＞f(4 - a)$，求实数$a$的取值范围.
解题指导 (1)由二次项系数$a$想到分$a=0$(一次函数)和$a≠0$(二次函数)两类讨论.当$a=0$时，分析一次函数中的系数$k$，进而进行判断；当$a≠0$时，数形结合列出不等式组求解.
(2)根据定义求得函数在$(2,+∞)$上的单调性，再将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，列出不等式组求解.
答案 解:(1)当$a=0$时，$f(x)=2x - 3$，该函数在$[1,+∞)$上单调递增；(最高项系数含参问题，注意讨论最高项系数为0的情况)
当$a≠0$时，要使得函数$f(x)=ax^2 + 2x - 3$在$[1,+∞)$上单调递增，需满足$\begin{cases}a＞0, \\ -\frac{1}{a}≤1,\end{cases}$($f(x)$图象的对称轴应在$x=1$的左侧或与$x=1$重合)
解得$a＞0$.
综上，实数$a$的取值范围为$[0,+∞)$.
(2)①函数$f(x)$在$(2,+∞)$上单调递增.
证明如下：
任取$2＜x_1＜x_2$，
则$f(x_1)-f(x_2)$
$=\frac{x_1^2}{x_1 - 1}-\frac{x_2^2}{x_2 - 1}$
$=\frac{x_1^2(x_2 - 1)-x_2^2(x_1 - 1)}{}$
由$2＜x_1＜x_2$，得$x_1 - x_2＜0,(x_1 - 1)(x_2 - 1)＞0,x_1x_2＞x_1 + x_2$，
所以$f(x_1)-f(x_2)＜0$，即$f(x_1)＜f(x_2)$，
所以函数$f(x)$在$(2,+∞)$上单调递增.
②由①，知函数$f(x)$在$(2,+∞)$上单调递增.又$f(2a + 1)＞f(4 - a)$，
则$\begin{cases}2a + 1＞4 - a, \\ 2a + 1＞2, \\ 4 - a＞2,\end{cases}$(注意勿漏定义域的限制条件)解得$1＜a＜2$，
所以实数$a$的取值范围为$(1,2)$.
▶方法总结
(1)由函数的解析式求参数：
①一次函数由一次项系数的正负决定单调性，从而确定参数满足的条件；
②二次函数先判断图象的开口方向和对称轴，再根据单调性确定参数满足的条件；
③分段函数要数形结合，每一段函数的单调性均要考虑，并注意分界点处函数值的大小，进而求参数.
(2)利用单调性求解不等式，关键是利用函数的单调性将“$f$”去掉，将函数值的大小转化为有关自变量的不等式求解，同时注意函数的定义域.若函数$f(x)$在给定区间上单调递增，则当$f(x_1)＜f(x_2)$时，有$x_1＜x_2$；当$f(x_1)＞f(x_2)$时，有$x_1＞x_2$.
(2)已知函数$f(x)=\frac{x^2}{x - 1},x\in(2,+∞)$.
①判断函数$f(x)$在$(2,+∞)$上的单调性，并证明；
②若$f(2a + 1)＞f(4 - a)$，求实数$a$的取值范围.
解题指导 (1)由二次项系数$a$想到分$a=0$(一次函数)和$a≠0$(二次函数)两类讨论.当$a=0$时，分析一次函数中的系数$k$，进而进行判断；当$a≠0$时，数形结合列出不等式组求解.
(2)根据定义求得函数在$(2,+∞)$上的单调性，再将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，列出不等式组求解.
答案 解:(1)当$a=0$时，$f(x)=2x - 3$，该函数在$[1,+∞)$上单调递增；(最高项系数含参问题，注意讨论最高项系数为0的情况)
当$a≠0$时，要使得函数$f(x)=ax^2 + 2x - 3$在$[1,+∞)$上单调递增，需满足$\begin{cases}a＞0, \\ -\frac{1}{a}≤1,\end{cases}$($f(x)$图象的对称轴应在$x=1$的左侧或与$x=1$重合)
解得$a＞0$.
综上，实数$a$的取值范围为$[0,+∞)$.
(2)①函数$f(x)$在$(2,+∞)$上单调递增.
证明如下：
任取$2＜x_1＜x_2$，
则$f(x_1)-f(x_2)$
$=\frac{x_1^2}{x_1 - 1}-\frac{x_2^2}{x_2 - 1}$
$=\frac{x_1^2(x_2 - 1)-x_2^2(x_1 - 1)}{}$
由$2＜x_1＜x_2$，得$x_1 - x_2＜0,(x_1 - 1)(x_2 - 1)＞0,x_1x_2＞x_1 + x_2$，
所以$f(x_1)-f(x_2)＜0$，即$f(x_1)＜f(x_2)$，
所以函数$f(x)$在$(2,+∞)$上单调递增.
②由①，知函数$f(x)$在$(2,+∞)$上单调递增.又$f(2a + 1)＞f(4 - a)$，
则$\begin{cases}2a + 1＞4 - a, \\ 2a + 1＞2, \\ 4 - a＞2,\end{cases}$(注意勿漏定义域的限制条件)解得$1＜a＜2$，
所以实数$a$的取值范围为$(1,2)$.
▶方法总结
(1)由函数的解析式求参数：
①一次函数由一次项系数的正负决定单调性，从而确定参数满足的条件；
②二次函数先判断图象的开口方向和对称轴，再根据单调性确定参数满足的条件；
③分段函数要数形结合，每一段函数的单调性均要考虑，并注意分界点处函数值的大小，进而求参数.
(2)利用单调性求解不等式，关键是利用函数的单调性将“$f$”去掉，将函数值的大小转化为有关自变量的不等式求解，同时注意函数的定义域.若函数$f(x)$在给定区间上单调递增，则当$f(x_1)＜f(x_2)$时，有$x_1＜x_2$；当$f(x_1)＞f(x_2)$时，有$x_1＞x_2$.
答案
解：(1) 当$a=0$时，$f(x)=2x-3$，该一次函数在$[1,+∞)$上单调递增，符合题意。
当$a≠0$时，$f(x)=ax^2+2x-3$为二次函数，图象的对称轴为$x=-\frac{1}{a}$。
要使$f(x)$在$[1,+∞)$上单调递增，需满足：
$\begin{cases}a＞0 \\ -\frac{1}{a}≤1\end{cases}$
解得$a＞0$。
综上，实数$a$的取值范围为$[0,+∞)$。
(2) ① 函数$f(x)$在$(2,+∞)$上单调递增，证明如下：
任取$2＜x_1＜x_2$，
$\begin{aligned}f(x_1)-f(x_2)&=\frac{x_1^2}{x_1-1}-\frac{x_2^2}{x_2-1}\\&=\frac{x_1^2(x_2-1)-x_2^2(x_1-1)}{(x_1-1)(x_2-1)}\\&=\frac{x_1^2x_2 - x_1^2 - x_1x_2^2 + x_2^2}{(x_1-1)(x_2-1)}\\&=\frac{(x_1-x_2)(x_1x_2 - x_1 - x_2)}{(x_1-1)(x_2-1)}\end{aligned}$
由$2＜x_1＜x_2$，得$x_1-x_2＜0$，$(x_1-1)(x_2-1)＞0$，$x_1x_2 - x_1 - x_2 = (x_1-1)(x_2-1)-1＞1×1-1=0$。
因此$f(x_1)-f(x_2)＜0$，即$f(x_1)＜f(x_2)$，
所以函数$f(x)$在$(2,+∞)$上单调递增。
② 由①知$f(x)$在$(2,+∞)$上单调递增，又$f(2a+1)＞f(4-a)$，可得不等式组：
$\begin{cases}2a+1＞2 \\4-a＞2 \\2a+1＞4-a\end{cases}$
解得$1＜a＜2$。
所以实数$a$的取值范围为$(1,2)$。
当$a≠0$时，$f(x)=ax^2+2x-3$为二次函数，图象的对称轴为$x=-\frac{1}{a}$。
要使$f(x)$在$[1,+∞)$上单调递增，需满足：
$\begin{cases}a＞0 \\ -\frac{1}{a}≤1\end{cases}$
解得$a＞0$。
综上，实数$a$的取值范围为$[0,+∞)$。
(2) ① 函数$f(x)$在$(2,+∞)$上单调递增，证明如下：
任取$2＜x_1＜x_2$，
$\begin{aligned}f(x_1)-f(x_2)&=\frac{x_1^2}{x_1-1}-\frac{x_2^2}{x_2-1}\\&=\frac{x_1^2(x_2-1)-x_2^2(x_1-1)}{(x_1-1)(x_2-1)}\\&=\frac{x_1^2x_2 - x_1^2 - x_1x_2^2 + x_2^2}{(x_1-1)(x_2-1)}\\&=\frac{(x_1-x_2)(x_1x_2 - x_1 - x_2)}{(x_1-1)(x_2-1)}\end{aligned}$
由$2＜x_1＜x_2$，得$x_1-x_2＜0$，$(x_1-1)(x_2-1)＞0$，$x_1x_2 - x_1 - x_2 = (x_1-1)(x_2-1)-1＞1×1-1=0$。
因此$f(x_1)-f(x_2)＜0$，即$f(x_1)＜f(x_2)$，
所以函数$f(x)$在$(2,+∞)$上单调递增。
② 由①知$f(x)$在$(2,+∞)$上单调递增，又$f(2a+1)＞f(4-a)$，可得不等式组：
$\begin{cases}2a+1＞2 \\4-a＞2 \\2a+1＞4-a\end{cases}$
解得$1＜a＜2$。
所以实数$a$的取值范围为$(1,2)$。
【变式2】（1）已知函数$f(x)=\begin{cases}-x^2 +1, & x＜1, \\ x^2 -4x +3, & x≥1\end{cases}$在$(0,a-5)$上单调递减，则实数$a$的取值范围为 ______ ；
（2）已知函数$y=f(x)$在定义域$(-1,1)$上是
（2）已知函数$y=f(x)$在定义域$(-1,1)$上是
答案
(1)$(5,7]$
易得$y=-x^2+1$在$(-∞,0]$上单调递增,在$(0,1)$上单调递减,$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$在$[1,2)$上单调递减,在$[2,+∞)$上单调递增.
因为$-1^2+1=0=1^2-4×1+3$,
所以$f(x)$在$(-∞,0]$上单调递增,在$(0,2)$上单调递减,在$[2,+∞)$上单调递增.
由$f(x)$在$(0,a-5)$上单调递减,得$0＜a-5≤2$,(区间的左端点必小于右端点,勿遗漏)所以$5＜a≤7$,即实数$a$的取值范围为$(5,7]$.
易得$y=-x^2+1$在$(-∞,0]$上单调递增,在$(0,1)$上单调递减,$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$在$[1,2)$上单调递减,在$[2,+∞)$上单调递增.
因为$-1^2+1=0=1^2-4×1+3$,
所以$f(x)$在$(-∞,0]$上单调递增,在$(0,2)$上单调递减,在$[2,+∞)$上单调递增.
由$f(x)$在$(0,a-5)$上单调递减,得$0＜a-5≤2$,(区间的左端点必小于右端点,勿遗漏)所以$5＜a≤7$,即实数$a$的取值范围为$(5,7]$.
(2)已知函数$y=f(x)$在定义域$(-1,1)$上是减函数，且$f(2a-1)＜f(1-a)$，则实数$a$的取值范围为
$(\dfrac{2}{3},1)$
。答案
(2)$(\dfrac{2}{3},1)$
因为函数$y=f(x)$在定义域$(-1,1)$上是减函数,且$f(2a-1)＜f(1-a)$,
所以$\begin{cases}-1＜2a-1＜1,\\-1＜1-a＜1,\\2a-1＞1-a,\end{cases}$解得$\frac{2}{3}＜a＜1$,即实数$a$的取值范围为$(\frac{2}{3},1)$.
因为函数$y=f(x)$在定义域$(-1,1)$上是减函数,且$f(2a-1)＜f(1-a)$,
所以$\begin{cases}-1＜2a-1＜1,\\-1＜1-a＜1,\\2a-1＞1-a,\end{cases}$解得$\frac{2}{3}＜a＜1$,即实数$a$的取值范围为$(\frac{2}{3},1)$.
