【典例1】已知函数$f(x)=x-\dfrac{1}{x+1},x\in(-1,+∞)$，判断函数$f(x)$的单调性，并利用定义证明.
解题指导 第1步：$∀ x_1,x_2\in(-1,+∞)$，且$x_1＜x_2$；
第2步：作差变形，化简$f(x_1)-f(x_2)$；
第3步：判断$f(x_1)-f(x_2)$的符号；
第4步：根据$f(x_1)-f(x_2)$的符号得出函数$f(x)$的单调性.
答案 解：函数$f(x)=x-\dfrac{1}{x+1}$在区间$(-1,+∞)$上单调递增.证明如下：
$∀ x_1,x_2\in(-1,+∞)$，且$x_1＜x_2$，（取值）
则$f(x_1)-f(x_2)=x_1-\dfrac{1}{x_1+1}-(x_2-\dfrac{1}{x_2+1})$（作差变形）
$=x_1-x_2+\dfrac{1}{x_2+1}-\dfrac{1}{x_1+1}$
$=x_1-x_2+\dfrac{x_1-x_2}{(x_2+1)(x_1+1)}$
$=(x_1-x_2)[1+\dfrac{1}{(x_2+1)(x_1+1)}].$
因为$x_1＜x_2$，
所以$x_1-x_2＜0.$
又$x_1,x_2\in(-1,+∞)$，
所以$1+\dfrac{1}{(x_2+1)(x_1+1)}＞0,$
所以$f(x_1)-f(x_2)＜0,$（定号）
即$f(x_1)＜f(x_2)$，故函数$f(x)=x-\dfrac{1}{x+1}$在区间$(-1,+∞)$上单调递增.（下结论）

解：函数$f(x)=x-\dfrac{1}{x+1}$在区间$(-1,+∞)$上单调递增，证明如下：
$∀ x_1,x_2\in(-1,+∞)$，且$x_1＜x_2$，
则
$\begin{aligned}f(x_1)-f(x_2)&=x_1-\frac{1}{x_1+1}-(x_2-\frac{1}{x_2+1})\\&=x_1-x_2+\frac{1}{x_2+1}-\frac{1}{x_1+1}\\&=x_1-x_2+\frac{x_1-x_2}{(x_2+1)(x_1+1)}\\&=(x_1-x_2)[1+\frac{1}{(x_2+1)(x_1+1)}]\end{aligned}$
因为$x_1＜x_2$，所以$x_1-x_2＜0$，
又$x_1,x_2\in(-1,+∞)$，故$x_1+1＞0$，$x_2+1＞0$，因此$(x_1+1)(x_2+1)＞0$，
可得$1+\dfrac{1}{(x_2+1)(x_1+1)}＞0$，
所以$f(x_1)-f(x_2)＜0$，即$f(x_1)＜f(x_2)$，
根据函数单调性的定义，函数$f(x)=x-\dfrac{1}{x+1}$在区间$(-1,+∞)$上单调递增。

【变式1】已知函数$f(x)=\dfrac{x}{x-1}$，用函数单调性的定义证明函数$f(x)$在区间$(1,+∞)$上单调递减。

证明:$f(x)=\frac{x}{x-1}=\frac{x-1+1}{x-1}=\frac{1}{x-1}+1$.
$∀ x_1,x_2\in(1,+∞)$,且$x_2＞x_1$,
则$f(x_2)-f(x_1)=\frac{1}{x_2-1}+1-\frac{1}{x_1-1}-1=\frac{x_1-x_2}{(x_2-1)(x_1-1)}$.
因为$x_2＞x_1＞1$,所以$(x_2-1)(x_1-1)＞0$,$x_1-x_2＜0$,
所以$f(x_2)-f(x_1)＜0$,即$f(x_2)＜f(x_1)$,故函数$f(x)$在区间$(1,+∞)$上单调递减.