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1.已知函数$y=f(x),x\in[-2,6]$的图象如图所示,则$y=f(x)$的单调递减区间为（
A.$[-2,6]$
B.$[-1,6]$
C.$[-1,2]$
D.$[-2,-1]$
C
）A.$[-2,6]$
B.$[-1,6]$
C.$[-1,2]$
D.$[-2,-1]$
答案
1.C 由题图可知,$f(x)$在$[-2,6]$上的单调递增区间为$[-2,-1]$和$[2,6]$,单调递减区间为$[-1,2]$.
2.下列函数$f(x)$中，满足在$(0,+∞)$上单调递减的是（
A.$f(x)=x^2$
B.$f(x)=\frac{1}{x}$
C.$f(x)=|x|$
D.$f(x)=2x+1$
B
）A.$f(x)=x^2$
B.$f(x)=\frac{1}{x}$
C.$f(x)=|x|$
D.$f(x)=2x+1$
答案
2.B $f(x)=x^2$为图象开口向上、且对称轴为$y$轴的二次函数,所以在$(0,+∞)$上单调递增,故A不符合题意;
$f(x)=\frac{1}{x}$为反比例函数,在$(0,+∞)$上单调递减,故B符合题意;
当$x\in(0,+∞)$时,$f(x)=x$,在$(0,+∞)$上单调递增,故C不符合题意;
$f(x)=2x+1$为一次函数,且$k＞0$,所以在$(0,+∞)$上单调递增,故D不符合题意.
$f(x)=\frac{1}{x}$为反比例函数,在$(0,+∞)$上单调递减,故B符合题意;
当$x\in(0,+∞)$时,$f(x)=x$,在$(0,+∞)$上单调递增,故C不符合题意;
$f(x)=2x+1$为一次函数,且$k＞0$,所以在$(0,+∞)$上单调递增,故D不符合题意.
3.若函数$f(x)=(2a-1)x+b$在$\mathbf{R}$上是减函数，则（
A.$a≥ \dfrac{1}{2}$
B.$a≤ \dfrac{1}{2}$
C.$a＞\dfrac{1}{2}$
D.$a＜\dfrac{1}{2}$
D
）A.$a≥ \dfrac{1}{2}$
B.$a≤ \dfrac{1}{2}$
C.$a＞\dfrac{1}{2}$
D.$a＜\dfrac{1}{2}$
答案
3.D 若函数$f(x)=(2a-1)x+b$在$\mathbf{R}$上是减函数,则$2a-1＜0$,即$a＜\frac{1}{2}$.
4.(多选)已知函数$f(x)=ax^2 - 2ax + 2(a＞0)$，则（
A.$f(2)＜f(3)$
B.$f(2)＞f(3)$
C.$f(0)＜f(-1)$
D.$f(0)＞f(-1)$
AC
）A.$f(2)＜f(3)$
B.$f(2)＞f(3)$
C.$f(0)＜f(-1)$
D.$f(0)＞f(-1)$
答案
4.AC $f(x)=ax^2-2ax+2=a(x-1)^2+2-a$.因为$a＞0$,所以$f(x)$的图象开口向上,对称轴为$x=1$,所以$f(x)$在$(-∞,1]$上单调递减,在$(1,+∞)$上单调递增,所以$f(2)＜f(3)$,故A正确,B错误;$f(0)＜f(-1)$,故C正确,D错误.
5.若$f(x)$是定义在$(0,+∞)$上的增函数，则不等式$f(x)＞f(8x-16)$的解集为
$(2,\dfrac{16}{7})$
。答案
5.$(2,\dfrac{16}{7})$ 因为函数$f(x)$是定义在$(0,+∞)$上的增函数,
所以$\begin{cases}x＞0,\\8x-16＞0,\\x＞8x-16,\end{cases}$解得$2＜x＜\frac{16}{7}$,
所以不等式$f(x)＞f(8x-16)$的解集为$(2,\frac{16}{7})$.
所以$\begin{cases}x＞0,\\8x-16＞0,\\x＞8x-16,\end{cases}$解得$2＜x＜\frac{16}{7}$,
所以不等式$f(x)＞f(8x-16)$的解集为$(2,\frac{16}{7})$.
6.已知函数$f(x)=x^2 - mx +1$在区间$[3,8]$上具有严格的单调性，则实数$m$的取值范围是
$\{m∣ m≤6或m≥16\}$
。答案
6.$\{m∣ m≤6或m≥16\}$ 函数$f(x)=x^2-mx+1$的图象的对称轴为$x=\frac{m}{2}$.若函数$f(x)=x^2-mx+1$在区间$[3,8]$上具有严格的单调性,(对称轴在区间外,端点处可取得)则$\frac{m}{2}≤3$或$\frac{m}{2}≥8$,解得$m≤6$或$m≥16$.
7.(教材改编题)已知函数$f(x)=\frac{m}{1-x}$是定义在$[-5,0]$上的函数，且$y=f(x)$的图象经过点$(-1,1)$。
(1)求$f(x)$的解析式；
(2)用函数单调性的定义证明函数$f(x)$在$[-5,0]$上单调递增。
(1)求$f(x)$的解析式；
(2)用函数单调性的定义证明函数$f(x)$在$[-5,0]$上单调递增。
答案
7.解:(1)将$(-1,1)$代入,得$1=\frac{m}{1-(-1)}$,解得$m=2$,
所以$f(x)=\frac{2}{1-x}$.
(2)证明:设$x_1,x_2$是区间$[-5,0]$上的任意两个数,且$-5≤ x_1＜x_2≤0$,则$f(x_1)-f(x_2)=\frac{2}{1-x_1}-\frac{2}{1-x_2}=\frac{2(x_1-x_2)}{(1-x_1)(1-x_2)}$.
因为$-5≤ x_1＜x_2≤0$,
所以$x_1-x_2＜0$,$1-x_1＞0$,$1-x_2＞0$,
所以$f(x_1)-f(x_2)＜0$,即$f(x_1)＜f(x_2)$,
所以函数$f(x)$在$[-5,0]$上单调递增.
所以$f(x)=\frac{2}{1-x}$.
(2)证明:设$x_1,x_2$是区间$[-5,0]$上的任意两个数,且$-5≤ x_1＜x_2≤0$,则$f(x_1)-f(x_2)=\frac{2}{1-x_1}-\frac{2}{1-x_2}=\frac{2(x_1-x_2)}{(1-x_1)(1-x_2)}$.
因为$-5≤ x_1＜x_2≤0$,
所以$x_1-x_2＜0$,$1-x_1＞0$,$1-x_2＞0$,
所以$f(x_1)-f(x_2)＜0$,即$f(x_1)＜f(x_2)$,
所以函数$f(x)$在$[-5,0]$上单调递增.
8.定义在$\mathbf{R}$上的函数$y=f(x)$满足以下条件：
①函数$y=f(x)$的图象关于$x=1$对称；
②函数$y=f(x)$在区间$(-∞,1]$上单调递减.$f(0),f(\frac{3}{2}),f(3)$的大小关系为（
A.$f(\frac{3}{2})＞f(0)＞f(3)$
B.$f(3)＞f(0)＞f(\frac{3}{2})$
C.$f(\frac{3}{2})＞f(3)＞f(0)$
D.$f(3)＞f(\frac{3}{2})＞f(0)$
①函数$y=f(x)$的图象关于$x=1$对称；
②函数$y=f(x)$在区间$(-∞,1]$上单调递减.$f(0),f(\frac{3}{2}),f(3)$的大小关系为（
B
）A.$f(\frac{3}{2})＞f(0)＞f(3)$
B.$f(3)＞f(0)＞f(\frac{3}{2})$
C.$f(\frac{3}{2})＞f(3)＞f(0)$
D.$f(3)＞f(\frac{3}{2})＞f(0)$
答案
8.B 因为函数$y=f(x)$的图象关于$x=1$对称,所以$f(\frac{3}{2})=f(\frac{1}{2})$,$f(3)=f(-1)$.又函数$y=f(x)$在区间$(-∞,1]$上单调递减,所以$f(-1)＞f(0)＞f(\frac{1}{2})$,即$f(3)＞f(0)＞f(\frac{3}{2})$.
9.若函数$y=ax$与$y=-\dfrac{b}{x}$在$(0,+∞)$上单调递减，则函数$y=ax^2+bx$在$(0,+∞)$上（
A.单调递增
B.单调递减
C.先增后减
D.先减后增
B
）A.单调递增
B.单调递减
C.先增后减
D.先减后增
答案
9.B 因为函数$y=ax$与$y=-\frac{b}{x}$在$(0,+∞)$上单调递减,所以$a＜0$,$b＜0$,所以二次函数$y=f(x)=ax^2+bx$的图象开口向下,且对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$,所以函数$y=ax^2+bx$在$(0,+∞)$上单调递减.
10.已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2 + 2ax, & x≥ -1, \\ (2 - a)x + 2a -5, & x ＜ -1,\end{cases}$ 若$f(x)$在$\mathbb{R}$上是增函数，则实数$a$的取值范围是 ______ 。
答案
10.$\{a∣ 1≤ a≤ \dfrac{8}{5}\}$ 由函数$f(x)=\begin{cases}x^2 + 2ax, & x≥ -1, \\ (2 - a)x + 2a -5, & x ＜ -1,\end{cases}$ 在$\mathbf{R}$上是增函数,得
$\begin{cases}-a≤-1,\\2-a＞0,\\1-2a≥-(2-a)+2a-5,\end{cases}$
(当$x=-1$时,第一段的函数图象要不高于第二段的函数图象,即得此处函数值的大小关系)
解得$1≤ a≤ \frac{8}{5}$,所以实数$a$的取值范围是$\{a∣ 1≤ a≤ \frac{8}{5}\}$.
$\begin{cases}-a≤-1,\\2-a＞0,\\1-2a≥-(2-a)+2a-5,\end{cases}$
(当$x=-1$时,第一段的函数图象要不高于第二段的函数图象,即得此处函数值的大小关系)
解得$1≤ a≤ \frac{8}{5}$,所以实数$a$的取值范围是$\{a∣ 1≤ a≤ \frac{8}{5}\}$.
