5.函数$f(x)=\frac{x}{|x|· 3^x}$的图象大致为（）

A 当 $x＞0$ 时,$f(x)=(\dfrac{1}{3})^x$ 为减函数,排除 C,D；
当 $x＜0$ 时,$f(x)=-(\dfrac{1}{3})^x$ 为增函数,排除 B.

6.(多选)若函数$y=a^x(a＞0,且a≠1)$在$[1,2]$上的最大值与最小值的差为$\frac{a}{2}$，则$a$的值为（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{2}{3}$

AB 当 $a＞1$ 时,$y=a^x$ 在 $[1,2]$ 上的最大值为 $a^2$,最小值为 $a$,
故有 $a^2-a=\dfrac{a}{2}$,解得 $a=\dfrac{3}{2}$ 或 $a=0$(舍去).
当 $0＜a＜1$ 时,$y=a^x$ 在 $[1,2]$ 上的最大值为 $a$,最小值为 $a^2$,
故有 $a-a^2=\dfrac{a}{2}$,解得 $a=\dfrac{1}{2}$ 或 $a=0$(舍去).
综上,$a=\dfrac{3}{2}$ 或 $a=\dfrac{1}{2}$.

7.已知函数$y=2ax+2b(a＞0,b＞0)$的图象过函数$f(x)=m^{x-1}+1(m＞0,且m≠1)$图象的定点，则$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为________.

9 函数 $f(x)=m^{x-1}+1$,令 $x-1=0$,得 $x=1$,$f(1)=2$,
所以 $f(x)$ 图象的定点坐标为$(1,2)$.
因为函数 $y=2ax+2b$ 的图象过函数 $f(x)$ 图象的定点,
所以 $2a+2b=2$,即 $a+b=1$.
因为 $a＞0,b＞0$,
所以 $\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{b}=(\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{b})(a+b)=5+\dfrac{4b}{a}+\dfrac{a}{b}≥5+2\sqrt{\dfrac{4b}{a}·\dfrac{a}{b}}=9$,
当且仅当 $\dfrac{4b}{a}=\dfrac{a}{b}$,即 $a=\dfrac{2}{3}$,$b=\dfrac{1}{3}$ 时,等号成立,
所以 $\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{b}$ 的最小值为 9.

8.(新课标Ⅰ卷)设函数$f(x)=2^{x(x-a)}$在区间$(0,1)$上单调递减，则$a$的取值范围是（）

A.$(-∞,-2]$
B.$[-2,0)$
C.$(0,2]$
D.$[2,+∞)$

D 设 $t=x(x-a)=x^2-ax$,则此抛物线的对称轴为 $x=\dfrac{a}{2}$,图象开口向上.
因为 $f(x)=2^{x(x-a)}$ 在区间 $(0,1)$ 上单调递减,$y=2^t$ 在定义域内单调递增,
所以 $t=x^2-ax$ 在区间 $(0,1)$ 上单调递减,
即 $\dfrac{a}{2}≥1$,即 $a≥2$,
故 $a$ 的取值范围是 $[2,+∞)$.

9.(多选)已知函数$f(x)=\frac{\mathrm{e}^x -1}{\mathrm{e}^x +1}$，则下列结论正确的是（）

A.函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$
B.函数$f(x)$的值域为$(-1,1)$
C.$f(x)+f(-x)=0$
D.函数$f(x)$为减函数

ABC 因为 $\mathrm{e}^x＞0$,所以 $\mathrm{e}^x+1≠0$,因此函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$,所以 A 选项说法正确.
$f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^x+1}=\dfrac{\mathrm{e}^x+1-2}{\mathrm{e}^x+1}=1-\dfrac{2}{\mathrm{e}^x+1}$.
因为 $\mathrm{e}^x＞0$,所以 $\mathrm{e}^x+1＞1⇒0＜\dfrac{1}{\mathrm{e}^x+1}＜1⇒-2＜\dfrac{-2}{\mathrm{e}^x+1}＜0⇒-1＜1-\dfrac{2}{\mathrm{e}^x+1}＜1$,
因此函数 $f(x)$ 的值域为 $(-1,1)$,所以 B 选项说法正确.
因为 $f(x)+f(-x)=\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^x+1}+\dfrac{\mathrm{e}^{-x}-1}{\mathrm{e}^{-x}+1}=\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^x+1}+\dfrac{1-\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x}=0$,所以 C 选项说法正确；
因为 $f(0)=0$,$f(1)=\dfrac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}+1}＞0$,
所以不满足减函数的定义,因此 D 选项说法不正确.

10.已知函数$f(x)=\frac{9^x}{9^x +3}$，则$f(\frac{1}{2026}) + f(\frac{2}{2026}) + f(\frac{3}{2026})+\dots +f(\frac{2025}{2026})=（ ）$

A.$1012$
B.$\frac{2025}{2}$
C.$1013$
D.$2025$
（提示：观察式子$f(\frac{1}{2026}),f(\frac{2025}{2026}),f(\frac{2}{2026}),f(\frac{2024}{2026}),\dots$，发现对称两项中的$x$和为$1$，想到求$f(x)+f(1-x)$的值，进而得解）

B 由 $f(x)=\dfrac{9^x}{9^x+3}$ 计算,得 $f(x)+f(1-x)=\dfrac{9^x}{9^x+3}+\dfrac{9^{1-x}}{9^{1-x}+3}=\dfrac{9^x}{9^x+3}+\dfrac{3}{9^x+3}=1$,(发现 $f(x)+f(1-x)=1$ 是解题的关键)
所以 $f(\dfrac{1}{2026})+f(\dfrac{2}{2026})+f(\dfrac{3}{2026})+\dots +f(\dfrac{2025}{2026})=[f(\dfrac{1}{2026})+f(\dfrac{2025}{2026})]+[f(\dfrac{2}{2026})+f(\dfrac{2024}{2026})]+\dots +[f(\dfrac{1012}{2026})+f(\dfrac{1014}{2026})]+f(\dfrac{1013}{2026})=1012+f(\dfrac{1}{2})=1012+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2025}{2}$.

11.已知函数$f(x)=\frac{1-2^x}{1+2^x}$.
(1)试确定$f(x)$的奇偶性；
(2)求证:函数$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的减函数；
(3)若对任意的$t\in\mathbb{R}$,不等式$f(t^2-2t)+f(2t^2-k)＜0$恒成立,求$k$的取值范围.
(提示:(1)(2)根据函数奇偶性和单调性的定义进行判断即可.(3)结合函数$f(x)$的奇偶性和单调性,将不等式转化为$t^2-2t＞k-2t^2$恒成立,即$3t^2-2t-k＞0$恒成立.由判别式$\Delta＜0$,解得$k$的取值范围.)

解:(1)由于函数 $f(x)=\dfrac{1-2^x}{1+2^x}$ 的定义域为 $\mathbf{R}$,定义域关于原点对称,且有 $f(-x)=\dfrac{1-2^{-x}}{1+2^{-x}}=\dfrac{2^x-1}{2^x+1}=-\dfrac{1-2^x}{2^x+1}=-f(x)$,故函数 $f(x)$ 为奇函数.
(2)证明:$f(x)=\dfrac{2-(1+2^x)}{1+2^x}=\dfrac{2}{2^x+1}-1$,(先分离常数,再用定义判断)设 $x_1＜x_2$,由 $f(x_1)-f(x_2)=(\dfrac{2}{2^{x_1}+1}-1)-(\dfrac{2}{2^{x_2}+1}-1)=\dfrac{2(2^{x_2}-2^{x_1})}{(2^{x_1}+1)(2^{x_2}+1)}＞0$,
得 $f(x_1)＞f(x_2)$,故函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的减函数.
(3)因为对任意的 $t\in\mathbf{R}$,不等式 $f(t^2-2t)+f(2t^2-k)＜0$ 恒成立,$f(x)$ 为奇函数,所以 $f(t^2-2t)＜-f(2t^2-k)=f(k-2t^2)$ 恒成立.
又因为函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的减函数,
所以 $t^2-2t＞k-2t^2$ 恒成立,即 $3t^2-2t-k＞0$ 恒成立,
所以 $\Delta=4+12k＜0$,解得 $k＜-\dfrac{1}{3}$,
故 $k$ 的取值范围为 $(-∞,-\dfrac{1}{3})$.