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【变式7】（全国乙卷）已知$f(x)=\dfrac{x\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{ax}-1}$是偶函数，则$a=$（
A.−2
B.−1
C.1
D.2
D
）A.−2
B.−1
C.1
D.2
答案
D 因为 $f(x)=\dfrac{x\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{ax}-1}$ 的定义域为 $\{x∣ x≠0\}$,且 $f(x)$ 是偶函数,
所以 $f(-x)=f(x)$,
所以 $\dfrac{-x\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{-ax}-1}=\dfrac{x\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{ax}-1}$,
所以 $\dfrac{x\mathrm{e}^{ax-x}}{\mathrm{e}^{ax}-1}=\dfrac{x\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{ax}-1}$,
所以 $ax-x=x$,所以 $a=2$.
所以 $f(-x)=f(x)$,
所以 $\dfrac{-x\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{-ax}-1}=\dfrac{x\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{ax}-1}$,
所以 $\dfrac{x\mathrm{e}^{ax-x}}{\mathrm{e}^{ax}-1}=\dfrac{x\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{ax}-1}$,
所以 $ax-x=x$,所以 $a=2$.
【变式8】已知函数$f(x)=\dfrac{2^x}{4^x +1}+\dfrac{1}{2}.$
(1)求证:函数$f(x)$为偶函数；
(2)对于$∀ x\in\mathbf{R},f(x)≤ m^2 -2m -2$恒成立，求实数$m$的取值范围.
(1)求证:函数$f(x)$为偶函数；
(2)对于$∀ x\in\mathbf{R},f(x)≤ m^2 -2m -2$恒成立，求实数$m$的取值范围.
答案
解:(1)证明:由题意,得 $f(x)$ 的定义域为 $(-∞,+∞)$,且定义域关于原点对称.
因为 $f(-x)=\dfrac{2^{-x}}{4^{-x}+1}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2^{-x}×4^x}{4^x×4^{-x}+4^x×1}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2^x}{1+4^x}+\dfrac{1}{2}=f(x)$,
所以函数 $f(x)$ 为偶函数.
(2)因为 $f(x)=\dfrac{2^x}{4^x+1}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^x+\dfrac{1}{2^x}}+\dfrac{1}{2}$,且 $2^x＞0$,
所以 $2^x+\dfrac{1}{2^x}≥2\sqrt{2^x·\dfrac{1}{2^x}}=2$,当且仅当 $x=0$ 时,等号成立,
所以 $f(x)≤\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$.
又因为 $∀ x\in\mathbf{R},f(x)≤ m^2-2m-2$ 恒成立,
即 $f(x)_{\mathrm{max}}≤ m^2-2m-2$,
所以 $1≤ m^2-2m-2$,解得 $m≤-1$ 或 $m≥3$,
所以实数 $m$ 的取值范围为 $(-∞,-1]\cup[3,+∞)$.
因为 $f(-x)=\dfrac{2^{-x}}{4^{-x}+1}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2^{-x}×4^x}{4^x×4^{-x}+4^x×1}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2^x}{1+4^x}+\dfrac{1}{2}=f(x)$,
所以函数 $f(x)$ 为偶函数.
(2)因为 $f(x)=\dfrac{2^x}{4^x+1}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^x+\dfrac{1}{2^x}}+\dfrac{1}{2}$,且 $2^x＞0$,
所以 $2^x+\dfrac{1}{2^x}≥2\sqrt{2^x·\dfrac{1}{2^x}}=2$,当且仅当 $x=0$ 时,等号成立,
所以 $f(x)≤\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$.
又因为 $∀ x\in\mathbf{R},f(x)≤ m^2-2m-2$ 恒成立,
即 $f(x)_{\mathrm{max}}≤ m^2-2m-2$,
所以 $1≤ m^2-2m-2$,解得 $m≤-1$ 或 $m≥3$,
所以实数 $m$ 的取值范围为 $(-∞,-1]\cup[3,+∞)$.
1.函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{9-3^x}}$的定义域为 （
A.$(-∞,2]$
B.$(-∞,2)$
C.$(0,2]$
D.$(0,2)$
B
）A.$(-∞,2]$
B.$(-∞,2)$
C.$(0,2]$
D.$(0,2)$
答案
B 要使函数 $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{9-3^x}}$ 有意义,则 $9-3^x＞0$,
解得 $x＜2$,
所以函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-∞,2)$.
解得 $x＜2$,
所以函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-∞,2)$.
2.已知函数$f(x)=\dfrac{a}{3^x +1}+1$为奇函数，则实数$a$的值为（
A.2
B.−2
C.1
D.−1
B
）A.2
B.−2
C.1
D.−1
答案
B 因为函数 $f(x)=\dfrac{a}{3^x+1}+1$ 为奇函数,所以 $f(0)=\dfrac{a}{2}+1=0$,解得 $a=-2$,此时 $f(x)=\dfrac{-2}{3^x+1}+1=\dfrac{3^x-1}{3^x+1}$.
因为 $f(-x)=\dfrac{3^{-x}-1}{3^{-x}+1}=\dfrac{1-3^x}{3^x+1}=-f(x)$,所以函数 $f(x)$ 为奇函数,符合题意.
因为 $f(-x)=\dfrac{3^{-x}-1}{3^{-x}+1}=\dfrac{1-3^x}{3^x+1}=-f(x)$,所以函数 $f(x)$ 为奇函数,符合题意.
3.已知$a=(\dfrac{3}{4})^{\frac{1}{3}}$，$b=1.1^{0.3}$，$c=(\dfrac{4}{3})^{-0.3}$，则下列大小关系正确的是（
A.$a＜c＜b$
B.$b＜a＜c$
C.$c＜a＜b$
D.$b＜c＜a$
A
）A.$a＜c＜b$
B.$b＜a＜c$
C.$c＜a＜b$
D.$b＜c＜a$
答案
A 因为 $y=(\dfrac{3}{4})^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减,且 $c=(\dfrac{4}{3})^{-0.3}=(\dfrac{3}{4})^{0.3}$,
所以 $0＜a=(\dfrac{3}{4})^{\frac{1}{3}}＜(\dfrac{3}{4})^{0.3}=c＜(\dfrac{3}{4})^0=1$.
因为 $y=1.1^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增,所以 $b=1.1^{0.3}＞1.1^0=1$.
综上,$a＜c＜b$.
所以 $0＜a=(\dfrac{3}{4})^{\frac{1}{3}}＜(\dfrac{3}{4})^{0.3}=c＜(\dfrac{3}{4})^0=1$.
因为 $y=1.1^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增,所以 $b=1.1^{0.3}＞1.1^0=1$.
综上,$a＜c＜b$.
4.已知函数$f(x)=a^x(a＞0,且a≠1)$，若$f(-1)＞f(2)$，则不等式$f(2x-3)≤f(5)$的解集为（
A.$[4,+∞)$
B.$(-∞,-1)\cup(4,+∞)$
C.$[-1,4]$
D.$(-1,4)$
A
）A.$[4,+∞)$
B.$(-∞,-1)\cup(4,+∞)$
C.$[-1,4]$
D.$(-1,4)$
答案
A 对于函数 $f(x)=a^x(a＞0,$且 $a≠1)$,
因为 $-1＜2$,且 $f(-1)＞f(2)$,所以函数 $f(x)=a^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减,
故不等式 $f(2x-3)≤ f(5)⇔2x-3≥5$,解得 $x≥4$,即解集为 $[4,+∞)$.
因为 $-1＜2$,且 $f(-1)＞f(2)$,所以函数 $f(x)=a^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减,
故不等式 $f(2x-3)≤ f(5)⇔2x-3≥5$,解得 $x≥4$,即解集为 $[4,+∞)$.
