登录
11.若$a^m = 3$，$a^n = 5$，则$a^{m-n} = $
$\frac{3}{5}$
，$a^{2m-2n} = $$\frac{9}{25}$
。答案
11. $\frac{3}{5}$ $\frac{9}{25}$
解析
【分析】
本题考查幂的运算性质的逆用，解题思路如下：首先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^p÷ a^q=a^{p-q}$，反过来就可以把$a^{m-n}$转化为$a^m÷ a^n$，直接代入已知数值计算即可；对于$a^{2m-2n}$，可以先将指数变形为$2(m-n)$，再利用幂的乘方法则的逆用：$a^{2p}=(a^p)^2$，转化为$(a^{m-n})^2$，代入第一步的结果计算，也可以直接拆分为$a^{2m}÷ a^{2n}$，再将$a^{2m}$转化为$(a^m)^2$、$a^{2n}$转化为$(a^n)^2$，代入已知计算即可。
【解析】
1. 计算$a^{m-n}$：
根据同底数幂除法的逆运算公式$a^{p-q}=a^p÷ a^q$，可得：
$a^{m-n}=a^m÷ a^n$
将$a^m=3$，$a^n=5$代入得：$a^{m-n}=3÷5=\frac{3}{5}$。
2. 计算$a^{2m-2n}$：
先将指数变形，$2m-2n=2(m-n)$，根据幂的乘方的逆运算公式$a^{kp}=(a^p)^k$，可得：
$a^{2m-2n}=a^{2(m-n)}=(a^{m-n})^2$
将$a^{m-n}=\frac{3}{5}$代入得：$a^{2m-2n}=(\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}$。
（也可直接拆分计算：$a^{2m-2n}=a^{2m}÷ a^{2n}=(a^m)^2÷(a^n)^2=3^2÷5^2=\frac{9}{25}$）
【答案】
$\frac{3}{5}$；$\frac{9}{25}$
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心是灵活运用幂的运算性质的逆变形，将待求式子用已知条件表示，熟练掌握相关运算公式是解题的关键，这类题型是整式运算章节的常考基础题。
【难度系数】
0.85
本题考查幂的运算性质的逆用，解题思路如下：首先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^p÷ a^q=a^{p-q}$，反过来就可以把$a^{m-n}$转化为$a^m÷ a^n$，直接代入已知数值计算即可；对于$a^{2m-2n}$，可以先将指数变形为$2(m-n)$，再利用幂的乘方法则的逆用：$a^{2p}=(a^p)^2$，转化为$(a^{m-n})^2$，代入第一步的结果计算，也可以直接拆分为$a^{2m}÷ a^{2n}$，再将$a^{2m}$转化为$(a^m)^2$、$a^{2n}$转化为$(a^n)^2$，代入已知计算即可。
【解析】
1. 计算$a^{m-n}$：
根据同底数幂除法的逆运算公式$a^{p-q}=a^p÷ a^q$，可得：
$a^{m-n}=a^m÷ a^n$
将$a^m=3$，$a^n=5$代入得：$a^{m-n}=3÷5=\frac{3}{5}$。
2. 计算$a^{2m-2n}$：
先将指数变形，$2m-2n=2(m-n)$，根据幂的乘方的逆运算公式$a^{kp}=(a^p)^k$，可得：
$a^{2m-2n}=a^{2(m-n)}=(a^{m-n})^2$
将$a^{m-n}=\frac{3}{5}$代入得：$a^{2m-2n}=(\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}$。
（也可直接拆分计算：$a^{2m-2n}=a^{2m}÷ a^{2n}=(a^m)^2÷(a^n)^2=3^2÷5^2=\frac{9}{25}$）
【答案】
$\frac{3}{5}$；$\frac{9}{25}$
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心是灵活运用幂的运算性质的逆变形，将待求式子用已知条件表示，熟练掌握相关运算公式是解题的关键，这类题型是整式运算章节的常考基础题。
【难度系数】
0.85
12. 如图，已知$AB// DE$，$∠ D=150°$，$∠ B=145°$，则$∠ C=$
$65°$
。答案
12. $65°$
解析
【分析】
本题是平行线间折线角度计算问题，解题思路如下：首先过折点C作平行于AB的辅助线CF，根据平行公理的推论可得CF同时平行于DE；再利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别计算出∠C被CF分成的两个小角的度数，最后将两个小角度数相加即可得到∠C的度数。
【解析】
过点C作$CF// AB$。
$\because AB// DE$，$CF// AB$
$\therefore CF// DE$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
$\because AB// CF$
$\therefore ∠ B + ∠ BCF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
已知$∠ B=145°$，代入得：
$∠ BCF=180° - 145°=35°$
$\because CF// DE$
$\therefore ∠ D + ∠ DCF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
已知$∠ D=150°$，代入得：
$∠ DCF=180° - 150°=30°$
$\therefore ∠ C=∠ BCF + ∠ DCF=35° + 30°=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角度计算
【点评】
本题是平行线性质应用的常规题型，核心考查折线类角度问题的辅助线作法，掌握过折点作平行线的技巧，即可将未知角转化为可通过平行线性质求解的小角，快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
本题是平行线间折线角度计算问题，解题思路如下：首先过折点C作平行于AB的辅助线CF，根据平行公理的推论可得CF同时平行于DE；再利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别计算出∠C被CF分成的两个小角的度数，最后将两个小角度数相加即可得到∠C的度数。
【解析】
过点C作$CF// AB$。
$\because AB// DE$，$CF// AB$
$\therefore CF// DE$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
$\because AB// CF$
$\therefore ∠ B + ∠ BCF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
已知$∠ B=145°$，代入得：
$∠ BCF=180° - 145°=35°$
$\because CF// DE$
$\therefore ∠ D + ∠ DCF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
已知$∠ D=150°$，代入得：
$∠ DCF=180° - 150°=30°$
$\therefore ∠ C=∠ BCF + ∠ DCF=35° + 30°=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角度计算
【点评】
本题是平行线性质应用的常规题型，核心考查折线类角度问题的辅助线作法，掌握过折点作平行线的技巧，即可将未知角转化为可通过平行线性质求解的小角，快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
13.计算:$12x^{3}y^{2}z÷(-4xy)=$
$-3x^2yz$
。答案
13. $-3x^2yz$
解析
【分析】
本题考查单项式除以单项式的运算，解题思路可分为三步：首先处理系数的除法，注意符号的正负；其次对被除式和除式中都有的同底数幂分别做除法运算，依据同底数幂相除、底数不变指数相减的法则计算；最后把只在被除式中出现的字母连同它的指数直接作为商的因式，将以上三部分的结果相乘即可得到最终答案。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则计算：
1. 计算系数部分：$12÷(-4)=-3$；
2. 计算同底数幂部分：
$x^3÷ x=x^{3-1}=x^2$，
$y^2÷ y=y^{2-1}=y$；
3. 被除式中的字母$z$在除式中没有出现，直接保留$z$；
将各部分结果相乘得：$-3× x^2× y× z=-3x^2yz$。
【答案】
$-3x^2yz$
【知识点】
单项式除以单项式，同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查单项式除法的运算法则，解题时需注意运算符号的判断，不要漏写仅在被除式中出现的字母，熟练掌握运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查单项式除以单项式的运算，解题思路可分为三步：首先处理系数的除法，注意符号的正负；其次对被除式和除式中都有的同底数幂分别做除法运算，依据同底数幂相除、底数不变指数相减的法则计算；最后把只在被除式中出现的字母连同它的指数直接作为商的因式，将以上三部分的结果相乘即可得到最终答案。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则计算：
1. 计算系数部分：$12÷(-4)=-3$；
2. 计算同底数幂部分：
$x^3÷ x=x^{3-1}=x^2$，
$y^2÷ y=y^{2-1}=y$；
3. 被除式中的字母$z$在除式中没有出现，直接保留$z$；
将各部分结果相乘得：$-3× x^2× y× z=-3x^2yz$。
【答案】
$-3x^2yz$
【知识点】
单项式除以单项式，同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查单项式除法的运算法则，解题时需注意运算符号的判断，不要漏写仅在被除式中出现的字母，熟练掌握运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
14.空气的密度为0.001 29 g/cm³，这个数用科学记数法可表示为$1.29×10^{-n}$，则正整数n的值为
3
。答案
14. 3
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆用科学记数法表示小于1的正数的规则：表示形式为$a × 10^{-n}$，其中$1≤ a ＜ 10$，正整数$n$的取值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零），也等于把原数转化为$a$时小数点向右移动的位数。我们只需要对$0.00129$做变形，和题目给出的形式对比就能求出$n$。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的标准形式为$a × 10^{-n}$（$1≤ a ＜10$，$n$为正整数）。
对$0.00129$进行变形：要得到满足条件的$a$，需把小数点向右移动3位，得到$a=1.29$，因此：
$0.00129 = 1.29 × 10^{-3}$
已知$0.00129 = 1.29 × 10^{-n}$，对比可得$-n = -3$，解得$n=3$。
【答案】
3
【知识点】
科学记数法表示较小的数
【点评】
本题属于基础题，核心考查科学记数法的应用，解题的关键是准确确定小数点移动的位数或者原数中第一个非零数字前的零的个数，掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆用科学记数法表示小于1的正数的规则：表示形式为$a × 10^{-n}$，其中$1≤ a ＜ 10$，正整数$n$的取值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零），也等于把原数转化为$a$时小数点向右移动的位数。我们只需要对$0.00129$做变形，和题目给出的形式对比就能求出$n$。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的标准形式为$a × 10^{-n}$（$1≤ a ＜10$，$n$为正整数）。
对$0.00129$进行变形：要得到满足条件的$a$，需把小数点向右移动3位，得到$a=1.29$，因此：
$0.00129 = 1.29 × 10^{-3}$
已知$0.00129 = 1.29 × 10^{-n}$，对比可得$-n = -3$，解得$n=3$。
【答案】
3
【知识点】
科学记数法表示较小的数
【点评】
本题属于基础题，核心考查科学记数法的应用，解题的关键是准确确定小数点移动的位数或者原数中第一个非零数字前的零的个数，掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
15.若$(-25y^3 + 15y^2 - 5y) ÷ M = -5y$，则$M=$
$5y^2-3y+1$
。答案
15. $5y^2-3y+1$
解析
【分析】
要计算除数M，我们可以根据除法运算中“除数=被除数÷商”的关系，把问题转化为多项式除以单项式的运算。计算时按照多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，注意计算时要处理好每一项的符号。
【解析】
根据除法各部分之间的关系可得：
$M = (-25y^3 + 15y^2 - 5y) ÷ (-5y)$
按照多项式除以单项式的法则拆分计算：
第一项：$(-25y^3) ÷ (-5y) = 5y^2$
第二项：$15y^2 ÷ (-5y) = -3y$
第三项：$(-5y) ÷ (-5y) = 1$
将三个商相加，得$M = 5y^2 - 3y + 1$
【答案】
$5y^2-3y+1$
【知识点】
乘除互逆关系，多项式除以单项式，整式运算
【点评】
本题是整式除法的基础应用题型，解题的核心是利用除法各部分关系将问题转化为常规的整式除法计算，计算过程中需格外注意各项的符号，避免因符号判断失误失分。
【难度系数】
0.8
要计算除数M，我们可以根据除法运算中“除数=被除数÷商”的关系，把问题转化为多项式除以单项式的运算。计算时按照多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，注意计算时要处理好每一项的符号。
【解析】
根据除法各部分之间的关系可得：
$M = (-25y^3 + 15y^2 - 5y) ÷ (-5y)$
按照多项式除以单项式的法则拆分计算：
第一项：$(-25y^3) ÷ (-5y) = 5y^2$
第二项：$15y^2 ÷ (-5y) = -3y$
第三项：$(-5y) ÷ (-5y) = 1$
将三个商相加，得$M = 5y^2 - 3y + 1$
【答案】
$5y^2-3y+1$
【知识点】
乘除互逆关系，多项式除以单项式，整式运算
【点评】
本题是整式除法的基础应用题型，解题的核心是利用除法各部分关系将问题转化为常规的整式除法计算，计算过程中需格外注意各项的符号，避免因符号判断失误失分。
【难度系数】
0.8
三、解答题(共55分)
16.(6分)如图:
(1)因为∠A=∠3,所以
(2)因为∠2=∠4,所以AC//
(3)因为∠5=
(4)因为∠5=
(5)因为∠6+∠C=180°,所以
(6)因为∠6+
16.(6分)如图:
(1)因为∠A=∠3,所以
AC
// EF
,理由: 同位角相等,两直线平行
;(2)因为∠2=∠4,所以AC//
EF
,理由: 内错角相等,两直线平行
;(3)因为∠5=
$∠ C$
,所以EF// AC
,理由: 同位角相等,两直线平行
;(4)因为∠5=
$∠ 4$
,所以BC// DE
,理由: 内错角相等,两直线平行
;(5)因为∠6+∠C=180°,所以
EF
// AC
,理由: 同旁内角互补,两直线平行
;(6)因为∠6+
$∠ 4$
=180°,所以DE// BC
,理由: 同旁内角互补,两直线平行
。答案
16.(1)AC EF 同位角相等,两直线平行
(2)EF 内错角相等,两直线平行
(3)$∠ C$ AC 同位角相等,两直线平行
(4)$∠ 4$ DE 内错角相等,两直线平行
(5)EF AC 同旁内角互补,两直线平行
(6)$∠ 4$ BC 同旁内角互补,两直线平行
(2)EF 内错角相等,两直线平行
(3)$∠ C$ AC 同位角相等,两直线平行
(4)$∠ 4$ DE 内错角相等,两直线平行
(5)EF AC 同旁内角互补,两直线平行
(6)$∠ 4$ BC 同旁内角互补,两直线平行
解析
【分析】
解题前需先回忆平行线的3个判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。每一问的思考步骤：首先确定已知角是由哪两条直线被哪条截线截得的，判断角的类型（同位角/内错角/同旁内角），再对应判定定理推出平行的直线；若需要填满足条件的角，则先根据要求平行的两条直线，找到对应位置的同位角、内错角或同旁内角即可。
【解析】
(1) ∠A和∠3是直线AC、EF被直线AB所截得到的同位角，同位角相等可判定两直线平行，因此AC//EF，理由是同位角相等，两直线平行。
(2) ∠2和∠4是直线AC、EF被直线ED所截得到的内错角，内错角相等可判定两直线平行，因此AC//EF，理由是内错角相等，两直线平行。
(3) 要判定EF//AC，需找两条线被截得的同位角相等，∠5和∠C是直线EF、AC被直线BC所截的同位角，因此当∠5=∠C时，EF//AC，理由是同位角相等，两直线平行。
(4) 要判定BC//DE，需找两条线被截得的内错角相等，∠5和∠4是直线BC、DE被直线EF所截的内错角，因此当∠5=∠4时，BC//DE，理由是内错角相等，两直线平行。
(5) ∠6和∠C是直线EF、AC被直线BC所截的同旁内角，同旁内角互补可判定两直线平行，因此EF//AC，理由是同旁内角互补，两直线平行。
(6) 要判定DE//BC，需找两条线被截得的同旁内角互补，∠6和∠4是直线DE、BC被直线EF所截的同旁内角，因此当∠6+∠4=180°时，DE//BC，理由是同旁内角互补，两直线平行。
【答案】
(1)AC；EF；同位角相等,两直线平行
(2)EF；内错角相等,两直线平行
(3)∠C；AC；同位角相等,两直线平行
(4)∠4；DE；内错角相等,两直线平行
(5)EF；AC；同旁内角互补,两直线平行
(6)∠4；BC；同旁内角互补,两直线平行
【知识点】
平行线的判定；同位角；同旁内角
【点评】
本题是平行线判定的基础题型，主要考查三线八角的识别能力和平行线判定定理的运用能力，准确识别不同位置的角的特征、牢记判定规则是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题前需先回忆平行线的3个判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。每一问的思考步骤：首先确定已知角是由哪两条直线被哪条截线截得的，判断角的类型（同位角/内错角/同旁内角），再对应判定定理推出平行的直线；若需要填满足条件的角，则先根据要求平行的两条直线，找到对应位置的同位角、内错角或同旁内角即可。
【解析】
(1) ∠A和∠3是直线AC、EF被直线AB所截得到的同位角，同位角相等可判定两直线平行，因此AC//EF，理由是同位角相等，两直线平行。
(2) ∠2和∠4是直线AC、EF被直线ED所截得到的内错角，内错角相等可判定两直线平行，因此AC//EF，理由是内错角相等，两直线平行。
(3) 要判定EF//AC，需找两条线被截得的同位角相等，∠5和∠C是直线EF、AC被直线BC所截的同位角，因此当∠5=∠C时，EF//AC，理由是同位角相等，两直线平行。
(4) 要判定BC//DE，需找两条线被截得的内错角相等，∠5和∠4是直线BC、DE被直线EF所截的内错角，因此当∠5=∠4时，BC//DE，理由是内错角相等，两直线平行。
(5) ∠6和∠C是直线EF、AC被直线BC所截的同旁内角，同旁内角互补可判定两直线平行，因此EF//AC，理由是同旁内角互补，两直线平行。
(6) 要判定DE//BC，需找两条线被截得的同旁内角互补，∠6和∠4是直线DE、BC被直线EF所截的同旁内角，因此当∠6+∠4=180°时，DE//BC，理由是同旁内角互补，两直线平行。
【答案】
(1)AC；EF；同位角相等,两直线平行
(2)EF；内错角相等,两直线平行
(3)∠C；AC；同位角相等,两直线平行
(4)∠4；DE；内错角相等,两直线平行
(5)EF；AC；同旁内角互补,两直线平行
(6)∠4；BC；同旁内角互补,两直线平行
【知识点】
平行线的判定；同位角；同旁内角
【点评】
本题是平行线判定的基础题型，主要考查三线八角的识别能力和平行线判定定理的运用能力，准确识别不同位置的角的特征、牢记判定规则是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
