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1. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，垂足为$D$，$∠ A=32°$，则$∠ BCD$的度数为 （
A.$16°$
B.$32°$
C.$38°$
D.$52°$
B
）A.$16°$
B.$32°$
C.$38°$
D.$52°$
答案
1.B
解析
【分析】
本题可利用直角三角形锐角互余的性质求解。首先观察图形特征：Rt△ABC中∠ACB=90°，可知∠A与∠B互余；又CD⊥AB，所以△BCD也是直角三角形，∠BCD与∠B互余。根据“同角的余角相等”，可直接得出∠BCD和∠A相等；也可先算出∠B的度数，再计算∠BCD的度数。
【解析】
方法1：利用余角性质推导
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ACB=90°$，
∴ $∠A + ∠B = 90°$（直角三角形的两个锐角互余）。
∵ $CD⊥AB$，即$∠CDB=90°$，
∴ 在$Rt△ BCD$中，$∠BCD + ∠B = 90°$（直角三角形的两个锐角互余）。
∴ $∠BCD = ∠A = 32°$（同角的余角相等）。
方法2：分步计算角度
∵ $∠ACB=90°$，$∠A=32°$，
∴ $∠B = 90° - ∠A = 90° - 32° = 58°$。
∵ $CD⊥AB$，
∴ $∠CDB=90°$，
∴ $∠BCD = 90° - ∠B = 90° - 58° = 32°$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，既可以通过余角的性质快速推导角度关系，也可以通过分步计算得到结果，解题关键是准确找出图中互余的角。
【难度系数】
0.85
本题可利用直角三角形锐角互余的性质求解。首先观察图形特征：Rt△ABC中∠ACB=90°，可知∠A与∠B互余；又CD⊥AB，所以△BCD也是直角三角形，∠BCD与∠B互余。根据“同角的余角相等”，可直接得出∠BCD和∠A相等；也可先算出∠B的度数，再计算∠BCD的度数。
【解析】
方法1：利用余角性质推导
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ACB=90°$，
∴ $∠A + ∠B = 90°$（直角三角形的两个锐角互余）。
∵ $CD⊥AB$，即$∠CDB=90°$，
∴ 在$Rt△ BCD$中，$∠BCD + ∠B = 90°$（直角三角形的两个锐角互余）。
∴ $∠BCD = ∠A = 32°$（同角的余角相等）。
方法2：分步计算角度
∵ $∠ACB=90°$，$∠A=32°$，
∴ $∠B = 90° - ∠A = 90° - 32° = 58°$。
∵ $CD⊥AB$，
∴ $∠CDB=90°$，
∴ $∠BCD = 90° - ∠B = 90° - 58° = 32°$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，既可以通过余角的性质快速推导角度关系，也可以通过分步计算得到结果，解题关键是准确找出图中互余的角。
【难度系数】
0.85
2.若下列各组值代表线段的长度，则不能构成三角形的是 （
A.3,8,4
B.4,9,6
C.15,20,8
D.9,15,8
A
）A.3,8,4
B.4,9,6
C.15,20,8
D.9,15,8
答案
2.A
解析
【分析】
判断三条线段能否构成三角形的依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需找出每组中较短的两条线段，计算它们的和，再和最长线段比较即可：如果较短两边之和大于最长边，就能构成三角形，反之则不能。我们按这个方法逐个分析选项即可。
【解析】
我们用简便判断方法逐一验证各选项：
A选项：三条线段长为3、8、4，较短两边是3和4，最长边是8。计算得3+4=7，7＜8，不满足三边关系，不能构成三角形。
B选项：三条线段长为4、9、6，较短两边是4和6，最长边是9。计算得4+6=10，10＞9，满足三边关系，可以构成三角形。
C选项：三条线段长为15、20、8，较短两边是8和15，最长边是20。计算得8+15=23，23＞20，满足三边关系，可以构成三角形。
D选项：三条线段长为9、15、8，较短两边是8和9，最长边是15。计算得8+9=17，17＞15，满足三边关系，可以构成三角形。
综上，只有A选项的线段不能构成三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用类题目，掌握“较短两边之和大于最长边即可构成三角形”的判断技巧，能减少计算量，快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
判断三条线段能否构成三角形的依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需找出每组中较短的两条线段，计算它们的和，再和最长线段比较即可：如果较短两边之和大于最长边，就能构成三角形，反之则不能。我们按这个方法逐个分析选项即可。
【解析】
我们用简便判断方法逐一验证各选项：
A选项：三条线段长为3、8、4，较短两边是3和4，最长边是8。计算得3+4=7，7＜8，不满足三边关系，不能构成三角形。
B选项：三条线段长为4、9、6，较短两边是4和6，最长边是9。计算得4+6=10，10＞9，满足三边关系，可以构成三角形。
C选项：三条线段长为15、20、8，较短两边是8和15，最长边是20。计算得8+15=23，23＞20，满足三边关系，可以构成三角形。
D选项：三条线段长为9、15、8，较短两边是8和9，最长边是15。计算得8+9=17，17＞15，满足三边关系，可以构成三角形。
综上，只有A选项的线段不能构成三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用类题目，掌握“较短两边之和大于最长边即可构成三角形”的判断技巧，能减少计算量，快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
3.在$△ ABC$中，$∠ B=45°$，$∠ A$比$∠ C$大$15°$，则$∠ A$的度数是 （
A.$50°$
B.$75°$
C.$100°$
D.$125°$
B
）A.$50°$
B.$75°$
C.$100°$
D.$125°$
答案
3.B
解析
【分析】
解题首先要用到三角形内角和为180°的性质，已知∠B的度数，先求出∠A和∠C的度数之和；再结合题目给出的∠A比∠C大15°的数量关系，通过和差计算就能求出∠A的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，因此在△ABC中：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ B=45°$，代入得：
$∠ A + ∠ C = 180° - 45° = 135°$ ①
又由题意可知$∠ A$比$∠ C$大$15°$，即：
$∠ A - ∠ C = 15°$ ②
将①②两个式子左右两边分别相加，得：
$2∠ A = 135° + 15° = 150°$
解得$∠ A = 75°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；角度和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是牢记三角形内角和为180°，理清题干给出的角度数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题首先要用到三角形内角和为180°的性质，已知∠B的度数，先求出∠A和∠C的度数之和；再结合题目给出的∠A比∠C大15°的数量关系，通过和差计算就能求出∠A的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，因此在△ABC中：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ B=45°$，代入得：
$∠ A + ∠ C = 180° - 45° = 135°$ ①
又由题意可知$∠ A$比$∠ C$大$15°$，即：
$∠ A - ∠ C = 15°$ ②
将①②两个式子左右两边分别相加，得：
$2∠ A = 135° + 15° = 150°$
解得$∠ A = 75°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；角度和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是牢记三角形内角和为180°，理清题干给出的角度数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在△ABC中,线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是( 
)
)答案
4.D
解析
【分析】
要判断哪条线段BE是AC边上的高，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。所以AC边上的高需要满足两个条件：一是线段的一个端点是顶点B，另一个端点E是垂足；二是BE必须和AC所在的直线互相垂直。接下来我们逐个对比选项判断即可。
【解析】
根据三角形高的定义，AC边上的高需满足：①过顶点B；②BE⊥AC所在直线，垂足E在AC所在直线上。
选项A：BE垂直于BC，不垂直于AC，不符合要求，错误；
选项B：BE垂直于AB，不垂直于AC，不符合要求，错误；
选项C：∠ABE为直角，即BE垂直于AB，不垂直于AC，不符合要求，错误；
选项D：BE过点B，且BE⊥AC，垂足E在AC边上，符合AC边上高的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是准确掌握三角形高的定义，注意高是从顶点出发垂直于对边所在直线的线段，不要混淆垂直的对象。
【难度系数】
0.8
要判断哪条线段BE是AC边上的高，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。所以AC边上的高需要满足两个条件：一是线段的一个端点是顶点B，另一个端点E是垂足；二是BE必须和AC所在的直线互相垂直。接下来我们逐个对比选项判断即可。
【解析】
根据三角形高的定义，AC边上的高需满足：①过顶点B；②BE⊥AC所在直线，垂足E在AC所在直线上。
选项A：BE垂直于BC，不垂直于AC，不符合要求，错误；
选项B：BE垂直于AB，不垂直于AC，不符合要求，错误；
选项C：∠ABE为直角，即BE垂直于AB，不垂直于AC，不符合要求，错误；
选项D：BE过点B，且BE⊥AC，垂足E在AC边上，符合AC边上高的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是准确掌握三角形高的定义，注意高是从顶点出发垂直于对边所在直线的线段，不要混淆垂直的对象。
【难度系数】
0.8
5.有一块三角形土地。现要在这块土地上一半种粮食，一半种蔬菜，则下列各线段中，一定可以把这块地分成面积相等的两部分的是（
A.一边上的中线
B.一边上的高
C.一条角平分线
D.以上都不对
A
）A.一边上的中线
B.一边上的高
C.一条角平分线
D.以上都不对
答案
5.A
解析
【分析】
解题的核心是结合三角形面积公式，判断各选项的线段能否将三角形分成面积恒等的两部分。首先明确三角形面积=½×底×高，若两个三角形等底同高，面积就相等。接下来逐一验证选项：中线是平分对边的线段，分对边得到两条等长的线段，以这两条线段为底的两个小三角形共用同一个高，因此面积相等；高仅保证垂直于对边，不一定平分对边，除非是特殊三角形，否则分出的两个小三角形底不等，面积不等；角平分线仅平分内角，不一定平分对边，分出的两个小三角形底也不一定相等，面积不一定相等，由此即可得出正确选项。
【解析】
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为这条底对应的高）逐一分析选项：
1. 选项A：一边上的中线会将这条边平分为长度相等的两段，以这两段为底的两个小三角形底相等，且共同使用这条边对应的高，因此两个小三角形面积均为$\frac{1}{2}× \frac{1}{2}a × h=\frac{1}{4}ah$，刚好是原三角形面积（$\frac{1}{2}ah$）的一半，因此任意三角形的中线都能将三角形分成面积相等的两部分。
2. 选项B：一边上的高仅保证与这条边垂直，不一定平分这条边，因此分出的两个小三角形底不相等、高相同，面积不一定相等，仅等腰三角形底边上的高能平分面积，不具备普适性。
3. 选项C：角平分线仅平分三角形的一个内角，不一定平分对边，因此分出的两个小三角形底不相等、高相同，面积不一定相等，仅等腰三角形顶角的角平分线能平分面积，不具备普适性。
综上，只有一边上的中线一定可以把三角形分成面积相等的两部分。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算；三角形中线的性质；三角形三线的定义
【点评】
这道题考查对三角形中线、高、角平分线性质的理解，解题时要注意题干要求“一定”可以平分，即结论对所有三角形都成立，不能混淆特殊三角形的专属性质。
【难度系数】
0.8
解题的核心是结合三角形面积公式，判断各选项的线段能否将三角形分成面积恒等的两部分。首先明确三角形面积=½×底×高，若两个三角形等底同高，面积就相等。接下来逐一验证选项：中线是平分对边的线段，分对边得到两条等长的线段，以这两条线段为底的两个小三角形共用同一个高，因此面积相等；高仅保证垂直于对边，不一定平分对边，除非是特殊三角形，否则分出的两个小三角形底不等，面积不等；角平分线仅平分内角，不一定平分对边，分出的两个小三角形底也不一定相等，面积不一定相等，由此即可得出正确选项。
【解析】
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为这条底对应的高）逐一分析选项：
1. 选项A：一边上的中线会将这条边平分为长度相等的两段，以这两段为底的两个小三角形底相等，且共同使用这条边对应的高，因此两个小三角形面积均为$\frac{1}{2}× \frac{1}{2}a × h=\frac{1}{4}ah$，刚好是原三角形面积（$\frac{1}{2}ah$）的一半，因此任意三角形的中线都能将三角形分成面积相等的两部分。
2. 选项B：一边上的高仅保证与这条边垂直，不一定平分这条边，因此分出的两个小三角形底不相等、高相同，面积不一定相等，仅等腰三角形底边上的高能平分面积，不具备普适性。
3. 选项C：角平分线仅平分三角形的一个内角，不一定平分对边，因此分出的两个小三角形底不相等、高相同，面积不一定相等，仅等腰三角形顶角的角平分线能平分面积，不具备普适性。
综上，只有一边上的中线一定可以把三角形分成面积相等的两部分。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算；三角形中线的性质；三角形三线的定义
【点评】
这道题考查对三角形中线、高、角平分线性质的理解，解题时要注意题干要求“一定”可以平分，即结论对所有三角形都成立，不能混淆特殊三角形的专属性质。
【难度系数】
0.8
