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14. 东汉初年，我国的《周髀算经》里有“方出于矩”的说法，是证明直角三角形三边数量关系的重要方法，有人进行了如下解释：如图，将两个全等的矩形沿对角线进行分割，得到四个全等的直角三角形，再拼出一个大正方形.设矩形的两边分别为a，b，则拼出的大正方形面积为
$a^2+b^2$
.答案
14.$a^2+b^2$
解析
【分析】
解题思路可从两个角度出发：一是先明确拼接后大正方形的边长就是分割得到的直角三角形的斜边，结合勾股定理求斜边的平方，也就是大正方形的面积；二是用割补法，将大正方形的面积拆分为4个全等直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，通过整式运算得到结果。解题时先梳理图形各部分的边长关系，再代入对应面积公式计算即可。
【解析】
由题意可知，两个矩形分割后得到4个全等的直角三角形，直角边长度分别为a、b。
方法1：观察拼接后的图形，大正方形的边长恰好是直角三角形的斜边。根据勾股定理，直角三角形的斜边长的平方等于两条直角边的平方和，即$\mathrm{斜边长}^2=a^2+b^2$。
因为正方形的面积等于边长的平方，所以大正方形的面积$=\mathrm{斜边长}^2=a^2+b^2$。
方法2：用割补法计算：
1. 单个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
2. 中间小正方形的边长为$b-a$（假设$b＞a$），小正方形的面积为$(b-a)^2=b^2-2ab+a^2$；
3. 大正方形的面积=4个直角三角形面积+中间小正方形面积，即$2ab+(b^2-2ab+a^2)=a^2+b^2$。
【答案】
$a^2+b^2$
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，整式化简
【点评】
本题结合古代数学结论考查勾股定理的推导，侧重对图形拼接关系的观察，既可直接用勾股定理快速求解，也可通过割补法结合整式运算得到结果，能够帮助学生理解勾股定理的几何意义。
【难度系数】
0.8
解题思路可从两个角度出发：一是先明确拼接后大正方形的边长就是分割得到的直角三角形的斜边，结合勾股定理求斜边的平方，也就是大正方形的面积；二是用割补法，将大正方形的面积拆分为4个全等直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，通过整式运算得到结果。解题时先梳理图形各部分的边长关系，再代入对应面积公式计算即可。
【解析】
由题意可知，两个矩形分割后得到4个全等的直角三角形，直角边长度分别为a、b。
方法1：观察拼接后的图形，大正方形的边长恰好是直角三角形的斜边。根据勾股定理，直角三角形的斜边长的平方等于两条直角边的平方和，即$\mathrm{斜边长}^2=a^2+b^2$。
因为正方形的面积等于边长的平方，所以大正方形的面积$=\mathrm{斜边长}^2=a^2+b^2$。
方法2：用割补法计算：
1. 单个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
2. 中间小正方形的边长为$b-a$（假设$b＞a$），小正方形的面积为$(b-a)^2=b^2-2ab+a^2$；
3. 大正方形的面积=4个直角三角形面积+中间小正方形面积，即$2ab+(b^2-2ab+a^2)=a^2+b^2$。
【答案】
$a^2+b^2$
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，整式化简
【点评】
本题结合古代数学结论考查勾股定理的推导，侧重对图形拼接关系的观察，既可直接用勾股定理快速求解，也可通过割补法结合整式运算得到结果，能够帮助学生理解勾股定理的几何意义。
【难度系数】
0.8
15. 一只袋中装有三只完全相同的小球，三只小球上分别标有1，-2，-3随机摸出一个小球，把这只小球上的数字作为一次函数$y=kx+5$中的k，则得到的一次函数的图象经过一，二，三象限的概率为
$\dfrac{1}{3}$
。答案
15.$\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
这是一道结合一次函数图象性质与概率计算的题目，解题分两步思考：第一步先明确一次函数$y=kx+5$的图象经过一、二、三象限的条件，筛选出符合要求的k的取值范围；第二步统计所有等可能的k的取值数量，以及符合要求的k的数量，最后用概率公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 推导一次函数图象过一、二、三象限的条件：
对于一次函数$y=kx+b$，当$k＞0$且$b＞0$时，图象经过一、二、三象限。
本题中函数为$y=kx+5$，可得$b=5＞0$，因此只需满足$k＞0$，函数图象就经过一、二、三象限。
2. 统计情况数：
从袋中随机摸球，k的可能取值为1、-2、-3，共3种等可能的情况，其中满足$k＞0$的只有$k=1$这1种情况。
3. 计算概率：
根据概率公式，$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总等可能情况数}}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1. 一次函数图象与系数的关系
2. 简单概率计算
【点评】
本题属于基础综合题，将一次函数的性质和概率计算结合考察，只要牢记一次函数图象经过的象限和k、b符号的对应关系，再结合概率的基本计算方法就能顺利解题，做题时注意先确定符合要求的k的取值范围，再统计数量计算概率。
【难度系数】
0.7
这是一道结合一次函数图象性质与概率计算的题目，解题分两步思考：第一步先明确一次函数$y=kx+5$的图象经过一、二、三象限的条件，筛选出符合要求的k的取值范围；第二步统计所有等可能的k的取值数量，以及符合要求的k的数量，最后用概率公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 推导一次函数图象过一、二、三象限的条件：
对于一次函数$y=kx+b$，当$k＞0$且$b＞0$时，图象经过一、二、三象限。
本题中函数为$y=kx+5$，可得$b=5＞0$，因此只需满足$k＞0$，函数图象就经过一、二、三象限。
2. 统计情况数：
从袋中随机摸球，k的可能取值为1、-2、-3，共3种等可能的情况，其中满足$k＞0$的只有$k=1$这1种情况。
3. 计算概率：
根据概率公式，$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总等可能情况数}}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1. 一次函数图象与系数的关系
2. 简单概率计算
【点评】
本题属于基础综合题，将一次函数的性质和概率计算结合考察，只要牢记一次函数图象经过的象限和k、b符号的对应关系，再结合概率的基本计算方法就能顺利解题，做题时注意先确定符合要求的k的取值范围，再统计数量计算概率。
【难度系数】
0.7
三、解答题
16. 如图，在平面直角坐标系中，点$A(2, m)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上，过点$A$的直线交$y$轴于点$B(0, 3)$
(1)求$m$的值和直线$AB$的函数表达式.
(2)若点$P(t, y_1)$在线段$AB$上，点$Q(t-1, y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上，求$y_1-y_2$的最大值.
16. 如图，在平面直角坐标系中，点$A(2, m)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上，过点$A$的直线交$y$轴于点$B(0, 3)$
(1)求$m$的值和直线$AB$的函数表达式.
(2)若点$P(t, y_1)$在线段$AB$上，点$Q(t-1, y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上，求$y_1-y_2$的最大值.
答案
16.(1) $m=\dfrac{3}{2}$，$y=-\dfrac{3}{4}x+3$ (2) $\dfrac{15}{2}$
解析
【分析】
(1) 求m的值时，因为点A在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上，将点A的横坐标$x=2$代入该直线解析式即可算出m，得到点A的完整坐标；求直线AB的函数表达式，已知直线过A、B两点，采用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，代入A、B两点坐标，解二元一次方程组得到k和b即可。
(2) 先分别用t表示出$y_1$和$y_2$：$y_1$是线段AB上点P的纵坐标，代入AB的解析式可得$y_1$关于t的表达式；$y_2$是直线$y=2x-\frac{5}{2}$上Q点的纵坐标，Q的横坐标是$t-1$，代入该直线解析式得到$y_2$关于t的表达式，再计算$y_1-y_2$整理为一次函数形式；根据P在线段AB上确定t的取值范围，结合一次函数的增减性即可求出$y_1-y_2$的最大值。
【解析】
(1) 把点$A(2, m)$代入$y=2x-\dfrac{5}{2}$，得：
$m=2×2 - \dfrac{5}{2}=4-\dfrac{5}{2}=\dfrac{3}{2}$，
所以点A的坐标为$(2,\dfrac{3}{2})$。
设直线AB的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$A(2,\dfrac{3}{2})$、$B(0,3)$代入解析式得：
$\begin{cases}b=3\\2k+b=\dfrac{3}{2}\end{cases}$，
把$b=3$代入第二个方程，得$2k+3=\dfrac{3}{2}$，解得$k=-\dfrac{3}{4}$，
所以直线AB的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+3$。
(2) 因为点$P(t, y_1)$在线段AB上，所以$y_1=-\dfrac{3}{4}t+3$，且t的取值范围是$0≤ t≤2$。
点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$上，把$x=t-1$代入得：
$y_2=2(t-1)-\dfrac{5}{2}=2t-\dfrac{9}{2}$。
则$y_1-y_2=(-\dfrac{3}{4}t+3)-(2t-\dfrac{9}{2})$
$=-\dfrac{11}{4}t+\dfrac{15}{2}$。
因为$-\dfrac{11}{4}＜0$，所以$y_1-y_2$随t的增大而减小，
所以当$t=0$时，$y_1-y_2$取得最大值，最大值为$\dfrac{15}{2}$。
【答案】
(1) $m=\dfrac{3}{2}$，直线AB的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+3$；(2) $\dfrac{15}{2}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的增减性
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，第一问侧重对待定系数法这一核心方法的考查，第二问需要结合自变量取值范围和函数增减性求最值，是一次函数章节的典型考法，能有效考查对一次函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1) 求m的值时，因为点A在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上，将点A的横坐标$x=2$代入该直线解析式即可算出m，得到点A的完整坐标；求直线AB的函数表达式，已知直线过A、B两点，采用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，代入A、B两点坐标，解二元一次方程组得到k和b即可。
(2) 先分别用t表示出$y_1$和$y_2$：$y_1$是线段AB上点P的纵坐标，代入AB的解析式可得$y_1$关于t的表达式；$y_2$是直线$y=2x-\frac{5}{2}$上Q点的纵坐标，Q的横坐标是$t-1$，代入该直线解析式得到$y_2$关于t的表达式，再计算$y_1-y_2$整理为一次函数形式；根据P在线段AB上确定t的取值范围，结合一次函数的增减性即可求出$y_1-y_2$的最大值。
【解析】
(1) 把点$A(2, m)$代入$y=2x-\dfrac{5}{2}$，得：
$m=2×2 - \dfrac{5}{2}=4-\dfrac{5}{2}=\dfrac{3}{2}$，
所以点A的坐标为$(2,\dfrac{3}{2})$。
设直线AB的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$A(2,\dfrac{3}{2})$、$B(0,3)$代入解析式得：
$\begin{cases}b=3\\2k+b=\dfrac{3}{2}\end{cases}$，
把$b=3$代入第二个方程，得$2k+3=\dfrac{3}{2}$，解得$k=-\dfrac{3}{4}$，
所以直线AB的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+3$。
(2) 因为点$P(t, y_1)$在线段AB上，所以$y_1=-\dfrac{3}{4}t+3$，且t的取值范围是$0≤ t≤2$。
点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$上，把$x=t-1$代入得：
$y_2=2(t-1)-\dfrac{5}{2}=2t-\dfrac{9}{2}$。
则$y_1-y_2=(-\dfrac{3}{4}t+3)-(2t-\dfrac{9}{2})$
$=-\dfrac{11}{4}t+\dfrac{15}{2}$。
因为$-\dfrac{11}{4}＜0$，所以$y_1-y_2$随t的增大而减小，
所以当$t=0$时，$y_1-y_2$取得最大值，最大值为$\dfrac{15}{2}$。
【答案】
(1) $m=\dfrac{3}{2}$，直线AB的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+3$；(2) $\dfrac{15}{2}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的增减性
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，第一问侧重对待定系数法这一核心方法的考查，第二问需要结合自变量取值范围和函数增减性求最值，是一次函数章节的典型考法，能有效考查对一次函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
17. 如图，O为坐标原点，一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴、$y$轴分别相交于$A$，$B$两点，$OA=OB=2$。
(1)写出$A$，$B$两点的坐标；
(2)求此一次函数的解析式；
(3)求$O$到直线$AB$的距离。
(1)写出$A$，$B$两点的坐标；
(2)求此一次函数的解析式；
(3)求$O$到直线$AB$的距离。
答案
17.(1) A (2, 0)，B (0, 2) (2) $y=-x+2$ (3) $\sqrt{2}$
解析
【分析】
(1) 确定点坐标：A在x轴正半轴，OA=2，因此横坐标为2、纵坐标为0；B在y轴正半轴，OB=2，因此纵坐标为2、横坐标为0，可直接得出两点坐标。
(2) 求一次函数解析式：采用待定系数法，将A、B两点坐标代入$y=kx+b$，得到关于k、b的方程组，求解即可得到函数解析式。
(3) 求点O到直线AB的距离：先用勾股定理算出线段AB的长度，再用等面积法，△AOB的面积既可以用OA、OB的长度计算，也可以用AB长度和点O到AB的距离计算，列等式即可求出距离。
【解析】
(1)
∵点A在x轴正半轴，且$OA=2$，
∴A点坐标为$(2,0)$；
∵点B在y轴正半轴，且$OB=2$，
∴B点坐标为$(0,2)$。
(2) 将$A(2,0)$、$B(0,2)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}2k+b=0\\b=2\end{cases}$
将$b=2$代入$2k+b=0$，解得$k=-1$，
因此一次函数解析式为$y=-x+2$。
(3) 设O到直线AB的距离为$h$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
△AOB的面积$S=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×2=2$，
又
∵$S=\frac{1}{2}× AB× h$，
∴$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}× h=2$，解得$h=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $A(2,0)$，$B(0,2)$；(2) $y=-x+2$；(3) $\sqrt{2}$
【知识点】
平面直角坐标系坐标特征，待定系数法求解析式，勾股定理应用
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考察核心知识点的基础应用，解题关键是熟练掌握待定系数法和等面积法的使用思路，计算难度低，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
(1) 确定点坐标：A在x轴正半轴，OA=2，因此横坐标为2、纵坐标为0；B在y轴正半轴，OB=2，因此纵坐标为2、横坐标为0，可直接得出两点坐标。
(2) 求一次函数解析式：采用待定系数法，将A、B两点坐标代入$y=kx+b$，得到关于k、b的方程组，求解即可得到函数解析式。
(3) 求点O到直线AB的距离：先用勾股定理算出线段AB的长度，再用等面积法，△AOB的面积既可以用OA、OB的长度计算，也可以用AB长度和点O到AB的距离计算，列等式即可求出距离。
【解析】
(1)
∵点A在x轴正半轴，且$OA=2$，
∴A点坐标为$(2,0)$；
∵点B在y轴正半轴，且$OB=2$，
∴B点坐标为$(0,2)$。
(2) 将$A(2,0)$、$B(0,2)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}2k+b=0\\b=2\end{cases}$
将$b=2$代入$2k+b=0$，解得$k=-1$，
因此一次函数解析式为$y=-x+2$。
(3) 设O到直线AB的距离为$h$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
△AOB的面积$S=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×2=2$，
又
∵$S=\frac{1}{2}× AB× h$，
∴$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}× h=2$，解得$h=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $A(2,0)$，$B(0,2)$；(2) $y=-x+2$；(3) $\sqrt{2}$
【知识点】
平面直角坐标系坐标特征，待定系数法求解析式，勾股定理应用
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考察核心知识点的基础应用，解题关键是熟练掌握待定系数法和等面积法的使用思路，计算难度低，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
