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7. 葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上.如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50 cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4 m时，这段葛藤的长是 m.（
A.3
B.2.6
C.2.8
D.2.5
B
）A.3
B.2.6
C.2.8
D.2.5
答案
7.B
解析
【分析】
解决圆柱表面的最短路径问题，需先将圆柱侧面展开为平面长方形，把立体的曲线路径转化为平面内的直线段，再利用勾股定理计算长度。首先统一单位，再明确展开后长方形的长是葛藤绕2圈对应的底面周长之和，宽是葛藤上升的总高度，最短路径就是该长方形的对角线。
【解析】
第一步：单位换算，$50\mathrm{cm}=0.5\mathrm{m}$。
第二步：葛藤绕树干盘旋2圈，侧面展开后长方形的长为2个底面周长：$2×0.5=1\mathrm{m}$，长方形的宽为葛藤上升的总高度$2.4\mathrm{m}$。
第三步：根据勾股定理，葛藤的长度为长方形对角线长度：
$L=\sqrt{1^2 + 2.4^2}=\sqrt{1 + 5.76}=\sqrt{6.76}=2.6\mathrm{m}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题结合生活实际考查立体图形平面化的转化思想，解题关键是准确得到展开后长方形的长和宽，再用勾股定理求解，是平面几何解决立体问题的典型题型。
【难度系数】
0.7
解决圆柱表面的最短路径问题，需先将圆柱侧面展开为平面长方形，把立体的曲线路径转化为平面内的直线段，再利用勾股定理计算长度。首先统一单位，再明确展开后长方形的长是葛藤绕2圈对应的底面周长之和，宽是葛藤上升的总高度，最短路径就是该长方形的对角线。
【解析】
第一步：单位换算，$50\mathrm{cm}=0.5\mathrm{m}$。
第二步：葛藤绕树干盘旋2圈，侧面展开后长方形的长为2个底面周长：$2×0.5=1\mathrm{m}$，长方形的宽为葛藤上升的总高度$2.4\mathrm{m}$。
第三步：根据勾股定理，葛藤的长度为长方形对角线长度：
$L=\sqrt{1^2 + 2.4^2}=\sqrt{1 + 5.76}=\sqrt{6.76}=2.6\mathrm{m}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题结合生活实际考查立体图形平面化的转化思想，解题关键是准确得到展开后长方形的长和宽，再用勾股定理求解，是平面几何解决立体问题的典型题型。
【难度系数】
0.7
8. 下列命题中，错误的是 （
A.线段的两个端点关于它的垂直平分线对称
B.斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等
C.等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
D.五边形共有5条对角线
C
）A.线段的两个端点关于它的垂直平分线对称
B.斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等
C.等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
D.五边形共有5条对角线
答案
8.C
解析
【分析】
本题要求选出错误的命题，解题时需逐一验证每个选项对应的几何性质：结合轴对称的概念判断A，结合直角三角形全等判定判断B，结合等腰三角形“三线合一”的性质判断C，结合多边形对角线公式判断D，最终锁定错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 线段垂直平分线上的任意点到线段两个端点的距离相等，且两个端点的连线被垂直平分线垂直平分，因此线段的两个端点关于它的垂直平分线对称，该命题正确，不符合题意；
B. 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，这是直角三角形全等的特殊判定方法“HL定理”，该命题正确，不符合题意；
C. 等腰三角形只有顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”是有前提限制的，并非所有的角平分线、中线、高线都重合，该命题错误，符合题意；
D. n边形的对角线条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$，将n=5代入得$\frac{5×(5-3)}{2}=5$，因此五边形共有5条对角线，该命题正确，不符合题意。
综上，错误的命题是C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形全等的判定；多边形的对角线
【点评】
本题综合考查了几何基础概念，易错点在于忽略等腰三角形“三线合一”的限定条件，学习基础性质时要注意记全概念的适用范围，避免因细节遗漏出错。
【难度系数】
0.7
本题要求选出错误的命题，解题时需逐一验证每个选项对应的几何性质：结合轴对称的概念判断A，结合直角三角形全等判定判断B，结合等腰三角形“三线合一”的性质判断C，结合多边形对角线公式判断D，最终锁定错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 线段垂直平分线上的任意点到线段两个端点的距离相等，且两个端点的连线被垂直平分线垂直平分，因此线段的两个端点关于它的垂直平分线对称，该命题正确，不符合题意；
B. 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，这是直角三角形全等的特殊判定方法“HL定理”，该命题正确，不符合题意；
C. 等腰三角形只有顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”是有前提限制的，并非所有的角平分线、中线、高线都重合，该命题错误，符合题意；
D. n边形的对角线条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$，将n=5代入得$\frac{5×(5-3)}{2}=5$，因此五边形共有5条对角线，该命题正确，不符合题意。
综上，错误的命题是C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形全等的判定；多边形的对角线
【点评】
本题综合考查了几何基础概念，易错点在于忽略等腰三角形“三线合一”的限定条件，学习基础性质时要注意记全概念的适用范围，避免因细节遗漏出错。
【难度系数】
0.7
9. 如图，点C的坐标为(3，4)，CA⊥y轴于点A，D是线段AO上一点，且OD=3AD，点B从原点O出发，沿x轴正方向运动，CB与直线$y=\frac{1}{3}x$交于点E，取OE的中点F，则△CFD的面积为（
A.6
B.5
C.$\frac{13}{3}$
D.4.5
D
）A.6
B.5
C.$\frac{13}{3}$
D.4.5
答案
9.D
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据点C的坐标和CA⊥y轴的条件，求出点A的坐标，再结合OD=3AD算出D点坐标；2. 由E在直线$y=\frac{1}{3}x$上、F是OE中点，可知F也在该直线上，可设F的坐标为$(t,\frac{1}{3}t)$；3. 用割补法计算△CFD的面积，计算过程中参数t会消去，得到固定的面积值。本题的核心是发现△CFD的面积与动点B的位置无关，是定值。
【解析】
1. 求点D的坐标：
∵CA⊥y轴，点C坐标为(3,4)，
∴点A的横坐标为0，纵坐标与C相同，即A(0,4)，线段AO的长度为4。
∵OD=3AD，且AD+OD=AO=4，解得AD=1，OD=3，
∴D点坐标为(0,3)。
2. 分析点F的坐标特征：
∵点E在直线$y=\frac{1}{3}x$上，F是OE的中点，原点O坐标为(0,0)，
∴F也在直线$y=\frac{1}{3}x$上，设F的坐标为$(t, \frac{1}{3}t)$。
3. 用割补法求△CFD的面积：
过点C作CH⊥y轴于H，过点F作FG⊥y轴于G，
则H(0,4)，G$(0, \frac{1}{3}t)$，CH=3，FG=t，$HG=4-\frac{1}{3}t$，$DG=3-\frac{1}{3}t$，HD=4-3=1。
$S_{梯形CHGF}=\frac{1}{2}×(CH+FG)× HG=\frac{1}{2}×(3+t)×(4-\frac{t}{3})$
$S_{△ DFG}=\frac{1}{2}× FG× DG=\frac{1}{2}× t×(3-\frac{t}{3})$
$S_{△ CHD}=\frac{1}{2}× CH× HD=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$
∴$S_{△ CFD}=S_{梯形CHGF}-S_{△ DFG}-S_{△ CHD}$
代入展开计算：
$=\frac{1}{2}(12+3t-\frac{t^2}{3}) - \frac{1}{2}(3t-\frac{t^2}{3}) - \frac{3}{2}$
$=6+\frac{3t}{2}-\frac{t^2}{6}-\frac{3t}{2}+\frac{t^2}{6}-\frac{3}{2}$
$=6-1.5=4.5$
【答案】
D
【知识点】
坐标法求面积，一次函数性质，线段中点特征
【点评】
本题属于动点背景下的定值计算问题，解题关键是合理设参数，通过割补法计算面积时参数会自动消去，考查了平面直角坐标系中图形面积的计算技巧，解题时不需要被动点B的运动干扰。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先根据点C的坐标和CA⊥y轴的条件，求出点A的坐标，再结合OD=3AD算出D点坐标；2. 由E在直线$y=\frac{1}{3}x$上、F是OE中点，可知F也在该直线上，可设F的坐标为$(t,\frac{1}{3}t)$；3. 用割补法计算△CFD的面积，计算过程中参数t会消去，得到固定的面积值。本题的核心是发现△CFD的面积与动点B的位置无关，是定值。
【解析】
1. 求点D的坐标：
∵CA⊥y轴，点C坐标为(3,4)，
∴点A的横坐标为0，纵坐标与C相同，即A(0,4)，线段AO的长度为4。
∵OD=3AD，且AD+OD=AO=4，解得AD=1，OD=3，
∴D点坐标为(0,3)。
2. 分析点F的坐标特征：
∵点E在直线$y=\frac{1}{3}x$上，F是OE的中点，原点O坐标为(0,0)，
∴F也在直线$y=\frac{1}{3}x$上，设F的坐标为$(t, \frac{1}{3}t)$。
3. 用割补法求△CFD的面积：
过点C作CH⊥y轴于H，过点F作FG⊥y轴于G，
则H(0,4)，G$(0, \frac{1}{3}t)$，CH=3，FG=t，$HG=4-\frac{1}{3}t$，$DG=3-\frac{1}{3}t$，HD=4-3=1。
$S_{梯形CHGF}=\frac{1}{2}×(CH+FG)× HG=\frac{1}{2}×(3+t)×(4-\frac{t}{3})$
$S_{△ DFG}=\frac{1}{2}× FG× DG=\frac{1}{2}× t×(3-\frac{t}{3})$
$S_{△ CHD}=\frac{1}{2}× CH× HD=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$
∴$S_{△ CFD}=S_{梯形CHGF}-S_{△ DFG}-S_{△ CHD}$
代入展开计算：
$=\frac{1}{2}(12+3t-\frac{t^2}{3}) - \frac{1}{2}(3t-\frac{t^2}{3}) - \frac{3}{2}$
$=6+\frac{3t}{2}-\frac{t^2}{6}-\frac{3t}{2}+\frac{t^2}{6}-\frac{3}{2}$
$=6-1.5=4.5$
【答案】
D
【知识点】
坐标法求面积，一次函数性质，线段中点特征
【点评】
本题属于动点背景下的定值计算问题，解题关键是合理设参数，通过割补法计算面积时参数会自动消去，考查了平面直角坐标系中图形面积的计算技巧，解题时不需要被动点B的运动干扰。
【难度系数】
0.6
10. 下列命题中，正确的是 （
A.梯形的对角线相等
B.菱形的对角线一定不相等
C.矩形的对角线不能互相垂直
D.平行四边形的对角线可以互相垂直
D
）A.梯形的对角线相等
B.菱形的对角线一定不相等
C.矩形的对角线不能互相垂直
D.平行四边形的对角线可以互相垂直
答案
10.D
解析
【分析】
要判断各选项命题的正确性，需逐一结合梯形、菱形、矩形、平行四边形的对角线性质分析，同时注意各类特殊四边形中存在的特例，若能举出反例即可判断该命题错误，最终选出正确选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 只有等腰梯形的对角线相等，普通梯形的对角线不相等，因此该命题错误；
B. 正方形属于特殊的菱形，正方形的对角线相等，因此菱形的对角线可能相等，该命题错误；
C. 正方形属于特殊的矩形，正方形的对角线互相垂直，因此矩形的对角线可能互相垂直，该命题错误；
D. 菱形属于特殊的平行四边形，菱形的对角线互相垂直，因此平行四边形的对角线可以互相垂直，该命题正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 特殊四边形的性质
2. 真假命题判断
【点评】
本题重点考查各类常见特殊四边形的对角线性质，解题时要注意正方形同时具备菱形和矩形的特征，避免因忽略这类特例导致判断失误。
【难度系数】
0.8
要判断各选项命题的正确性，需逐一结合梯形、菱形、矩形、平行四边形的对角线性质分析，同时注意各类特殊四边形中存在的特例，若能举出反例即可判断该命题错误，最终选出正确选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 只有等腰梯形的对角线相等，普通梯形的对角线不相等，因此该命题错误；
B. 正方形属于特殊的菱形，正方形的对角线相等，因此菱形的对角线可能相等，该命题错误；
C. 正方形属于特殊的矩形，正方形的对角线互相垂直，因此矩形的对角线可能互相垂直，该命题错误；
D. 菱形属于特殊的平行四边形，菱形的对角线互相垂直，因此平行四边形的对角线可以互相垂直，该命题正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 特殊四边形的性质
2. 真假命题判断
【点评】
本题重点考查各类常见特殊四边形的对角线性质，解题时要注意正方形同时具备菱形和矩形的特征，避免因忽略这类特例导致判断失误。
【难度系数】
0.8
11.若一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象经过第二、三、四象限，则$kb$
＞
0(填“＞”“＜”“=”)。答案
11.＞
解析
【分析】
解题时先回忆一次函数图象与系数的对应关系：系数k决定直线的倾斜方向，系数b决定直线与y轴交点的位置。首先根据图象经过第二、四象限推导k的符号，再根据图象经过第三、四象限推导b的符号，最后结合有理数乘法的符号法则判断kb与0的大小关系。
【解析】
∵一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象经过第二、三、四象限，
1. 推导k的符号：当$k＜0$时，直线从左上向右下倾斜，必然经过第二、四象限，符合图象特征，因此$k＜0$；
2. 推导b的符号：b是直线与y轴交点的纵坐标，图象经过第三、四象限，说明直线与y轴交于负半轴，因此$b＜0$；
3. 判断kb的符号：根据有理数乘法“同号得正”的法则，两个负数相乘结果为正，因此$kb＞0$。
【答案】
＞
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，有理数乘法法则
【点评】
本题属于基础题，核心考查一次函数的图象性质，只要牢记k、b分别对一次函数图象的影响，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆一次函数图象与系数的对应关系：系数k决定直线的倾斜方向，系数b决定直线与y轴交点的位置。首先根据图象经过第二、四象限推导k的符号，再根据图象经过第三、四象限推导b的符号，最后结合有理数乘法的符号法则判断kb与0的大小关系。
【解析】
∵一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象经过第二、三、四象限，
1. 推导k的符号：当$k＜0$时，直线从左上向右下倾斜，必然经过第二、四象限，符合图象特征，因此$k＜0$；
2. 推导b的符号：b是直线与y轴交点的纵坐标，图象经过第三、四象限，说明直线与y轴交于负半轴，因此$b＜0$；
3. 判断kb的符号：根据有理数乘法“同号得正”的法则，两个负数相乘结果为正，因此$kb＞0$。
【答案】
＞
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，有理数乘法法则
【点评】
本题属于基础题，核心考查一次函数的图象性质，只要牢记k、b分别对一次函数图象的影响，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.85
12. 把两个相同大小的含$45°$角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个三角板的直角顶点重合于点A，且点B，C，D在同一直线上，若$AB=\sqrt{2}$，则$BD=$
$2+\sqrt{2}$
。答案
12.$2+\sqrt{2}$
13. 函数$y=\dfrac{2}{x-1}+\sqrt{x+2}$中，自变量$x$的取值范围为
$x≥-2$且$x≠1$
。答案
13.$x≥-2$且$x≠1$
解析
【分析】
要确定函数自变量的取值范围，需结合函数中包含的代数式类型，分别列出有意义的限制条件：本题函数同时包含分式和二次根式，首先要保证分式的分母不为0，其次要保证二次根式的被开方数是非负数，最后求出两个限制条件的公共解集即可。
【解析】
要使函数$y=\dfrac{2}{x-1}+\sqrt{x+2}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 分式部分有意义：分母不为0，即$x-1≠0$，解得$x≠1$；
2. 二次根式部分有意义：被开方数大于等于0，即$x+2≥0$，解得$x≥-2$。
综上，自变量$x$需同时满足上述两个条件，因此$x$的取值范围是$x≥-2$且$x≠1$。
【答案】
$x≥-2$且$x≠1$
【知识点】
分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量取值范围求解
【点评】
本题是函数自变量取值范围的常规题型，解题关键是明确不同类型代数式有意义的限制条件，最终需取所有条件的公共解集，避免遗漏分母不为0的限制。
【难度系数】
0.75
要确定函数自变量的取值范围，需结合函数中包含的代数式类型，分别列出有意义的限制条件：本题函数同时包含分式和二次根式，首先要保证分式的分母不为0，其次要保证二次根式的被开方数是非负数，最后求出两个限制条件的公共解集即可。
【解析】
要使函数$y=\dfrac{2}{x-1}+\sqrt{x+2}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 分式部分有意义：分母不为0，即$x-1≠0$，解得$x≠1$；
2. 二次根式部分有意义：被开方数大于等于0，即$x+2≥0$，解得$x≥-2$。
综上，自变量$x$需同时满足上述两个条件，因此$x$的取值范围是$x≥-2$且$x≠1$。
【答案】
$x≥-2$且$x≠1$
【知识点】
分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量取值范围求解
【点评】
本题是函数自变量取值范围的常规题型，解题关键是明确不同类型代数式有意义的限制条件，最终需取所有条件的公共解集，避免遗漏分母不为0的限制。
【难度系数】
0.75
