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18. 当排球和足球纳入中招考试体育加试后，这两种球的销量逐步提升.某体育用品商店看准时机，第一次购入30个排球和70个足球共花费4 550元.第二次购入60个排球和40个足球共花费4 100元.商店将排球和足球以50元/个和70元/个的价格出售，前两次进货很快销售一空.
(1)求每个排球和足球的进价.
(2)该商店准备第三次购入排球和足球共200个，根据市场需求，排球的购买个数不少于40个且不超过100个.购买时生产厂家对排球进行了优惠，规定购买排球不超过50个时保持原价，超过50个时超过的部分打八折.设第三次进货销售完的总利润为$ w $元(利润=销售额－成本)，其中购进排球$ x $个.求$ w $与$ x $的函数关系式.
(1)求每个排球和足球的进价.
(2)该商店准备第三次购入排球和足球共200个，根据市场需求，排球的购买个数不少于40个且不超过100个.购买时生产厂家对排球进行了优惠，规定购买排球不超过50个时保持原价，超过50个时超过的部分打八折.设第三次进货销售完的总利润为$ w $元(利润=销售额－成本)，其中购进排球$ x $个.求$ w $与$ x $的函数关系式.
答案
18.(1) 排球的进价为35元，足球的进价为50元.
(2) $w=\begin{cases}-5x+4\ 000\ (40≤ x≤ 50),\\2x+3\ 650\ (50＜x≤ 100).\end{cases}$
(2) $w=\begin{cases}-5x+4\ 000\ (40≤ x≤ 50),\\2x+3\ 650\ (50＜x≤ 100).\end{cases}$
解析
【分析】
(1) 题目给出两次进货的总花费两个等量关系，且需求排球、足球两个未知进价，因此可通过设未知数列二元一次方程组求解。
(2) 总利润=总销售额-总成本，由于排球购买量不同时优惠方案不同，因此需要分两种情况讨论：①购进排球数量在40≤x≤50区间时，排球无优惠，按原价计算成本；②购进排球数量在50＜x≤100区间时，前50个排球按原价，超出部分打八折计算成本，分别计算两种情况下的总销售额和总成本，相减即可得到对应区间的函数关系式，注意标注自变量的取值范围。
【解析】
(1) 设每个排球的进价为$a$元，每个足球的进价为$b$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}30a + 70b = 4550 \\60a + 40b = 4100 \end{cases}$
将第一个方程两边同时乘2得$60a + 140b = 9100$，减去第二个方程消去$a$：
$100b = 5000$，解得$b=50$
把$b=50$代入$30a +70×50 = 4550$，解得$a=35$
(2) 购进足球数量为$(200-x)$个，分两种情况计算：
① 当$40 ≤ x ≤ 50$时，排球进价均为35元/个：
总销售额$= 50x + 70(200 - x) = 14000 - 20x$
总成本$= 35x + 50(200 - x) = 10000 - 15x$
总利润$w = (14000 - 20x) - (10000 - 15x) = -5x + 4000$
② 当$50 ＜ x ≤ 100$时，排球超出50个的部分进价为$35×0.8=28$元/个：
排球总成本$= 35×50 + 28(x - 50) = 28x + 350$
足球总成本$= 50(200 - x) = 10000 - 50x$
总利润$w = (14000 - 20x) - (28x + 350 + 10000 - 50x) = 2x + 3650$
【答案】
(1) 每个排球的进价为35元，每个足球的进价为50元；
(2) $w=\begin{cases}-5x+4\ 000\ (40≤ x≤ 50)\\2x+3\ 650\ (50＜x≤ 100)\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组应用，分段函数，利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景考查方程与函数的综合应用，解题核心是找准等量关系列方程，分段讨论时要明确不同区间的成本计算规则，不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
(1) 题目给出两次进货的总花费两个等量关系，且需求排球、足球两个未知进价，因此可通过设未知数列二元一次方程组求解。
(2) 总利润=总销售额-总成本，由于排球购买量不同时优惠方案不同，因此需要分两种情况讨论：①购进排球数量在40≤x≤50区间时，排球无优惠，按原价计算成本；②购进排球数量在50＜x≤100区间时，前50个排球按原价，超出部分打八折计算成本，分别计算两种情况下的总销售额和总成本，相减即可得到对应区间的函数关系式，注意标注自变量的取值范围。
【解析】
(1) 设每个排球的进价为$a$元，每个足球的进价为$b$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}30a + 70b = 4550 \\60a + 40b = 4100 \end{cases}$
将第一个方程两边同时乘2得$60a + 140b = 9100$，减去第二个方程消去$a$：
$100b = 5000$，解得$b=50$
把$b=50$代入$30a +70×50 = 4550$，解得$a=35$
(2) 购进足球数量为$(200-x)$个，分两种情况计算：
① 当$40 ≤ x ≤ 50$时，排球进价均为35元/个：
总销售额$= 50x + 70(200 - x) = 14000 - 20x$
总成本$= 35x + 50(200 - x) = 10000 - 15x$
总利润$w = (14000 - 20x) - (10000 - 15x) = -5x + 4000$
② 当$50 ＜ x ≤ 100$时，排球超出50个的部分进价为$35×0.8=28$元/个：
排球总成本$= 35×50 + 28(x - 50) = 28x + 350$
足球总成本$= 50(200 - x) = 10000 - 50x$
总利润$w = (14000 - 20x) - (28x + 350 + 10000 - 50x) = 2x + 3650$
【答案】
(1) 每个排球的进价为35元，每个足球的进价为50元；
(2) $w=\begin{cases}-5x+4\ 000\ (40≤ x≤ 50)\\2x+3\ 650\ (50＜x≤ 100)\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组应用，分段函数，利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景考查方程与函数的综合应用，解题核心是找准等量关系列方程，分段讨论时要明确不同区间的成本计算规则，不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
19. 张先生几年前种植了甲、乙两块樱桃园，各栽种了200棵樱桃树，成活率为99％，现已挂果. 为分析收成情况，他分别从两块樱桃园随机抽取5棵树作为样本，并采摘完样本树上的樱桃，每棵树的产量如图所示.
(1)分别计算甲、乙两块樱桃园样本数据的中位数与平均数；
(2)请根据样本中的平均数分别估算甲、乙两块樱桃园樱桃的产量；
(3)根据样本，通过计算估计哪块樱桃园的樱桃产量比较稳定.
(1)分别计算甲、乙两块樱桃园样本数据的中位数与平均数；
(2)请根据样本中的平均数分别估算甲、乙两块樱桃园樱桃的产量；
(3)根据样本，通过计算估计哪块樱桃园的樱桃产量比较稳定.
答案
19.(1) 甲样本的中位数为45，平均数为45；乙样本的中位数为43，平均数为44 (2) 甲樱桃园樱桃的产量为8 910 kg，乙樱桃园樱桃的产量为8 712 kg (3) 乙樱桃园的樱桃产量比较稳定
解析
【分析】
(1) 求解中位数和平均数，首先要从折线统计图中分别提取甲、乙两块园5棵样本树的产量数据，将数据从小到大排序后，5个数据的中位数为排序后第3个数据；平均数为所有数据之和除以数据个数5。
(2) 估算总产量，先计算两块樱桃园的成活樱桃树数量：总棵数200乘成活率99%，再用各自的样本平均数乘成活棵数，即可用样本平均数估计总体产量。
(3) 判断产量稳定性，需要计算两组样本数据的方差，方差越小说明数据波动越小，产量越稳定，分别计算甲、乙方差后比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 提取样本数据：
甲样本5棵树产量（单位：kg）：40，40，45，46，54，从小到大排序后第3个数为45，故甲样本中位数为45；
甲样本平均数：$\overline{x}_甲=\frac{40+45+54+46+40}{5}=\frac{225}{5}=45$。
乙样本5棵树产量（单位：kg）：38，42，43，48，49，从小到大排序后第3个数为43，故乙样本中位数为43；
乙样本平均数：$\overline{x}_乙=\frac{43+38+49+42+48}{5}=\frac{220}{5}=44$。
(2) 两块樱桃园成活樱桃树数量为：$200×99\%=198$（棵）
甲园总产量估算：$198×45=8910$（kg）
乙园总产量估算：$198×44=8712$（kg）
(3) 计算方差判断稳定性：
甲样本方差：$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(40-45)^2+(45-45)^2+(54-45)^2+(46-45)^2+(40-45)^2]=\frac{1}{5}×(25+0+81+1+25)=26.4$
乙样本方差：$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(43-44)^2+(38-44)^2+(49-44)^2+(42-44)^2+(48-44)^2]=\frac{1}{5}×(1+36+25+4+16)=16.4$
∵$s^2_乙 ＜ s^2_甲$，
∴乙樱桃园的樱桃产量波动更小，更稳定。
【答案】
(1) 甲样本的中位数为45，平均数为45；乙样本的中位数为43，平均数为44
(2) 甲樱桃园樱桃的产量为8 910 kg，乙樱桃园樱桃的产量为8 712 kg
(3) 乙樱桃园的樱桃产量比较稳定
【知识点】
平均数与中位数计算，用样本估计总体，方差的应用
【点评】
本题结合实际农业收成场景考查统计知识的应用，需要熟练掌握常见统计特征数的计算方法，理解各特征数的实际意义，计算时需细心避免运算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求解中位数和平均数，首先要从折线统计图中分别提取甲、乙两块园5棵样本树的产量数据，将数据从小到大排序后，5个数据的中位数为排序后第3个数据；平均数为所有数据之和除以数据个数5。
(2) 估算总产量，先计算两块樱桃园的成活樱桃树数量：总棵数200乘成活率99%，再用各自的样本平均数乘成活棵数，即可用样本平均数估计总体产量。
(3) 判断产量稳定性，需要计算两组样本数据的方差，方差越小说明数据波动越小，产量越稳定，分别计算甲、乙方差后比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 提取样本数据：
甲样本5棵树产量（单位：kg）：40，40，45，46，54，从小到大排序后第3个数为45，故甲样本中位数为45；
甲样本平均数：$\overline{x}_甲=\frac{40+45+54+46+40}{5}=\frac{225}{5}=45$。
乙样本5棵树产量（单位：kg）：38，42，43，48，49，从小到大排序后第3个数为43，故乙样本中位数为43；
乙样本平均数：$\overline{x}_乙=\frac{43+38+49+42+48}{5}=\frac{220}{5}=44$。
(2) 两块樱桃园成活樱桃树数量为：$200×99\%=198$（棵）
甲园总产量估算：$198×45=8910$（kg）
乙园总产量估算：$198×44=8712$（kg）
(3) 计算方差判断稳定性：
甲样本方差：$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(40-45)^2+(45-45)^2+(54-45)^2+(46-45)^2+(40-45)^2]=\frac{1}{5}×(25+0+81+1+25)=26.4$
乙样本方差：$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(43-44)^2+(38-44)^2+(49-44)^2+(42-44)^2+(48-44)^2]=\frac{1}{5}×(1+36+25+4+16)=16.4$
∵$s^2_乙 ＜ s^2_甲$，
∴乙樱桃园的樱桃产量波动更小，更稳定。
【答案】
(1) 甲样本的中位数为45，平均数为45；乙样本的中位数为43，平均数为44
(2) 甲樱桃园樱桃的产量为8 910 kg，乙樱桃园樱桃的产量为8 712 kg
(3) 乙樱桃园的樱桃产量比较稳定
【知识点】
平均数与中位数计算，用样本估计总体，方差的应用
【点评】
本题结合实际农业收成场景考查统计知识的应用，需要熟练掌握常见统计特征数的计算方法，理解各特征数的实际意义，计算时需细心避免运算错误。
【难度系数】
0.7
