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15. 如图是王同学一不小心将等腰直角三角板(AC=BC，∠ACB=90°)掉到了弟弟的积木玩具中，他发现刚好卡在了10块高度都是1 cm，整齐排成两列的相同长方体小木块中，顶点C在地面DE上，点A和B分别与积木的顶端重合，则等腰直角三角板直角边AC的长度是
$\sqrt{58}$
。答案
15.$\sqrt{58}$
解析
【分析】
解题时首先通过作辅助线构造直角三角形，结合等腰直角三角板的特征推导角的等量关系，证明三角形全等，得到对应边长度后，再用勾股定理计算直角边AC的长度。步骤如下：1. 过A、B分别作DE的垂线，得到两个直角三角形；2. 利用同角的余角相等得到一组角相等，结合AC=BC、两个直角相等，证明两个三角形全等；3. 根据积木块的高度得到对应直角边的长度，代入勾股公式计算即可。
【解析】
解：过点A作$AD⊥ DE$于D，过点B作$BE⊥ DE$于E，
$\therefore ∠ ADC=∠ CEB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ CAD=90°$，
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ BCE=180°-90°=90°$，
$\therefore ∠ CAD=∠ BCE$，
在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ CAD=∠ BCE \\AC=BC\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$，
由题意知每块小木块高1cm，可得$AD=3\mathrm{cm}$，$BE=7\mathrm{cm}$，
$\therefore CD=BE=7\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+7^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}\mathrm{cm}$
【答案】
$\sqrt{58}\mathrm{cm}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合应用题，将等腰直角三角形和实际图形结合，需要学生自主构造全等三角形转化线段长度，考查了数形结合思想和几何知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先通过作辅助线构造直角三角形，结合等腰直角三角板的特征推导角的等量关系，证明三角形全等，得到对应边长度后，再用勾股定理计算直角边AC的长度。步骤如下：1. 过A、B分别作DE的垂线，得到两个直角三角形；2. 利用同角的余角相等得到一组角相等，结合AC=BC、两个直角相等，证明两个三角形全等；3. 根据积木块的高度得到对应直角边的长度，代入勾股公式计算即可。
【解析】
解：过点A作$AD⊥ DE$于D，过点B作$BE⊥ DE$于E，
$\therefore ∠ ADC=∠ CEB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ CAD=90°$，
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ BCE=180°-90°=90°$，
$\therefore ∠ CAD=∠ BCE$，
在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ CAD=∠ BCE \\AC=BC\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$，
由题意知每块小木块高1cm，可得$AD=3\mathrm{cm}$，$BE=7\mathrm{cm}$，
$\therefore CD=BE=7\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+7^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}\mathrm{cm}$
【答案】
$\sqrt{58}\mathrm{cm}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合应用题，将等腰直角三角形和实际图形结合，需要学生自主构造全等三角形转化线段长度，考查了数形结合思想和几何知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
16. 已知一次函数$y=kx+b$的自变量$x$的取值范围是$-1≤ x≤5$，相对应的函数值范围为$-6≤ y≤0$，求此函数的解析式.
16. 已知一次函数$y=kx+b$的自变量$x$的取值范围是$-1≤ x≤5$，相对应的函数值范围为$-6≤ y≤0$，求此函数的解析式.
答案
16.$y=x-5$或$y=-x-1$
解析
【分析】
一次函数的增减性由k的符号决定：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。本题没有明确k的正负，因此需要分两种情况讨论，将x的取值端点和对应的y的取值端点代入函数解析式，通过解二元一次方程组求出k和b的值，即可得到函数解析式。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时，y随x的增大而增大，因此当$x=-1$时，$y=-6$；当$x=5$时，$y=0$。
将两组值代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-k+b=-6 \\5k+b=0 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$6k=6$，解得$k=1$。
把$k=1$代入$-k+b=-6$，得$-1+b=-6$，解得$b=-5$。
此时函数解析式为$y=x-5$。
② 当$k＜0$时，y随x的增大而减小，因此当$x=-1$时，$y=0$；当$x=5$时，$y=-6$。
将两组值代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-k+b=0 \\5k+b=-6 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$6k=-6$，解得$k=-1$。
把$k=-1$代入$-k+b=0$，得$1+b=0$，解得$b=-1$。
此时函数解析式为$y=-x-1$。
【答案】
$y=x-5$或$y=-x-1$
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求解析式；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略k的符号不确定性，未进行分类讨论导致漏解。解题时需结合一次函数的增减性，匹配对应的自变量和函数值的端点，代入求解后要确认结果符合对应情况的增减性要求。
【难度系数】
0.6
一次函数的增减性由k的符号决定：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。本题没有明确k的正负，因此需要分两种情况讨论，将x的取值端点和对应的y的取值端点代入函数解析式，通过解二元一次方程组求出k和b的值，即可得到函数解析式。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时，y随x的增大而增大，因此当$x=-1$时，$y=-6$；当$x=5$时，$y=0$。
将两组值代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-k+b=-6 \\5k+b=0 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$6k=6$，解得$k=1$。
把$k=1$代入$-k+b=-6$，得$-1+b=-6$，解得$b=-5$。
此时函数解析式为$y=x-5$。
② 当$k＜0$时，y随x的增大而减小，因此当$x=-1$时，$y=0$；当$x=5$时，$y=-6$。
将两组值代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-k+b=0 \\5k+b=-6 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$6k=-6$，解得$k=-1$。
把$k=-1$代入$-k+b=0$，得$1+b=0$，解得$b=-1$。
此时函数解析式为$y=-x-1$。
【答案】
$y=x-5$或$y=-x-1$
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求解析式；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略k的符号不确定性，未进行分类讨论导致漏解。解题时需结合一次函数的增减性，匹配对应的自变量和函数值的端点，代入求解后要确认结果符合对应情况的增减性要求。
【难度系数】
0.6
17. 已知一次函数 $y=(2m-1)x+1-m$.
(1)当$m$为何值时，该函数的图象经过$(2，3)$；
(2)当$m$为何值时，该函数的图象平行于直线 $y=-2x$.
(1)当$m$为何值时，该函数的图象经过$(2，3)$；
(2)当$m$为何值时，该函数的图象平行于直线 $y=-2x$.
答案
17.(1) $m=\frac{4}{3}$
(2) $m=-\frac{1}{2}$
(2) $m=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
(1) 函数图象经过某点时，该点的横纵坐标满足函数解析式，因此只需将点$(2,3)$的坐标代入一次函数表达式，得到关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值。
(2) 两条一次函数图象平行的条件是：两个函数的一次项系数（$k$值）相等，且常数项（$b$值）不相等（避免两直线重合），据此列等式求解$m$，再验证常数项不相等即可。
【解析】
(1) 把$x=2$，$y=3$代入$y=(2m-1)x+1-m$，得：
$\begin{aligned}3&=(2m-1)×2 +1 -m\\3&=4m-2+1-m\\3&=3m-1\\3m&=4\\m&=\frac{4}{3}\end{aligned}$
(2) 若函数图象平行于直线$y=-2x$，则一次项系数相等：
$\begin{aligned}2m-1&=-2\\2m&=-1\\m&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$
此时常数项$1-m=1-(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}≠0$，与直线$y=-2x$的常数项不相等，两直线不会重合，符合要求。
【答案】
(1) $m=\frac{4}{3}$；(2) $m=-\frac{1}{2}$
【知识点】
一次函数图象性质；两直线平行条件；一元一次方程解法
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，核心考察一次函数的基础性质，解题关键是牢记函数图象上的点满足解析式、平行直线的系数关系，计算时注意移项的符号问题即可。
【难度系数】
0.8
(1) 函数图象经过某点时，该点的横纵坐标满足函数解析式，因此只需将点$(2,3)$的坐标代入一次函数表达式，得到关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值。
(2) 两条一次函数图象平行的条件是：两个函数的一次项系数（$k$值）相等，且常数项（$b$值）不相等（避免两直线重合），据此列等式求解$m$，再验证常数项不相等即可。
【解析】
(1) 把$x=2$，$y=3$代入$y=(2m-1)x+1-m$，得：
$\begin{aligned}3&=(2m-1)×2 +1 -m\\3&=4m-2+1-m\\3&=3m-1\\3m&=4\\m&=\frac{4}{3}\end{aligned}$
(2) 若函数图象平行于直线$y=-2x$，则一次项系数相等：
$\begin{aligned}2m-1&=-2\\2m&=-1\\m&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$
此时常数项$1-m=1-(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}≠0$，与直线$y=-2x$的常数项不相等，两直线不会重合，符合要求。
【答案】
(1) $m=\frac{4}{3}$；(2) $m=-\frac{1}{2}$
【知识点】
一次函数图象性质；两直线平行条件；一元一次方程解法
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，核心考察一次函数的基础性质，解题关键是牢记函数图象上的点满足解析式、平行直线的系数关系，计算时注意移项的符号问题即可。
【难度系数】
0.8
