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18. 如图，一次函数$y=-x+3$经过点$A(2, m)$，过点A的直线交轴于点$B(0, -2)$。
(1)求$m$的值和直线AB的函数表达式；
(2)若点$P(t, y_1)$在线段AB上，点$Q(t-1, y_2)$在直线$y=-x+3$上，求$y_1 + y_2$的最大值。
(1)求$m$的值和直线AB的函数表达式；
(2)若点$P(t, y_1)$在线段AB上，点$Q(t-1, y_2)$在直线$y=-x+3$上，求$y_1 + y_2$的最大值。
答案
18.(1) $m=1$ $y=\frac{3}{2}x-2$
(2) 3
(2) 3
解析
【分析】
(1) 求m的值时，因为点A在已知一次函数$y=-x+3$上，将点A的横坐标代入该函数即可算出m；求直线AB的函数表达式，已知直线过A、B两点，用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标求解k、b即可。
(2) 先根据点P、Q所在的函数解析式，分别用含t的代数式表示出$y_1$和$y_2$，再得出$y_1+y_2$关于t的函数表达式；结合点P在线段AB上确定t的取值范围，最后根据一次函数的增减性求出$y_1+y_2$的最大值。
【解析】
(1) 将点$A(2, m)$代入$y=-x+3$，得：
$m = -2 + 3 = 1$
∴点A的坐标为$(2, 1)$
设直线AB的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(2,1)$、$B(0,-2)$代入得：
$\begin{cases} b=-2 \\ 2k + b = 1 \end{cases}$
把$b=-2$代入$2k + b = 1$，得$2k - 2 = 1$，解得$k=\frac{3}{2}$
∴直线AB的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x - 2$
(2)
∵点$P(t, y_1)$在线段AB上
∴$y_1=\frac{3}{2}t - 2$，且t的取值范围为$0≤ t≤2$（线段AB上点的横坐标在B点横坐标0和A点横坐标2之间）
∵点$Q(t-1, y_2)$在直线$y=-x+3$上
∴$y_2=-(t-1)+3=-t + 4$
则$y_1 + y_2 = (\frac{3}{2}t - 2) + (-t + 4) = \frac{1}{2}t + 2$
∵$\frac{1}{2}＞0$，
∴$y_1+y_2$随t的增大而增大
∴当t取最大值2时，$y_1+y_2$取得最大值，最大值为$\frac{1}{2}×2 + 2 = 3$
【答案】
(1) $m=1$，直线AB的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x - 2$；
(2) $3$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数最值求解
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，第一问考查待定系数法的常规应用，属于基础得分点；第二问需要结合线段范围确定自变量的取值区间，再根据一次函数增减性求最值，整体难度不高，熟练掌握一次函数的相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 求m的值时，因为点A在已知一次函数$y=-x+3$上，将点A的横坐标代入该函数即可算出m；求直线AB的函数表达式，已知直线过A、B两点，用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标求解k、b即可。
(2) 先根据点P、Q所在的函数解析式，分别用含t的代数式表示出$y_1$和$y_2$，再得出$y_1+y_2$关于t的函数表达式；结合点P在线段AB上确定t的取值范围，最后根据一次函数的增减性求出$y_1+y_2$的最大值。
【解析】
(1) 将点$A(2, m)$代入$y=-x+3$，得：
$m = -2 + 3 = 1$
∴点A的坐标为$(2, 1)$
设直线AB的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(2,1)$、$B(0,-2)$代入得：
$\begin{cases} b=-2 \\ 2k + b = 1 \end{cases}$
把$b=-2$代入$2k + b = 1$，得$2k - 2 = 1$，解得$k=\frac{3}{2}$
∴直线AB的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x - 2$
(2)
∵点$P(t, y_1)$在线段AB上
∴$y_1=\frac{3}{2}t - 2$，且t的取值范围为$0≤ t≤2$（线段AB上点的横坐标在B点横坐标0和A点横坐标2之间）
∵点$Q(t-1, y_2)$在直线$y=-x+3$上
∴$y_2=-(t-1)+3=-t + 4$
则$y_1 + y_2 = (\frac{3}{2}t - 2) + (-t + 4) = \frac{1}{2}t + 2$
∵$\frac{1}{2}＞0$，
∴$y_1+y_2$随t的增大而增大
∴当t取最大值2时，$y_1+y_2$取得最大值，最大值为$\frac{1}{2}×2 + 2 = 3$
【答案】
(1) $m=1$，直线AB的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x - 2$；
(2) $3$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数最值求解
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，第一问考查待定系数法的常规应用，属于基础得分点；第二问需要结合线段范围确定自变量的取值区间，再根据一次函数增减性求最值，整体难度不高，熟练掌握一次函数的相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
19. 为了解校田径比赛后运动员脉搏的分布情况，随机抽取若干名运动员测量了赛后1分钟的脉搏次数.将所得数据整理后，绘制出如下不完整的统计图表(直方图每组不含前一个边界值，含后一个边界值)如下，请根据图表信息，解答以下问题：
(1)一共抽取了
(2)补全频数分布直方图.
(3)已知运动后，脉搏1分钟跳动超过150次就算过快，为了帮助运动员缓解脉搏的快速跳动，学校准备为脉搏跳动过快的运动员每人提供1瓶电解质饮料.若共有500人参赛，请估计学校需要准备多少瓶电解质饮料？
(1)一共抽取了
100
名学生，频数分布表中，a为28%
，b为17
，c为14%
.(2)补全频数分布直方图.
(3)已知运动后，脉搏1分钟跳动超过150次就算过快，为了帮助运动员缓解脉搏的快速跳动，学校准备为脉搏跳动过快的运动员每人提供1瓶电解质饮料.若共有500人参赛，请估计学校需要准备多少瓶电解质饮料？
答案
19.(1) 100 28% 17 14%
(2) 如图所示：
(3) 50瓶
解析
【分析】
解题思路：首先明确频数分布直方图中每个长方形的高度对应该组的频数，①求总抽取人数只需将所有组的频数相加即可；②频率=频数÷总人数，据此可计算各组的频率a和c，b可直接从直方图读取对应组的频数；③补全直方图只需按对应组的频数确定长方形高度即可；④估计总体中脉搏过快的人数，先计算样本中脉搏过快的频率，再用总参赛人数乘该频率即可得到估计值。
【解析】
(1) 计算抽取的总人数：将各组频数相加，$28+17+31+14+10=100$（名）；
$a$是脉搏次数在$130≤ x＜135$组的频率，$a=\frac{28}{100}×100\%=28\%$；
$b$是脉搏次数在$135≤ x＜140$组的频数，从直方图读取得$b=17$；
$c$是脉搏次数在$145≤ x＜150$组的频率，$c=\frac{14}{100}×100\%=14\%$。
(2) 根据各组频数补全频数分布直方图即可。
(3) 样本中脉搏1分钟超过150次的频率为$\frac{10}{100}=0.1$，
估计500名参赛选手中脉搏过快的人数为：$500×0.1=50$（瓶）。
【答案】
(1) 100 28% 17 14%
(2) 如图所示：
(3) 50瓶
【知识点】
频数分布直方图；频数与频率；用样本估计总体
【点评】
本题围绕频数分布直方图设置问题，核心考查统计的基础概念和应用思想，需要熟练掌握频数、频率、总数三者的换算关系，理解用样本特征估计总体特征的统计逻辑，属于统计模块的基础常规题型。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确频数分布直方图中每个长方形的高度对应该组的频数，①求总抽取人数只需将所有组的频数相加即可；②频率=频数÷总人数，据此可计算各组的频率a和c，b可直接从直方图读取对应组的频数；③补全直方图只需按对应组的频数确定长方形高度即可；④估计总体中脉搏过快的人数，先计算样本中脉搏过快的频率，再用总参赛人数乘该频率即可得到估计值。
【解析】
(1) 计算抽取的总人数：将各组频数相加，$28+17+31+14+10=100$（名）；
$a$是脉搏次数在$130≤ x＜135$组的频率，$a=\frac{28}{100}×100\%=28\%$；
$b$是脉搏次数在$135≤ x＜140$组的频数，从直方图读取得$b=17$；
$c$是脉搏次数在$145≤ x＜150$组的频率，$c=\frac{14}{100}×100\%=14\%$。
(2) 根据各组频数补全频数分布直方图即可。
(3) 样本中脉搏1分钟超过150次的频率为$\frac{10}{100}=0.1$，
估计500名参赛选手中脉搏过快的人数为：$500×0.1=50$（瓶）。
【答案】
(1) 100 28% 17 14%
(2) 如图所示：
(3) 50瓶
【知识点】
频数分布直方图；频数与频率；用样本估计总体
【点评】
本题围绕频数分布直方图设置问题，核心考查统计的基础概念和应用思想，需要熟练掌握频数、频率、总数三者的换算关系，理解用样本特征估计总体特征的统计逻辑，属于统计模块的基础常规题型。
【难度系数】
0.7
