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疑难点拨
某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株? 设每盆多植x株,则一株的盈利为
点拨 根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键.
某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株? 设每盆多植x株,则一株的盈利为
(4-0.5x)
元,可列出的方程是(4-0.5x)(3+x)=15
.点拨 根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键.
答案
$(4-0.5x)$ $(4-0.5x)(3+x)=15$
解析
【分析】首先梳理题目中的数量变化关系：设每盆多植x株，那么每盆的总株数为原有的3株加上多植的x株，即(3+x)株；原平均每株盈利4元，每增加1株，平均每株盈利减少0.5元，因此多植x株时，平均每株盈利减少0.5x元，由此可得出单株盈利的表达式，再根据“每盆总盈利=每盆株数×平均单株盈利”的等量关系，结合目标总盈利15元，即可列出方程。
【解析】设每盆多植x株：
1. 计算单株盈利：每增加1株，单株盈利减少0.5元，多植x株则单株盈利减少0.5x元，因此一株的盈利为(4 - 0.5x)元；
2. 计算每盆总株数：原每盆3株，多植x株后，总株数为(3 + x)株；
3. 列方程：根据总盈利=株数×单株盈利，目标总盈利为15元，因此方程为(4 - 0.5x)(3 + x) = 15。
【答案】(4-0.5x)；(4-0.5x)(3+x)=15
【知识点】一元二次方程的应用；列代数式
【点评】本题是一元二次方程应用的基础题型，核心是理清单株盈利、总株数随多植株数的变化规律，利用总盈利的等量关系列方程，注重基础数量关系的理解与应用。
【难度系数】0.6
【解析】设每盆多植x株：
1. 计算单株盈利：每增加1株，单株盈利减少0.5元，多植x株则单株盈利减少0.5x元，因此一株的盈利为(4 - 0.5x)元；
2. 计算每盆总株数：原每盆3株，多植x株后，总株数为(3 + x)株；
3. 列方程：根据总盈利=株数×单株盈利，目标总盈利为15元，因此方程为(4 - 0.5x)(3 + x) = 15。
【答案】(4-0.5x)；(4-0.5x)(3+x)=15
【知识点】一元二次方程的应用；列代数式
【点评】本题是一元二次方程应用的基础题型，核心是理清单株盈利、总株数随多植株数的变化规律，利用总盈利的等量关系列方程，注重基础数量关系的理解与应用。
【难度系数】0.6
1. 某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:这种台灯的单价每上涨1元,其销售量将减少10个.若实现平均每月10 000元的销售利润,设涨价x元,则可列方程为
(40-30+x)(600-10x)=10000
.答案
1. $(40-30+x)(600-10x)=10000$
解析
【分析】
首先明确销售利润的核心公式：总利润 =（单件售价 - 单件进价）× 销售数量。题目设台灯涨价x元，需先确定涨价后的单件利润和销售量：涨价后单件售价为(40+x)元，单件进价30元，故单件利润为(40+x-30)元；原本月销600个，单价每涨1元销量减10个，涨价x元则销量减少10x个，因此销售量为(600-10x)个；要求总利润10000元，将单件利润和销售量代入公式即可列方程。
【解析】
根据销售利润公式：总利润=单件利润×销售量，设涨价x元：
1. 单件利润：(40 + x - 30)元；
2. 销售量：(600 - 10x)个；
3. 已知总利润为10000元，代入得方程：(40 - 30 + x)(600 - 10x) = 10000。
【答案】
$(40-30+x)(600-10x)=10000$
【知识点】
销售利润问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题是一元二次方程应用中的典型销售利润题，解题关键是理清涨价后单件利润和销售量的变化关系，属于基础建模题型，能帮助学生巩固方程在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.6
首先明确销售利润的核心公式：总利润 =（单件售价 - 单件进价）× 销售数量。题目设台灯涨价x元，需先确定涨价后的单件利润和销售量：涨价后单件售价为(40+x)元，单件进价30元，故单件利润为(40+x-30)元；原本月销600个，单价每涨1元销量减10个，涨价x元则销量减少10x个，因此销售量为(600-10x)个；要求总利润10000元，将单件利润和销售量代入公式即可列方程。
【解析】
根据销售利润公式：总利润=单件利润×销售量，设涨价x元：
1. 单件利润：(40 + x - 30)元；
2. 销售量：(600 - 10x)个；
3. 已知总利润为10000元，代入得方程：(40 - 30 + x)(600 - 10x) = 10000。
【答案】
$(40-30+x)(600-10x)=10000$
【知识点】
销售利润问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题是一元二次方程应用中的典型销售利润题，解题关键是理清涨价后单件利润和销售量的变化关系，属于基础建模题型，能帮助学生巩固方程在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.6
2. 某商店的一种服装每件成本为50元,经市场调研,售价为60元时,可销售800件;售价每提高1元,销售量将减少20件.设这种服装每件售价提高x元.
(1) 用含x的代数式表示提价后这批服装的销售量为
(2) 若要使商店销售这批服装获利12 000元,每件服装售价应定为多少元?
(1) 用含x的代数式表示提价后这批服装的销售量为
(800-20x)
件;(2) 若要使商店销售这批服装获利12 000元,每件服装售价应定为多少元?
答案
2. (1) $(800-20x)$
(2) 70元或80元.
(2) 70元或80元.
解析
【分析】
首先解决第(1)问：根据题意，售价每提高1元，销售量减少20件，售价提高x元时，减少的销售量为20x件，用原销售量减去减少的量，即可得到提价后的销售量。第(2)问是利润问题，总利润=单件利润×销售量，先表示出单件利润（售价-成本）和销售量，再根据总利润12000元列出一元二次方程，解方程后得到x的值，进而算出售价。
【解析】
(1) 已知原售价60元时销售量为800件，售价每提高1元，销售量减少20件，当售价提高x元时，销售量减少20x件，因此提价后这批服装的销售量为：800 - 20x 件。
(2) 设每件服装售价提高x元，则提价后每件服装的售价为(60 + x)元，单件利润为(60 + x - 50) = (10 + x)元，销售量为(800 - 20x)件。根据总利润=单件利润×销售量，可列方程：
(10 + x)(800 - 20x) = 12000
展开并整理方程：
8000 - 200x + 800x - 20x² = 12000
-20x² + 600x + 8000 = 12000
移项得：-20x² + 600x - 4000 = 0
两边同时除以-20，化简为：x² - 30x + 200 = 0
因式分解得：(x - 10)(x - 20) = 0
解得：x₁ = 10，x₂ = 20
当x=10时，售价为60 + 10 = 70元；当x=20时，售价为60 + 20 = 80元。
因此每件服装售价应定为70元或80元。
【答案】
(1) 800 - 20x；(2) 70元或80元
【知识点】
列代数式、一元二次方程的应用
【点评】
本题是销售利润类实际应用问题，核心是掌握总利润的计算公式，需根据题意准确列代数式和方程，解方程时用因式分解法简化计算，属于常规题型，难度适中，理清变量关系即可解决。
【难度系数】
0.6
首先解决第(1)问：根据题意，售价每提高1元，销售量减少20件，售价提高x元时，减少的销售量为20x件，用原销售量减去减少的量，即可得到提价后的销售量。第(2)问是利润问题，总利润=单件利润×销售量，先表示出单件利润（售价-成本）和销售量，再根据总利润12000元列出一元二次方程，解方程后得到x的值，进而算出售价。
【解析】
(1) 已知原售价60元时销售量为800件，售价每提高1元，销售量减少20件，当售价提高x元时，销售量减少20x件，因此提价后这批服装的销售量为：800 - 20x 件。
(2) 设每件服装售价提高x元，则提价后每件服装的售价为(60 + x)元，单件利润为(60 + x - 50) = (10 + x)元，销售量为(800 - 20x)件。根据总利润=单件利润×销售量，可列方程：
(10 + x)(800 - 20x) = 12000
展开并整理方程：
8000 - 200x + 800x - 20x² = 12000
-20x² + 600x + 8000 = 12000
移项得：-20x² + 600x - 4000 = 0
两边同时除以-20，化简为：x² - 30x + 200 = 0
因式分解得：(x - 10)(x - 20) = 0
解得：x₁ = 10，x₂ = 20
当x=10时，售价为60 + 10 = 70元；当x=20时，售价为60 + 20 = 80元。
因此每件服装售价应定为70元或80元。
【答案】
(1) 800 - 20x；(2) 70元或80元
【知识点】
列代数式、一元二次方程的应用
【点评】
本题是销售利润类实际应用问题，核心是掌握总利润的计算公式，需根据题意准确列代数式和方程，解方程时用因式分解法简化计算，属于常规题型，难度适中，理清变量关系即可解决。
【难度系数】
0.6
3. 某店铺销售吉祥物玩偶,根据市场调查:这种玩偶的销售单价定为60元时,每天可售出100个;若销售单价每提高10元,每天就少售出20个.已知每个玩偶的固定成本为50元,既要考虑店铺的利润,保证店铺每天可获利1 600元,又要让利于消费者,则这种玩偶的销售单价应定为
70
元.答案
3. 70
解析
【分析】
首先明确利润问题的核心公式：利润=（销售单价-单位成本）×销售量。本题需先根据单价变化确定销售量，再结合总利润列方程，最后根据“让利于消费者”的条件筛选合适的解。步骤1：设销售单价为$x$元，计算单价相对于60元的提高量；步骤2：根据“每提高10元少售20个”，表示出减少的销售量，进而得到实际每天的销售量；步骤3：代入利润公式列方程；步骤4：解方程后，根据“让利于消费者”选择较小的单价。
【解析】
设这种玩偶的销售单价应定为$x$元。
1. 每个玩偶的利润为：$(x - 50)$元；
2. 销售单价从60元提高到$x$元，提高了$(x - 60)$元，每提高10元少售20个，因此减少的销售量为$\frac{x - 60}{10} × 20 = 2(x - 60)$个，实际每天的销售量为：$100 - 2(x - 60) = 220 - 2x$个；
3. 根据总利润为1600元，列方程：
$(x - 50)(220 - 2x) = 1600$
展开整理得：$x^2 - 160x + 6300 = 0$
因式分解得：$(x - 70)(x - 90) = 0$
解得：$x_1 = 70$，$x_2 = 90$；
4. 因要让利于消费者，选择较低单价，故$x = 70$。
【答案】
70
【知识点】
一元二次方程的应用（利润问题）
【点评】
本题是一元二次方程在利润问题中的典型应用，关键在于准确表示销售量与单价的关系，解方程后需结合题意对解合理取舍，避免出错。
【难度系数】
0.6
首先明确利润问题的核心公式：利润=（销售单价-单位成本）×销售量。本题需先根据单价变化确定销售量，再结合总利润列方程，最后根据“让利于消费者”的条件筛选合适的解。步骤1：设销售单价为$x$元，计算单价相对于60元的提高量；步骤2：根据“每提高10元少售20个”，表示出减少的销售量，进而得到实际每天的销售量；步骤3：代入利润公式列方程；步骤4：解方程后，根据“让利于消费者”选择较小的单价。
【解析】
设这种玩偶的销售单价应定为$x$元。
1. 每个玩偶的利润为：$(x - 50)$元；
2. 销售单价从60元提高到$x$元，提高了$(x - 60)$元，每提高10元少售20个，因此减少的销售量为$\frac{x - 60}{10} × 20 = 2(x - 60)$个，实际每天的销售量为：$100 - 2(x - 60) = 220 - 2x$个；
3. 根据总利润为1600元，列方程：
$(x - 50)(220 - 2x) = 1600$
展开整理得：$x^2 - 160x + 6300 = 0$
因式分解得：$(x - 70)(x - 90) = 0$
解得：$x_1 = 70$，$x_2 = 90$；
4. 因要让利于消费者，选择较低单价，故$x = 70$。
【答案】
70
【知识点】
一元二次方程的应用（利润问题）
【点评】
本题是一元二次方程在利润问题中的典型应用，关键在于准确表示销售量与单价的关系，解方程后需结合题意对解合理取舍，避免出错。
【难度系数】
0.6
4. 随着江苏省足球超级联赛的成功举办,代表江苏十三市的各种吉祥物的形象也深入人心.图中折线(AB//CD//x轴)反映了某商场在“苏超”期间销售“苏嘟嘟”玩偶的单价y(元)与销售数量x(个)之间的函数关系.
(1) 求y与x之间的函数表达式;
(2) 已知某旅游团购买“苏嘟嘟”玩偶的总金额为2 625元,则该旅游团共购买“苏嘟嘟”玩偶多少个?
(1) 求y与x之间的函数表达式;
(2) 已知某旅游团购买“苏嘟嘟”玩偶的总金额为2 625元,则该旅游团共购买“苏嘟嘟”玩偶多少个?
答案
4. (1) $y=\begin{cases} 200(0＜ x＜10),\\ -5x+250(10≤ x≤ 20),\\ 150(x＞20). \end{cases}$
(2) 该旅游团共购买冰墩墩玩偶15个.
(2) 该旅游团共购买冰墩墩玩偶15个.
解析
【分析】
要解决本题，需先根据图像的分段特征，分区间确定单价y与销售数量x的函数关系；再根据总金额判断购买数量所在的区间，代入对应函数求解。观察图像可知，函数分为三段：0＜x＜10时单价固定，10≤x≤20时单价随x线性变化，x＞20时单价固定；第二问需先计算各区间的最大/最小总金额，确定2625元对应的区间，再代入对应函数列方程求解，最后舍去不符合范围的解。
【解析】
(1) 分三段求函数表达式：
① 当0＜x＜10时，由图像可知单价固定为200元，故y=200；
② 当10≤x≤20时，设函数表达式为y=kx+b，将点B(10,200)、C(20,150)代入得：
$\begin{cases}10k + b = 200 \\20k + b =150 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-5 \\b=250 \end{cases}$，故y=-5x+250；
③ 当x＞20时，由图像可知单价固定为150元，故y=150；
综上，$y=\begin{cases} 200(0＜ x＜10),\\ -5x+250(10≤ x≤ 20),\\ 150(x＞20). \end{cases}$
(2) 判断购买数量x的区间：
若0＜x＜10，总金额最大为200×9=1800元＜2625元；
若x＞20，总金额最小为150×21=3150元＞2625元；
因此购买数量在10≤x≤20区间，代入y=-5x+250，总金额为$x·y=2625$，即：
$x(-5x+250)=2625$
整理得：$x^2 -50x +525=0$
解得$x_1=15$，$x_2=35$（35＞20，不符合区间，舍去）
故该旅游团共购买玩偶15个。
【答案】
(1) $y=\begin{cases} 200(0＜ x＜10),\\ -5x+250(10≤ x≤ 20),\\ 150(x＞20). \end{cases}$；(2) 15个
【知识点】
分段函数、一次函数应用、一元二次方程应用
【点评】
本题是分段函数的实际应用问题，需结合图像分区间确定函数关系，再根据总金额判断取值区间，解方程时要注意解的合理性，舍去不符合范围的解，考查学生的分段讨论能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先根据图像的分段特征，分区间确定单价y与销售数量x的函数关系；再根据总金额判断购买数量所在的区间，代入对应函数求解。观察图像可知，函数分为三段：0＜x＜10时单价固定，10≤x≤20时单价随x线性变化，x＞20时单价固定；第二问需先计算各区间的最大/最小总金额，确定2625元对应的区间，再代入对应函数列方程求解，最后舍去不符合范围的解。
【解析】
(1) 分三段求函数表达式：
① 当0＜x＜10时，由图像可知单价固定为200元，故y=200；
② 当10≤x≤20时，设函数表达式为y=kx+b，将点B(10,200)、C(20,150)代入得：
$\begin{cases}10k + b = 200 \\20k + b =150 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-5 \\b=250 \end{cases}$，故y=-5x+250；
③ 当x＞20时，由图像可知单价固定为150元，故y=150；
综上，$y=\begin{cases} 200(0＜ x＜10),\\ -5x+250(10≤ x≤ 20),\\ 150(x＞20). \end{cases}$
(2) 判断购买数量x的区间：
若0＜x＜10，总金额最大为200×9=1800元＜2625元；
若x＞20，总金额最小为150×21=3150元＞2625元；
因此购买数量在10≤x≤20区间，代入y=-5x+250，总金额为$x·y=2625$，即：
$x(-5x+250)=2625$
整理得：$x^2 -50x +525=0$
解得$x_1=15$，$x_2=35$（35＞20，不符合区间，舍去）
故该旅游团共购买玩偶15个。
【答案】
(1) $y=\begin{cases} 200(0＜ x＜10),\\ -5x+250(10≤ x≤ 20),\\ 150(x＞20). \end{cases}$；(2) 15个
【知识点】
分段函数、一次函数应用、一元二次方程应用
【点评】
本题是分段函数的实际应用问题，需结合图像分区间确定函数关系，再根据总金额判断取值区间，解方程时要注意解的合理性，舍去不符合范围的解，考查学生的分段讨论能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.6
