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8. 如图,某单位准备在院内一块长30 m、宽20 m的矩形花园中修宽度相等的两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的部分种植花草.要使种植花草的面积为532 $\mathrm{m^2}$,设小道的宽度为x m,则可列方程为
$(30-2x)(20-x)=532$
.答案
8. $(30-2x)(20-x)=532$
解析
【分析】
本题可通过平移法将分散的种植花草区域拼接为规则矩形，再结合矩形面积公式列方程。观察图形可知，两条纵向小道总宽度为2x，横向小道宽度为x，将种植区域平移后，新矩形的长为原长减去2x，宽为原宽减去x，其面积等于种植花草的面积，据此建立方程。
【解析】
把所有种植花草的区域向中间平移，可拼接成一个完整的矩形：
原矩形花园长为30m，两条纵向小道各宽x m，因此拼接后矩形的长为$(30 - 2x)\ \mathrm{m}$；
原矩形花园宽为20m，横向小道宽x m，因此拼接后矩形的宽为$(20 - x)\ \mathrm{m}$；
已知种植花草的面积为$532\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积=长×宽，可列方程：$(30 - 2x)(20 - x) = 532$。
【答案】
$(30-2x)(20-x)=532$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题利用平移转化思想，将不规则的种植区域转化为规则矩形，简化了面积计算，是解决此类小道面积问题的典型方法，需掌握平移法的应用。
【难度系数】
0.5
本题可通过平移法将分散的种植花草区域拼接为规则矩形，再结合矩形面积公式列方程。观察图形可知，两条纵向小道总宽度为2x，横向小道宽度为x，将种植区域平移后，新矩形的长为原长减去2x，宽为原宽减去x，其面积等于种植花草的面积，据此建立方程。
【解析】
把所有种植花草的区域向中间平移，可拼接成一个完整的矩形：
原矩形花园长为30m，两条纵向小道各宽x m，因此拼接后矩形的长为$(30 - 2x)\ \mathrm{m}$；
原矩形花园宽为20m，横向小道宽x m，因此拼接后矩形的宽为$(20 - x)\ \mathrm{m}$；
已知种植花草的面积为$532\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积=长×宽，可列方程：$(30 - 2x)(20 - x) = 532$。
【答案】
$(30-2x)(20-x)=532$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题利用平移转化思想，将不规则的种植区域转化为规则矩形，简化了面积计算，是解决此类小道面积问题的典型方法，需掌握平移法的应用。
【难度系数】
0.5
9. [新情境·科技民生]某公司今年1月的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月的生产成本是361万元.假设该公司1~4月生产成本的月下降率都相同.
(1) 求生产成本的月下降率;
(2) 该公司今年4月的生产成本为
(1) 求生产成本的月下降率;
(2) 该公司今年4月的生产成本为
342.95
万元.答案
9. (1) $5\%$ (2) 342.95
解析
【分析】
本题是关于成本下降率的一元二次方程应用题，解题思路如下：
1. 设月下降率为未知数，根据“1月成本→2月成本→3月成本”的变化关系，列出一元二次方程；
2. 解方程时，结合下降率的实际意义（0＜下降率＜1），舍去不合理的根，得到月下降率；
3. 利用求出的下降率，计算4月的生产成本（3月成本×(1-下降率)）。
【解析】
(1) 设该公司生产成本的月下降率为$ x $，
根据题意，1月生产成本为400万元，2月生产成本为$ 400(1-x) $万元，3月生产成本为$ 400(1-x)^2 $万元，可列方程：
$400(1-x)^2 = 361$
两边同时除以400得：$(1-x)^2 = \frac{361}{400}$
开平方得：$1-x = \pm \frac{19}{20}$
因为下降率$ x $满足$ 0 ＜ x ＜ 1 $，所以$1-x = \frac{19}{20}$，
解得：$x = 1 - \frac{19}{20} = 0.05 = 5\%$。
(2) 4月生产成本为3月生产成本×(1-下降率)，即：
$361×(1 - 5\%) = 361×0.95 = 342.95$（万元）。
【答案】
(1) $5\%$；(2) $342.95$
【知识点】
一元二次方程的应用，百分比应用题
【点评】
本题是典型的下降率问题，核心是利用“变化后的量=变化前的量×(1±增长率/下降率)^n”的公式列方程，属于基础应用题，只要掌握一元二次方程的解法和下降率的实际意义即可正确解答。
【难度系数】
0.7
本题是关于成本下降率的一元二次方程应用题，解题思路如下：
1. 设月下降率为未知数，根据“1月成本→2月成本→3月成本”的变化关系，列出一元二次方程；
2. 解方程时，结合下降率的实际意义（0＜下降率＜1），舍去不合理的根，得到月下降率；
3. 利用求出的下降率，计算4月的生产成本（3月成本×(1-下降率)）。
【解析】
(1) 设该公司生产成本的月下降率为$ x $，
根据题意，1月生产成本为400万元，2月生产成本为$ 400(1-x) $万元，3月生产成本为$ 400(1-x)^2 $万元，可列方程：
$400(1-x)^2 = 361$
两边同时除以400得：$(1-x)^2 = \frac{361}{400}$
开平方得：$1-x = \pm \frac{19}{20}$
因为下降率$ x $满足$ 0 ＜ x ＜ 1 $，所以$1-x = \frac{19}{20}$，
解得：$x = 1 - \frac{19}{20} = 0.05 = 5\%$。
(2) 4月生产成本为3月生产成本×(1-下降率)，即：
$361×(1 - 5\%) = 361×0.95 = 342.95$（万元）。
【答案】
(1) $5\%$；(2) $342.95$
【知识点】
一元二次方程的应用，百分比应用题
【点评】
本题是典型的下降率问题，核心是利用“变化后的量=变化前的量×(1±增长率/下降率)^n”的公式列方程，属于基础应用题，只要掌握一元二次方程的解法和下降率的实际意义即可正确解答。
【难度系数】
0.7
10. 用一段长32 m的篱笆和长8 m的墙AB围成一个矩形花园,设平行于墙的一边DE的长为x m.
(1) 如图1,若矩形花园的一边靠墙AB,另外三边由篱笆围成,当花园的面积为78 $\mathrm{m^2}$时,求x的值;
(2) 如图2,若矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成,另外三边由篱笆围成,则花园的面积能否为110 $\mathrm{m^2}$? 若能,求出BF的长;若不能,请说明理由.
(1) 如图1,若矩形花园的一边靠墙AB,另外三边由篱笆围成,当花园的面积为78 $\mathrm{m^2}$时,求x的值;
(2) 如图2,若矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成,另外三边由篱笆围成,则花园的面积能否为110 $\mathrm{m^2}$? 若能,求出BF的长;若不能,请说明理由.
答案
10. (1) $x$的值为6.
(2) 花园的面积不能为$110\ \mathrm{m}^{2}$,理由略.
(2) 花园的面积不能为$110\ \mathrm{m}^{2}$,理由略.
解析
【分析】
本题分两小问，需结合矩形面积公式与篱笆长度建立方程求解，同时要注意墙的长度限制，舍去不符合实际意义的解。
(1) 图1中，平行于墙的边为DE=x m，垂直于墙的边有2条，篱笆总长32m，因此垂直边长度为$\frac{32-x}{2}$ m，花园面积为平行边乘垂直边，结合面积78 m²列方程，再根据墙AB长8m，舍去超过墙长的解。
(2) 图2中，平行于墙的边仍为DE=x m，垂直边长度为$\frac{32-x}{2}$ m，若面积为110 m²，列方程求解后，验证解是否满足平行边不超过墙长8m，若均不满足则面积无法达到。
【解析】
(1) 设平行于墙的边$DE=x\ \mathrm{m}$，则垂直于墙的边长度为$\frac{32-x}{2}\ \mathrm{m}$，根据矩形面积公式：
$x · \frac{32-x}{2} = 78$
整理得：$x^2 - 32x + 156 = 0$，
解得：$x_1=6$，$x_2=26$。
因为墙AB长8m，平行于墙的边不能超过墙的长度，故$x ≤ 8$，舍去$x=26$，因此$x=6$。
(2) 设平行于墙的边$DE=x\ \mathrm{m}$，同理垂直边长度为$\frac{32-x}{2}\ \mathrm{m}$，若花园面积为110 m²，根据面积公式：
$x · \frac{32-x}{2} = 110$
整理得：$x^2 - 32x + 220 = 0$，
判别式$\Delta = (-32)^2 - 4 × 1 × 220 = 144$，
解得：$x_1=22$，$x_2=10$。
因为墙AB长8m，平行于墙的边需满足$x ≤ 8$，而$x_1=22$、$x_2=10$均大于8，无符合条件的解，因此花园面积不能为110 $\mathrm{m^2}$。
【答案】
(1) $x$的值为6；(2) 花园的面积不能为110 $\mathrm{m^2}$。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，核心是根据图形结构确定边长关系，需结合墙的长度限制舍去不符合题意的解，避免错误。
【难度系数】
0.3
本题分两小问，需结合矩形面积公式与篱笆长度建立方程求解，同时要注意墙的长度限制，舍去不符合实际意义的解。
(1) 图1中，平行于墙的边为DE=x m，垂直于墙的边有2条，篱笆总长32m，因此垂直边长度为$\frac{32-x}{2}$ m，花园面积为平行边乘垂直边，结合面积78 m²列方程，再根据墙AB长8m，舍去超过墙长的解。
(2) 图2中，平行于墙的边仍为DE=x m，垂直边长度为$\frac{32-x}{2}$ m，若面积为110 m²，列方程求解后，验证解是否满足平行边不超过墙长8m，若均不满足则面积无法达到。
【解析】
(1) 设平行于墙的边$DE=x\ \mathrm{m}$，则垂直于墙的边长度为$\frac{32-x}{2}\ \mathrm{m}$，根据矩形面积公式：
$x · \frac{32-x}{2} = 78$
整理得：$x^2 - 32x + 156 = 0$，
解得：$x_1=6$，$x_2=26$。
因为墙AB长8m，平行于墙的边不能超过墙的长度，故$x ≤ 8$，舍去$x=26$，因此$x=6$。
(2) 设平行于墙的边$DE=x\ \mathrm{m}$，同理垂直边长度为$\frac{32-x}{2}\ \mathrm{m}$，若花园面积为110 m²，根据面积公式：
$x · \frac{32-x}{2} = 110$
整理得：$x^2 - 32x + 220 = 0$，
判别式$\Delta = (-32)^2 - 4 × 1 × 220 = 144$，
解得：$x_1=22$，$x_2=10$。
因为墙AB长8m，平行于墙的边需满足$x ≤ 8$，而$x_1=22$、$x_2=10$均大于8，无符合条件的解，因此花园面积不能为110 $\mathrm{m^2}$。
【答案】
(1) $x$的值为6；(2) 花园的面积不能为110 $\mathrm{m^2}$。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，核心是根据图形结构确定边长关系，需结合墙的长度限制舍去不符合题意的解，避免错误。
【难度系数】
0.3
11. 阅读下面材料,并解决相关问题:
如图所示是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……第n行有n个点……
容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10.
(1) 探索:三角点阵中前8行的点数之和为
(2) 体验:三角点阵中前n行的点数之和
(3) 运用:某广场要摆放若干种造型的盆景,其中一种造型要用420盆同样规格的花,按照第一排2盆,第二排4盆,第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成,则一共能摆放多少排?
如图所示是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……第n行有n个点……
容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10.
(1) 探索:三角点阵中前8行的点数之和为
36
,前15行的点数之和为120
,那么前n行的点数之和为$\frac{1}{2}n(n+1)$
.(2) 体验:三角点阵中前n行的点数之和
不能
填“能”或“不能”为500.(3) 运用:某广场要摆放若干种造型的盆景,其中一种造型要用420盆同样规格的花,按照第一排2盆,第二排4盆,第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成,则一共能摆放多少排?
答案
11. (1) 36 120 $\frac{1}{2}n(n+1)$
(2) 不能
(3) 一共能摆放20排.
(2) 不能
(3) 一共能摆放20排.
解析
【分析】
本题是关于三角点阵点数和的规律探究与应用问题，解题思路如下：首先观察三角点阵的规律，第n行有n个点，前n行的点数和是从1开始的连续n个正整数的和，属于等差数列求和问题；对于不同小问，分别利用等差数列求和公式计算、转化为一元二次方程判断解的合理性、结合规律列方程求解。
【解析】
(1) 三角点阵中，第n行有n个点，前n行的点数和为 $1+2+3+\dots+n$，根据等差数列求和公式：和 = $\frac{1}{2}×(首项+末项)×项数$，可得前n行点数和为 $\frac{1}{2}n(n+1)$。
当n=8时，前8行点数和为 $\frac{1}{2}×8×9=36$；
当n=15时，前15行点数和为 $\frac{1}{2}×15×16=120$。
(2) 假设前n行点数和为500，则 $\frac{1}{2}n(n+1)=500$，整理得 $n^2+n-1000=0$，计算判别式 $\Delta=1^2+4×1000=4001$，由于 $\sqrt{4001}$ 不是整数，方程无正整数解，故前n行点数和不能为500。
(3) 由题意，第n排有2n盆花，前n排花的总数为 $2+4+\dots+2n=2×(1+2+\dots+n)=2×\frac{1}{2}n(n+1)=n(n+1)$。令总数为420，则 $n(n+1)=420$，整理得 $n^2+n-420=0$，解得 $n=\frac{-1\pm\sqrt{1+1680}}{2}=\frac{-1\pm41}{2}$，取正根 $n=20$，故一共能摆放20排。
【答案】
(1) 36；120；$\frac{1}{2}n(n+1)$
(2) 不能
(3) 20排
【知识点】
等差数列求和；一元二次方程应用；规律探究
【点评】
本题通过三角点阵的规律，将数列求和与一元二次方程结合，考察学生的归纳能力和方程思想，是基础的规律应用题型，解题思路清晰，计算难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是关于三角点阵点数和的规律探究与应用问题，解题思路如下：首先观察三角点阵的规律，第n行有n个点，前n行的点数和是从1开始的连续n个正整数的和，属于等差数列求和问题；对于不同小问，分别利用等差数列求和公式计算、转化为一元二次方程判断解的合理性、结合规律列方程求解。
【解析】
(1) 三角点阵中，第n行有n个点，前n行的点数和为 $1+2+3+\dots+n$，根据等差数列求和公式：和 = $\frac{1}{2}×(首项+末项)×项数$，可得前n行点数和为 $\frac{1}{2}n(n+1)$。
当n=8时，前8行点数和为 $\frac{1}{2}×8×9=36$；
当n=15时，前15行点数和为 $\frac{1}{2}×15×16=120$。
(2) 假设前n行点数和为500，则 $\frac{1}{2}n(n+1)=500$，整理得 $n^2+n-1000=0$，计算判别式 $\Delta=1^2+4×1000=4001$，由于 $\sqrt{4001}$ 不是整数，方程无正整数解，故前n行点数和不能为500。
(3) 由题意，第n排有2n盆花，前n排花的总数为 $2+4+\dots+2n=2×(1+2+\dots+n)=2×\frac{1}{2}n(n+1)=n(n+1)$。令总数为420，则 $n(n+1)=420$，整理得 $n^2+n-420=0$，解得 $n=\frac{-1\pm\sqrt{1+1680}}{2}=\frac{-1\pm41}{2}$，取正根 $n=20$，故一共能摆放20排。
【答案】
(1) 36；120；$\frac{1}{2}n(n+1)$
(2) 不能
(3) 20排
【知识点】
等差数列求和；一元二次方程应用；规律探究
【点评】
本题通过三角点阵的规律，将数列求和与一元二次方程结合，考察学生的归纳能力和方程思想，是基础的规律应用题型，解题思路清晰，计算难度适中。
【难度系数】
0.6
