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1. 如图,四边形OABC是平行四边形,在平面直角坐标系中,点$A(-1,2),OC=5$,点B的坐标是 ()
A.$(2,4)$
B.$(2,-4)$
C.$(4,2)$
D.$(4,-2)$
A.$(2,4)$
B.$(2,-4)$
C.$(4,2)$
D.$(4,-2)$
答案
C
解析
在平行四边形OABC中，O为原点(0,0)，OC在x轴上且OC=5，故C点坐标为(5,0)。根据平行四边形坐标性质，点B的坐标为点A与点C坐标之和，即(-1+5,2+0)=(4,2)。
2. 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,添加下列一个条件后,一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ()
A.$AB=AD$
B.$AD=BC$
C.$∠B=∠D$
D.$∠A+∠D=180°$
A.$AB=AD$
B.$AD=BC$
C.$∠B=∠D$
D.$∠A+∠D=180°$
答案
C
解析
已知AB//CD，分析各选项：
A选项：AB=AD，仅AB//CD和AB=AD，无法判定四边形ABCD是平行四边形；
B选项：AD=BC，AB//CD且AD=BC时，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；
C选项：AB//CD得∠B+∠C=180°，若∠B=∠D，则∠D+∠C=180°，推出AD//BC，两组对边分别平行，可判定是平行四边形；
D选项：∠A+∠D=180°，本身可推出AB//CD，与已知条件重复，无法新增判定依据。
A选项：AB=AD，仅AB//CD和AB=AD，无法判定四边形ABCD是平行四边形；
B选项：AD=BC，AB//CD且AD=BC时，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；
C选项：AB//CD得∠B+∠C=180°，若∠B=∠D，则∠D+∠C=180°，推出AD//BC，两组对边分别平行，可判定是平行四边形；
D选项：∠A+∠D=180°，本身可推出AB//CD，与已知条件重复，无法新增判定依据。
3. 如图, 在$□ ABCD$中, $AC$与$BD$相交于点$O$, $∠ ODA = 90°$, $AC=10\ \mathrm{cm}$, $BD=6\ \mathrm{cm}$, 则$BC$的长为
()
A.$4\ \mathrm{cm}$
B.$5\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$8\ \mathrm{cm}$
()
A.$4\ \mathrm{cm}$
B.$5\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$8\ \mathrm{cm}$
答案
A
解析
在平行四边形ABCD中，对角线互相平分，所以OA=AC/2=10÷2=5cm，OD=BD/2=6÷2=3cm。因为∠ODA=90°，在Rt△ODA中，由勾股定理得AD=√(OA² - OD²)=√(5² -3²)=4cm。又平行四边形对边相等，BC=AD，所以BC=4cm。
4. 已知在$□ ABCD$中，$∠ A + ∠ C = 130°$，则$∠ B$的度数为________.
答案
115°
解析
根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，邻角互补。
在□ABCD中，∠A与∠C是对角，故∠A=∠C。
已知∠A+∠C=130°，则∠A=130°÷2=65°。
又因为∠A与∠B是邻角，所以∠A+∠B=180°，因此∠B=180°-65°=115°。
在□ABCD中，∠A与∠C是对角，故∠A=∠C。
已知∠A+∠C=130°，则∠A=130°÷2=65°。
又因为∠A与∠B是邻角，所以∠A+∠B=180°，因此∠B=180°-65°=115°。
5. 如图,在$□ ABCD$中,AC和BD交于点O.若AC$=8,BD=6$,则边AD长的取值范围是.
答案
1＜AD＜7
解析
在平行四边形ABCD中，对角线互相平分，因此OA = ½AC = ½×8 = 4，OD = ½BD = ½×6 = 3。在△AOD中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得OA - OD ＜ AD ＜ OA + OD，即4 - 3 ＜ AD ＜ 4 + 3，化简得1 ＜ AD ＜ 7。
6. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$AE ⊥ BC$，垂足为 $E$，$AB=3$，$AO=2$，$BC=5$，则 $AE$ 的长为
答案
$\frac{12}{5}$
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO=2×2=4。在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，满足AB²+AC²=3²+4²=25=5²=BC²，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。根据三角形面积公式，△ABC的面积=1/2×AB×AC=1/2×3×4=6，又∵△ABC的面积=1/2×BC×AE，∴1/2×5×AE=6，解得AE=12/5。
7. 如图,在$□ ABCD$中,AC与BD相交于点O,$EF ⊥ BD$,分别交AD,BC于点E,F.若$△ ABE$的周长为10,则四边形ABCD的周长是.
答案
20
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，OB=OD，AB=CD，AD=BC。∵EF⊥BD，∴EF是BD的垂直平分线，∴BE=DE。已知△ABE的周长为AB + AE + BE =10，将BE=DE代入得：AB + AE + DE = AB + AD =10。∴平行四边形ABCD的周长=2(AB + AD)=2×10=20。
8. 如图,在$□ ABCD$中,$DE$是$∠ ADC$的平分线,交$BC$于点$E$.
(1) 求证:$CD=CE$;
(2) 若$BE=CE$,$∠ B=80°$,求$∠ DAE$的度数.
(1) 求证:$CD=CE$;
(2) 若$BE=CE$,$∠ B=80°$,求$∠ DAE$的度数.
答案
（1）CD=CE，证明如上；
（2）∠DAE=50°
（2）∠DAE=50°
解析
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”得∠ADE=∠DEC。
又∵DE是∠ADC的平分线，∴∠ADE=∠CDE，∴∠DEC=∠CDE，根据“等角对等边”，可得CD=CE。
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD//BC。
由（1）知CD=CE，结合BE=CE，得AB=BE，∴△ABE为等腰三角形。
已知∠B=80°，根据等腰三角形内角和，∠BEA=(180°−80°)÷2=50°。
又∵AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠DAE=∠BEA=50°。
又∵DE是∠ADC的平分线，∴∠ADE=∠CDE，∴∠DEC=∠CDE，根据“等角对等边”，可得CD=CE。
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD//BC。
由（1）知CD=CE，结合BE=CE，得AB=BE，∴△ABE为等腰三角形。
已知∠B=80°，根据等腰三角形内角和，∠BEA=(180°−80°)÷2=50°。
又∵AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠DAE=∠BEA=50°。
9. 如图,在$□ ABCD$中,点$E,F$在$AC$上,且$∠ ABF=∠ CDE$.求证:四边形$EBFD$是平行四边形.
答案
四边形EBFD是平行四边形，证明如上。
解析
要证明四边形EBFD是平行四边形，步骤如下：
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AB//CD，根据平行线的内错角相等，得∠BAF=∠DCE。
2. 在△ABF和△CDE中，$\{\begin{array}{l}∠BAF=∠DCE\\AB=CD\\∠ABF=∠CDE\end{array} $，所以△ABF≌△CDE（ASA），因此BF=DE，∠AFB=∠CED。
3. 由∠AFB=∠CED，可得∠BFE=∠DEF，所以BF//DE。
4. 因为BF=DE且BF//DE，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，故四边形EBFD是平行四边形。
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AB//CD，根据平行线的内错角相等，得∠BAF=∠DCE。
2. 在△ABF和△CDE中，$\{\begin{array}{l}∠BAF=∠DCE\\AB=CD\\∠ABF=∠CDE\end{array} $，所以△ABF≌△CDE（ASA），因此BF=DE，∠AFB=∠CED。
3. 由∠AFB=∠CED，可得∠BFE=∠DEF，所以BF//DE。
4. 因为BF=DE且BF//DE，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，故四边形EBFD是平行四边形。
10. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$DE$ 平分 $∠ ADC$ 交 $BC$ 于点 $E$，且 $∠ ABC=120°$，$AB=\dfrac{1}{2}BC$，连接 $OE$。现有下列结论：① $△ DCE$ 是等边三角形；② $S_{□ ABCD}=CD· BD$；③ $S_{△ DEC}=2S_{△ ODE}$，其中结论成立的个数是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
D
解析
1. 分析结论①：平行四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=120°，DE平分∠ADC，故∠CDE=60°；AD//BC，得∠DEC=∠ADE=60°，则△DCE中∠DCE=60°，故△DCE是等边三角形，①成立。
2. 分析结论②：设CD=a，由AB=1/2 BC得BC=2a；平行四边形中∠BCD=60°，用余弦定理得BD=√3 a，平行四边形面积S=CD·BC·sin60°=a·2a·(√3/2)=√3 a²，而CD·BD=a·√3 a=√3 a²，故S□ABCD=CD·BD，②成立。
3. 分析结论③：O是BD中点，E是BC中点，OE是△BCD中位线，OE//CD且OE=1/2 CD；△ODE与△CDE以DE为底，高的比为1:2，故面积比1:2，即S△DEC=2S△ODE，③成立。
综上，3个结论都成立。
2. 分析结论②：设CD=a，由AB=1/2 BC得BC=2a；平行四边形中∠BCD=60°，用余弦定理得BD=√3 a，平行四边形面积S=CD·BC·sin60°=a·2a·(√3/2)=√3 a²，而CD·BD=a·√3 a=√3 a²，故S□ABCD=CD·BD，②成立。
3. 分析结论③：O是BD中点，E是BC中点，OE是△BCD中位线，OE//CD且OE=1/2 CD；△ODE与△CDE以DE为底，高的比为1:2，故面积比1:2，即S△DEC=2S△ODE，③成立。
综上，3个结论都成立。
11. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 上有一点 $P$，过点 $P$ 分别作 $HG // AB$，$MN // AD$，则图中面积相等的平行四边形有（）
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
C
解析
因为□ABCD中，AC是对角线，故S△ABC = S△ADC。由HG//AB，MN//AD，得四边形AMPG、MBHP、PNCH、GPND均为平行四边形，AC是这些小平行四边形的对角线，所以S△APM = S△APG，S△CPH = S△CPN。由此可得：S平行四边形MBHP = S平行四边形GPND；S平行四边形AMPG = S平行四边形PNCH；S平行四边形ABNM = S平行四边形ADHG，共3对。
