12. 如图,在$□ ABCD$中,E,F 是对角线 AC上的两点,且$AE=CF$.给出下列结论:
① $BE=DF$;② $BE// DF$;③ $AB=DE$;
④ 四边形 EBFD 为平行四边形;
⑤ $S_{△ ADE}=S_{△ ABE}$;⑥ $AF=CE$.其中正确的结论有________.

①②④⑤⑥

在平行四边形$ABCD$中，$AB=CD$，$AB// CD$，故$∠ BAE=∠ DCF$。又$AE=CF$，所以$△ ABE≌△ CDF$（SAS），因此$BE=DF$（①正确），$∠ AEB=∠ CFD$，则$∠ BEF=∠ DFE$，故$BE// DF$（②正确）；由$BE$平行且等于$DF$，可得四边形$EBFD$为平行四边形（④正确）。对于⑤，$△ ADE$与$△ ABE$同底$AE$，且平行四边形中$B$、$D$到对角线$AC$的距离相等，故$S_{△ ADE}=S_{△ ABE}$（⑤正确）；由$AE=CF$，得$AE+EF=CF+EF$，即$AF=CE$（⑥正确）。③中$AB$与$DE$无必然相等关系，错误。

13. 如图,在$□ ABCD$中,$DA=DB$,点$E,F$分别在$BA,CB$的延长线上,连接$DF$,$EF$,若$∠ DFE=∠ C$.
(1) 求证:$∠ BDF=∠ BEF$;
(2) 若$∠ DFE=60°$,$CF=5$,求$BE$的长.

（1）证明成立；（2）5

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠DAB，AD//BC，∴∠ADB=∠DBC。∵DA=DB，∴∠DAB=∠DBA，∴∠DBA=∠C。已知∠DFE=∠C，∴∠DFE=∠DBA。∵∠DBA=∠E + ∠BFE，∠DFE=∠BFE + ∠BFD，∴∠E=∠BFD。在△BDF和△BEF中，∠BFD=∠E，∠DBF=∠EBF，根据三角形内角和定理，可得∠BDF=∠BEF。
（2）∵∠DFE=60°，∴∠C=60°，又DA=DB，AD=BC（平行四边形对边相等），∴DB=BC，∴△DBC是等边三角形，∴BC=DB，∠C=60°。由（1）知∠BDF=∠BEF，且∠EBF=∠C=60°，∠DFE=∠C=60°，可证△BEF≌△CDF（AAS），因此BE=CF=5。

14. 在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题.在$△ ABC$中，$M,N$分别为边$AB,AC$上的动点(不含端点)，且$AN=BM$.
【初步尝试】
（1）如图1，当$△ ABC$为等边三角形时，小颜发现:将$MA$绕点$M$逆时针旋转$120°$得到$MD$，连接$BD$，则$MN=DB$.请思考并证明.
【类比探究】
（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究:如图2，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$AE ⊥ MN$于点$E$，交$BC$于点$F$，将$MA$绕点$M$逆时针旋转$90°$得到$MD$，连接$DA,DB$.试猜想四边形$AFBD$的形状，并说明理由.

（1）证明成立，MN=DB；（2）四边形AFBD是正方形。

（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠A=60°。由旋转的性质得：MD=MA，∠AMD=120°，∴∠DMB=180°-∠AMD=60°，∴∠DMB=∠A=60°。在△DMB和△MAN中，$\{\begin{array}{l} MD=MA \\ ∠DMB=∠A \\ BM=AN \end{array} $，∴△DMB≌△MAN（SAS），∴MN=DB。（2）四边形AFBD是正方形，理由：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45°。由旋转得MA=MD，∠AMD=90°，∴△AMD为等腰直角三角形，∠MAD=45°，∴∠DAB=∠ABC=45°，故AD//BC。又AE⊥MN，∴∠AEN=90°，∴∠EAN+∠ANE=90°，结合∠EAN+∠BAM=90°，得∠ANE=∠BAM。又AN=BM，∠MAN=∠ABF=90°，∴△MAN≌△ABF，得AF=MN。由（1）中△DMB≌△MAN得MN=DB，故AF=DB，结合AD//BF，得四边形AFBD是平行四边形。又∠DAB=90°（由∠DAB+∠ABC=90°得AD⊥AB），故平行四边形AFBD是矩形，且AD=AB，因此四边形AFBD是正方形。