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1. 下列四个条件中能判定$□ ABCD$为矩形的是 （）
A.$AB=BC$
B.$∠ A=∠ C$
C.$AC⊥ BD$
D.$AC=BD$
A.$AB=BC$
B.$∠ A=∠ C$
C.$AC⊥ BD$
D.$AC=BD$
答案
D
解析
根据矩形的判定定理，平行四边形中，对角线相等的平行四边形是矩形。A选项AB=BC，平行四边形邻边相等是菱形；B选项平行四边形本身对角相等，∠A=∠C不能判定矩形；C选项AC⊥BD，平行四边形对角线垂直是菱形；D选项AC=BD，可判定平行四边形ABCD为矩形。
2. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角为$40°$,则两条对角线相交所成的锐角是（）
A.$20°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$80°$
A.$20°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$80°$
答案
D
解析
根据矩形对角线相等且互相平分，得OA=OB。已知对角线与一边夹角为40°，则∠OAB=∠OBA=40°，两条对角线相交所成的锐角∠AOB=180°-40°-40°=80°。
3. 如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE//BD,DE//AC.若AC=12,则四边形CODE的周长为()
A.12
B.18
C.24
D.30
A.12
B.18
C.24
D.30
答案
C
解析
1. 由CE//BD，DE//AC，得四边形CODE是平行四边形；2. 矩形ABCD中，AC=BD=12，对角线互相平分，故OC=AC/2=6，OD=BD/2=6；3. 因OC=OD，所以平行四边形CODE是菱形，边长为6；4. 周长=4×6=24。
4. 已知四边形ABCD是平行四边形,则下列结论不正确的是 ()
A.当$AB=BC$时,它是菱形
B.当$AC⊥BD$时,它是菱形
C.当$∠ABC=90°$时,它是矩形
D.当$AC=BD$时,它是菱形
A.当$AB=BC$时,它是菱形
B.当$AC⊥BD$时,它是菱形
C.当$∠ABC=90°$时,它是矩形
D.当$AC=BD$时,它是菱形
答案
D
解析
根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理分析：A.平行四边形邻边相等时是菱形，结论正确；B.平行四边形对角线互相垂直时是菱形，结论正确；C.平行四边形有一个角为直角时是矩形，结论正确；D.平行四边形对角线相等时是矩形，不是菱形，结论错误。
5. 如图,在正方形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,作OE⊥OF分别交AB,BC于点E,F.若AE=4,CF=3,则EF等于（）
A.7
B.5
C.4
D.3
A.7
B.5
C.4
D.3
答案
B
解析
在正方形ABCD中，O是对角线交点，故OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=90°。因为OE⊥OF，所以∠EOF=90°，则∠AOE=∠BOF，可证△AOE≌△BOF（ASA），得AE=BF=4。已知CF=3，故BC=BF+CF=7，BE=AB - AE=7-4=3。在Rt△BEF中，由勾股定理得EF=√(BE²+BF²)=√(3²+4²)=5。
6. 如图,正方形ABCD的边长为1,点E在BC的延长线上.如果$BE=BD$,那么$CE=\_\_\_\_\_\_$.
答案
√2 -1
解析
∵四边形ABCD是正方形，边长为1，
∴BC=CD=1，∠BCD=90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=√(BC²+CD²)=√(1²+1²)=√2，
∵BE=BD，
∴BE=√2，
又∵点E在BC的延长线上，
∴CE=BE - BC=√2 -1。
∴BC=CD=1，∠BCD=90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=√(BC²+CD²)=√(1²+1²)=√2，
∵BE=BD，
∴BE=√2，
又∵点E在BC的延长线上，
∴CE=BE - BC=√2 -1。
7. 已知菱形的一个内角是$120°$,平分这个内角的对角线长为13 cm,则菱形的周长是________.
答案
52 cm
解析
根据菱形的性质，菱形的四条边相等，且对角线平分内角。已知菱形一个内角为120°，则平分该内角的对角线将120°角分为两个60°角，又因为菱形的边长相等，所以这条对角线与菱形的两边构成等边三角形，因此菱形的边长等于这条对角线的长度，即边长为13 cm。菱形的周长=4×边长=4×13=52 cm。
8. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作$AF// BC$交CE的延长线于点F,连接BF.求证:四边形ADBF是矩形.
答案
四边形ADBF是矩形。
解析
要证明四边形ADBF是矩形，步骤如下：
1. 证明△AEF≌△DEC：
∵ AF//BC，∴ ∠FAE = ∠CDE，
∵ E是AD的中点，∴ AE = DE，
又∵ ∠AEF = ∠DEC（对顶角相等），
∴ △AEF ≌ △DEC（ASA），
∴ AF = CD。
2. 证明四边形ADBF是平行四边形：
∵ D是BC的中点，∴ CD = BD，
∴ AF = BD，
又∵ AF//BD，
∴ 四边形ADBF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
3. 证明平行四边形ADBF是矩形：
∵ AB = AC，D是BC的中点，
∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴ ∠ADB = 90°，
∴ 平行四边形ADBF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
1. 证明△AEF≌△DEC：
∵ AF//BC，∴ ∠FAE = ∠CDE，
∵ E是AD的中点，∴ AE = DE，
又∵ ∠AEF = ∠DEC（对顶角相等），
∴ △AEF ≌ △DEC（ASA），
∴ AF = CD。
2. 证明四边形ADBF是平行四边形：
∵ D是BC的中点，∴ CD = BD，
∴ AF = BD，
又∵ AF//BD，
∴ 四边形ADBF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
3. 证明平行四边形ADBF是矩形：
∵ AB = AC，D是BC的中点，
∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴ ∠ADB = 90°，
∴ 平行四边形ADBF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
9. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 的垂直平分线与边 $AD$，$BC$ 分别交于点 $E$，$F$。求证：四边形 $AFCE$ 是菱形。
答案
四边形AFCE是菱形。
解析
要证明四边形AFCE是菱形，步骤如下：
① 因为EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，得$OA=OC$，且$AE=CE$，$AF=CF$；
② 因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AD// BC$，故$∠ EAO=∠ FCO$；
③ 在$△ AOE$和$△ COF$中，$\{\begin{array}{l}∠ EAO=∠ FCO \\ OA=OC \\ ∠ AOE=∠ COF\end{array} $，所以$△ AOE≌△ COF$（ASA），因此$AE=CF$；
④ 由$AD// BC$（即$AE// CF$）且$AE=CF$，根据平行四边形的判定定理，得四边形AFCE是平行四边形；
⑤ 又因为$AE=CE$（垂直平分线性质），根据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形是菱形），故平行四边形AFCE是菱形。
① 因为EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，得$OA=OC$，且$AE=CE$，$AF=CF$；
② 因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AD// BC$，故$∠ EAO=∠ FCO$；
③ 在$△ AOE$和$△ COF$中，$\{\begin{array}{l}∠ EAO=∠ FCO \\ OA=OC \\ ∠ AOE=∠ COF\end{array} $，所以$△ AOE≌△ COF$（ASA），因此$AE=CF$；
④ 由$AD// BC$（即$AE// CF$）且$AE=CF$，根据平行四边形的判定定理，得四边形AFCE是平行四边形；
⑤ 又因为$AE=CE$（垂直平分线性质），根据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形是菱形），故平行四边形AFCE是菱形。
