10. 如图,在正方形ABCD中,点K在AD上,连接BK,过点A,C分别作BK的垂线,垂足分别为M,N,O是正方形对角线的交点,连接OM,ON.
(1) 求证:$AM=BN$;
(2) 请判定$△ OMN$的形状,并证明.

（1）AM=BN得证；（2）△OMN是等腰直角三角形。

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°。
∵AM⊥BK，CN⊥BK，∴∠AMB=∠BNC=90°。
∴∠BAM + ∠ABM=90°，∠ABM + ∠CBN=90°，∴∠BAM=∠CBN。
在△ABM和△BCN中，$\{\begin{array}{l}∠ AMB=∠ BNC\\∠ BAM=∠ CBN\\AB=BC\end{array} $，
∴△ABM≌△BCN（AAS），∴AM=BN。
（2）△OMN是等腰直角三角形，证明如下：
∵O是正方形ABCD对角线交点，∴OA=OB，∠OAB=∠OBA=45°，∠AOB=90°。
由（1）知∠BAM=∠CBN，∴∠BAM - ∠OAB=∠CBN - ∠OBA，即∠OAM=∠OBN。
在△OAM和△OBN中，$\{\begin{array}{l}OA=OB\\∠ OAM=∠ OBN\\AM=BN\end{array} $，
∴△OAM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠AOM=∠BON。
∴∠MON=∠AOM + ∠AON=∠BON + ∠AON=∠AOB=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形。

11. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点E,使BE=CD,连接AE.已知下列结论:① $AE=2OD$;② $∠EAC=90°$;③ 四边形ADBE为菱形;④ $S_{四边形AEBO}=\dfrac{3}{4}S_{菱形ABCD}$,其中正确的结论有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

D

根据菱形性质，菱形ABCD中AB=CD=AD，AD//BC，AC⊥BD，OD=BD/2。①由BE=CD=AD，AD//BE，得四边形ADBE是平行四边形，又AB=BE，故ADBE是菱形，AE=BD=2OD，①正确；②因AE//BD，AC⊥BD，故AC⊥AE，∠EAC=90°，②正确；③由BE=AD且AD//BE，得ADBE是平行四边形，又AB=BE，故为菱形，③正确；④设菱形面积为2ab，四边形AEBO面积用坐标法或分割法得3ab/2，3ab/2=3/4×2ab，故S四边形AEBO=3/4S菱形ABCD，④正确。四个结论均正确。

12. 如图, 在菱形 ABCD 中, $AB=2, ∠ BAD=60°$, E 是 AB 的中点, P 是对角线 AC 上的一个动点, 则 $PE+PB$ 的最小值是$\underline{\hspace{5cm}}$.

√3

根据菱形的对称性，点B关于对角线AC的对称点为点D，因此PE+PB=PE+PD，当点P为DE与AC的交点时，PE+PD取得最小值，即最小值为DE的长度。已知菱形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=60°，故△ABD是等边三角形，又E是AB中点，由等边三角形三线合一得DE⊥AB，AE=1。在Rt△ADE中，根据勾股定理：DE=√(AD² - AE²)=√(2² -1²)=√3。

13. 如图,过矩形ABCD对角线AC上一点E作MN//AD,分别交AB和CD于点M和N,连接BE,DE.已知CN=2,ME=5,则△END和△BEM的面积和等于________.

10

因为四边形ABCD是矩形，MN//AD，所以四边形MBCN是矩形，故MB=CN=2；同理四边形AMND是矩形，DN=AM。由于E在矩形对角线AC上，可得EN=ME=5。△BEM的面积为$\frac{1}{2}×ME×MB=\frac{1}{2}×5×2=5$，△END的面积为$\frac{1}{2}×EN×DN=\frac{1}{2}×5×2=5$，因此△END和△BEM的面积和为5+5=10。

14. 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,P为AB边上一动点(不与点A,B重合),PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F.若AC=16,BD=12,则EF的最小值为________.

48/5

在菱形ABCD中，对角线AC⊥BD，OA=AC/2=8，OB=BD/2=6，由勾股定理得AB=√(OA²+OB²)=√(8²+6²)=10。因为PE⊥OA，PF⊥OB，∠AOB=90°，所以四边形OEPF是矩形，因此EF=OP。当OP⊥AB时，OP取得最小值，此时OP是AB边上的高。菱形面积S=1/2×AC×BD=1/2×16×12=96，又S=AB×OP，所以OP=96÷10=9.6=48/5，即EF的最小值为48/5。

15. 如图 1, 在 $Rt △ CEF$ 中, $∠ C=90°$ , $∠ CEF$ 和 $∠ CFE$ 的外角平分线交于点 $A$ ,过点 $A$ 分别作直线 $CE, CF$ 的垂线,垂足分别为 $B, D$ .
(1) $∠ EAF=\underline{\qquad\qquad}°$.
(2) ① 求证:四边形 $ABCD$ 是正方形;
② 若 $BE=EC=4$, 求 $DF$ 的长.
(3) 如图 2, 在 $△ PQR$ 中, $∠ QPR=45°$,高 $PH=7, QH=3, HR$ 的长度是$\underline{\qquad\qquad}$.

(1) $45$
(2) ① 证明见上述解析；② $\frac{8}{3}$
(3) $\frac{14}{5}$

(1) 在$Rt△ CEF$中，$∠ C=90°$，故$∠ CEF + ∠ CFE=90°$，其外角和为$180°×2 -90°=270°$。
∵点$A$是$∠ CEF$和$∠ CFE$外角平分线的交点，∴$∠ AEF=\frac{1}{2}(180°-∠ CEF)$，$∠ AFE=\frac{1}{2}(180°-∠ CFE)$，
则$∠ AEF + ∠ AFE=\frac{1}{2}×270°=135°$，∴$∠ EAF=180°-135°=45°$。
(2) ① 证明：∵$AB⊥ CE$，$AD⊥ CF$，$∠ C=90°$，∴$∠ B=∠ D=∠ C=90°$，故四边形$ABCD$是矩形。
又∵点$A$在$∠ CEF$和$∠ CFE$的外角平分线上，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，得$AB=AD$，
∴矩形$ABCD$是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。
② 解：∵$BE=EC=4$，∴$BC=BE+EC=8$，由正方形$ABCD$得$CD=BC=8$。
设$DF=x$，则$CF=CD-DF=8-x$，过点$A$作$AG⊥ EF$于$G$，
由角平分线性质得$AB=AG=8$，$BE=EG=4$，$DF=FG=x$，故$EF=EG+FG=4+x$。
在$Rt△ CEF$中，由勾股定理：$EC^2 + CF^2=EF^2$，即$4^2 + (8-x)^2=(4+x)^2$，
展开化简得$64=24x$，解得$x=\frac{8}{3}$，即$DF=\frac{8}{3}$。
(3) 设$HR=x$，以$H$为原点，$PH$为$y$轴，$QR$为$x$轴建立坐标系，则$P(0,7)$，$Q(-3,0)$，$R(x,0)$。
向量$\overrightarrow{PQ}=(-3,-7)$，$\overrightarrow{PR}=(x,-7)$，∵$∠ QPR=45°$，由向量夹角公式：
$\cos45°=\frac{\overrightarrow{PQ}·\overrightarrow{PR}}{|\overrightarrow{PQ}|·|\overrightarrow{PR}|}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{-3x+49}{\sqrt{58}·\sqrt{x^2+49}}$，
平方化简得$10x^2+147x-490=0$，解得正根$x=\frac{14}{5}$（负根舍去），故$HR=\frac{14}{5}$。