1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A - ∠ B=70°$,则$∠ A$的度数为().

A.$80°$
B.$70°$
C.$60°$
D.$50°$

1. A

【分析】
解题时首先结合直角三角形的性质，明确直角三角形的两个锐角之和为90°，即可得到∠A与∠B的和的关系；再结合题干给出的∠A与∠B的差的关系，将两个关系式联立就能求出∠A的度数。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据直角三角形两锐角互余，可得：$∠ A + ∠ B = 90°$ ①，
又已知$∠ A - ∠ B = 70°$ ②，
将①+②得：$2∠ A = 90° + 70° = 160°$，
解得：$∠ A = 80°$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角度和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直角三角形的基本性质，结合已知的角度差关系即可快速求解，计算量小，掌握核心性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9

2. 在数学活动课上,小明提出这样一个问题:如图,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,∠CED=35°,则∠EAB的度数是________.

2. $35°$

【分析】
遇到角平分线和直角的组合时，优先考虑角平分线的性质，可过点E作AD的垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等得到CE与垂线段相等；再结合E是BC中点的条件，可推得垂线段与EB相等，利用角平分线的判定可证AE是∠DAB的角平分线；之后由∠B、∠C均为直角可得CD//AB，同旁内角互补，结合已知的∠CED求出∠CDE，再得到∠ADC的度数，进而求出∠DAB的度数，最后由角平分线的性质即可算出∠EAB的度数。
【解析】
解：过点E作EF⊥AD，垂足为F。
1. 已知DE平分∠ADC，∠C=90°即EC⊥CD，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$CE=EF$。
2. 因为E是BC的中点，所以$CE=EB$，因此$EF=EB$。
3. 又因为∠B=90°即EB⊥AB，且EF⊥AD，根据角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得AE平分∠DAB。
4. 因为∠B=∠C=90°，所以$CD// AB$（同旁内角互补，两直线平行），因此$∠ ADC + ∠ DAB = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
5. 在Rt△CDE中，∠C=90°，$∠ CED=35°$，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ CDE=90°-35°=55°$。
6. 因为DE平分∠ADC，所以$∠ ADC=2∠ CDE=2×55°=110°$。
7. 代入同旁内角的关系可得$∠ DAB=180°-∠ ADC=180°-110°=70°$。
8. 因为AE平分∠DAB，所以$∠ EAB=\frac{1}{2}∠ DAB=\frac{1}{2}×70°=35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
角平分线的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是角平分线相关性质的综合应用题，解题的关键是作AD的垂线构造辅助线，结合中点条件推导得到AE是∠DAB的角平分线，再通过平行线的性质建立角度的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.6

3. 如图，已知在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=9$，$AD⊥ BC$于点$D$，则$DC^2 - DB^2$的值为________.

3. 45

【分析】
本题可利用勾股定理求解。观察图形可知AD⊥BC，因此△ADC和△ADB均为直角三角形，两个三角形有公共直角边AD。我们可以分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD²，根据AD²相等建立等式，再对等式移项变形，即可得到DC² - DB²与已知边长AB、AC的关系，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：$AD^2 + DC^2 = AC^2$，即$AD^2 = AC^2 - DC^2$；
在Rt△ADB中，由勾股定理得：$AD^2 + DB^2 = AB^2$，即$AD^2 = AB^2 - DB^2$；
∴$AC^2 - DC^2 = AB^2 - DB^2$，
移项可得：$DC^2 - DB^2 = AC^2 - AB^2$，
将AB=6，AC=9代入得：
$DC^2 - DB^2 = 9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$。
【答案】
45
【知识点】
勾股定理；等式的基本性质
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，解题关键是借助两个直角三角形的公共直角边建立等量关系，不需要单独计算DC、DB的长度，通过整体代换即可求出结果，有效简化了计算步骤。
【难度系数】
0.7

4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AD$平分$∠ CAB$，$DE ⊥ AB$于点$E$. 若$AC=6$，$BC=8$，$CD=3$.
（1）求$DE$的长. （2）求$△ ADB$的面积.

4. (1) 3 (2) 15

【分析】
（1）求DE的长时，首先结合已知条件：AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到DE和CD相等，代入CD的数值就能求出DE的长。
（2）求△ADB的面积时，可以先计算BD的长度（BD=BC-CD），再以BD为底、AC为高计算面积；也可以先在Rt△ABC中用勾股定理求出AB的长度，再以AB为底、DE为高计算面积，两种方法均能得到结果。
【解析】
（1）
∵AD平分∠CAB，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=CD，
又
∵CD=3，
∴DE=3。
（2）方法1：
BD=BC-CD=8-3=5，
△ADB的面积=$\frac{1}{2}×BD×AC=\frac{1}{2}×5×6=15$。
方法2：
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$，
△ADB的面积=$\frac{1}{2}×AB×DE=\frac{1}{2}×10×3=15$。
【答案】
（1）$\boxed{3}$；（2）$\boxed{15}$
【知识点】
角平分线的性质、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查角平分线性质的应用，解题时选择合适的底和高计算三角形面积可以简化运算，熟练掌握基础定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

5. x 的值不小于 5,用不等式表示为().

A.$x＞5$
B.$x＜5$
C.$x≥ 5$
D.$x≤ 5$

5. C

【分析】
解题时首先要明确题干中“不小于”的数学含义：“不小于”指的是数值不比参照数小，包含等于参照数和大于参照数两种情况。接下来将文字描述的不等关系转化为对应的不等式，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
“不小于”的含义是大于或等于，因此x的值不小于5，翻译为不等式就是x大于等于5，即$x≥ 5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列不等式；不等号的含义
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对文字描述的不等关系的理解，解题核心是准确掌握“不小于”“不大于”“至少”“至多”这类常见表述对应的不等符号，避免混淆符号方向和是否带等号。
【难度系数】
0.9

6. 若$a＞b$，则下列不等式变形正确的是().

A.$a+5 ＜ b+5$
B.$\dfrac{a}{3} ＜ \dfrac{b}{3}$
C.$-4a ＞ -4b$
D.$3a - 2 ＞ 3b - 2$

6. D

【分析】
本题考查不等式的基本性质，解题思路为：先明确不等式的三条核心性质，再结合已知条件$a＞b$，逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求，尤其要注意不等式两边乘（或除以）负数时，不等号方向需要改变，这是本题的易错点。
【解析】
已知$a ＞ b$，结合不等式的基本性质逐一分析选项：
1. 分析选项A：根据不等式性质1，不等式两边加同一个数，不等号方向不变。两边同时加5可得$a+5 ＞ b+5$，与选项中$a+5 ＜ b+5$不符，故A错误。
2. 分析选项B：根据不等式性质2，不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变。两边同时除以3可得$\dfrac{a}{3} ＞ \dfrac{b}{3}$，与选项中$\dfrac{a}{3} ＜ \dfrac{b}{3}$不符，故B错误。
3. 分析选项C：根据不等式性质3，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变。两边同时乘$-4$可得$-4a ＜ -4b$，与选项中$-4a ＞ -4b$不符，故C错误。
4. 分析选项D：先根据不等式性质2，两边同时乘正数3得$3a ＞ 3b$；再根据不等式性质1，两边同时减2可得$3a - 2 ＞ 3b - 2$，与选项表述一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式部分的基础常考题，核心考查对不等式基本性质的理解与应用，易错点是容易忽略乘除负数时不等号方向需要改变，熟练掌握三条性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8