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8. 等腰三角形的一个外角为$140°$,则顶角的度数为(
A.$40°$
B.$40°$或$70°$
C.$70°$
D.$40°$或$100°$
D
).A.$40°$
B.$40°$或$70°$
C.$70°$
D.$40°$或$100°$
答案
8.D
解析
【分析】
本题需要结合等腰三角形的性质与三角形内外角关系求解，注意需分情况讨论：首先求出与140°外角相邻的内角度数，再分别讨论该内角是顶角还是底角两种情况，最后验证两种情况是否均符合三角形内角和定理即可。
【解析】
解：与140°外角相邻的内角度数为：$180° - 140° = 40°$，分两种情况讨论：
① 若$40°$是等腰三角形的顶角，则顶角为$40°$，符合三角形内角和要求；
② 若$40°$是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得顶角度数为：$180° - 40° × 2 = 100°$，也符合三角形内角和要求。
综上，顶角的度数为$40°$或$100°$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常见题型，解题的关键是养成分类讨论的习惯，避免因漏考虑内角是顶角还是底角的情况导致失分。
【难度系数】
0.7
本题需要结合等腰三角形的性质与三角形内外角关系求解，注意需分情况讨论：首先求出与140°外角相邻的内角度数，再分别讨论该内角是顶角还是底角两种情况，最后验证两种情况是否均符合三角形内角和定理即可。
【解析】
解：与140°外角相邻的内角度数为：$180° - 140° = 40°$，分两种情况讨论：
① 若$40°$是等腰三角形的顶角，则顶角为$40°$，符合三角形内角和要求；
② 若$40°$是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得顶角度数为：$180° - 40° × 2 = 100°$，也符合三角形内角和要求。
综上，顶角的度数为$40°$或$100°$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常见题型，解题的关键是养成分类讨论的习惯，避免因漏考虑内角是顶角还是底角的情况导致失分。
【难度系数】
0.7
9. 如图,点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上,若 EB=1,EC=2,则正方形 ABCD 的面积为(
A.$\sqrt{3}$
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.5
B
).A.$\sqrt{3}$
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.5
答案
9.B
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形的性质：正方形的四个内角都是直角，因此△EBC是直角三角形；要求正方形的面积，只需要求出正方形边长的平方即可，不需要算出边长具体值，可直接利用勾股定理在Rt△EBC中计算边长BC的平方，即为正方形的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
在Rt△EBC中，根据勾股定理得：
$BC^2 + EB^2 = EC^2$，
已知$EB=1$，$EC=2$，代入得：
$BC^2 = EC^2 - EB^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$，
∵正方形ABCD的面积$=BC^2$，
∴正方形ABCD的面积为3。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是利用正方形的直角构造直角三角形，注意可直接计算边长的平方得到面积，无需额外开方计算边长，能简化运算过程。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正方形的性质：正方形的四个内角都是直角，因此△EBC是直角三角形；要求正方形的面积，只需要求出正方形边长的平方即可，不需要算出边长具体值，可直接利用勾股定理在Rt△EBC中计算边长BC的平方，即为正方形的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
在Rt△EBC中，根据勾股定理得：
$BC^2 + EB^2 = EC^2$，
已知$EB=1$，$EC=2$，代入得：
$BC^2 = EC^2 - EB^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$，
∵正方形ABCD的面积$=BC^2$，
∴正方形ABCD的面积为3。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是利用正方形的直角构造直角三角形，注意可直接计算边长的平方得到面积，无需额外开方计算边长，能简化运算过程。
【难度系数】
0.8
10. 如图，$△ ABE$和$△ ACD$是$△ ABC$分别以$AB,AC$为对称轴翻折$180°$形成的. 若$∠ 1: ∠ 2: ∠ 3=29:4:3$, 则$∠ α$的度数为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
10.70°
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用三角形内角和为180°，结合∠1、∠2、∠3的比例关系，计算出∠2和∠3的具体度数；2. 根据翻折的性质，翻折前后的三角形全等、对应角相等，可得∠ABE=∠2，∠ACD=∠3，进而求出∠EBC和∠DCB的度数；3. 最后根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知∠α=∠EBC+∠DCB，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°，且∠1:∠2:∠3=29:4:3，
∴每份角度为：$180°÷(29+4+3)=5°$，
∴∠2=4×5°=20°，∠3=3×5°=15°。
∵△ABE是△ABC沿AB翻折180°形成的，
∴△ABE≌△ABC，
∴∠ABE=∠2=20°，
同理，△ACD是△ABC沿AC翻折180°形成的，
∴△ACD≌△ABC，
∴∠ACD=∠3=15°。
∴∠EBC=∠ABE+∠2=2×20°=40°，∠DCB=∠ACD+∠3=2×15°=30°，
根据三角形外角的性质，∠α=∠EBC+∠DCB=40°+30°=70°。
【答案】
70°
【知识点】
翻折的性质；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题是角度计算的综合题，核心是利用翻折的对称性得到相等的角，再结合三角形的角度相关定理求解，解题时要注意梳理清楚角之间的和差关系。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先利用三角形内角和为180°，结合∠1、∠2、∠3的比例关系，计算出∠2和∠3的具体度数；2. 根据翻折的性质，翻折前后的三角形全等、对应角相等，可得∠ABE=∠2，∠ACD=∠3，进而求出∠EBC和∠DCB的度数；3. 最后根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知∠α=∠EBC+∠DCB，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°，且∠1:∠2:∠3=29:4:3，
∴每份角度为：$180°÷(29+4+3)=5°$，
∴∠2=4×5°=20°，∠3=3×5°=15°。
∵△ABE是△ABC沿AB翻折180°形成的，
∴△ABE≌△ABC，
∴∠ABE=∠2=20°，
同理，△ACD是△ABC沿AC翻折180°形成的，
∴△ACD≌△ABC，
∴∠ACD=∠3=15°。
∴∠EBC=∠ABE+∠2=2×20°=40°，∠DCB=∠ACD+∠3=2×15°=30°，
根据三角形外角的性质，∠α=∠EBC+∠DCB=40°+30°=70°。
【答案】
70°
【知识点】
翻折的性质；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题是角度计算的综合题，核心是利用翻折的对称性得到相等的角，再结合三角形的角度相关定理求解，解题时要注意梳理清楚角之间的和差关系。
【难度系数】
0.7
11. 如图，$AB ⊥ CD$且$AB=CD$。$E,F$是$AD$上两点，$CE ⊥ AD$，$BF ⊥ AD$。若$CE=a$，$BF=b$，$EF=c$，则$AD$的长为________。
答案
11.a+b-c
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先观察到有垂直关系和相等线段AB=CD，优先考虑证明三角形全等：第一步，由AB⊥CD可得∠A与∠D互余，由CE⊥AD可得∠C与∠D互余，根据同角的余角相等可推出∠A=∠C；第二步，结合CE⊥AD、BF⊥AD可得△ABF和△CDE都为直角三角形，加上已知AB=CD，可用AAS判定两个三角形全等；第三步，利用全等三角形对应边相等得到AF=CE=a、DE=BF=b；最后观察线段AD的构成：AF与DE的和中，EF部分被重复计算了1次，因此减去EF的长度即可得到AD的长。
【解析】
∵AB⊥CD，
∴∠A + ∠D = 90°，
∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB = ∠CED = 90°，
∴∠C + ∠D = 90°，
∴∠A = ∠C（同角的余角相等）。
在△ABF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠AFB = ∠CED \\∠A = ∠C \\AB = CD\end{array} $
∴△ABF ≌ △CDE（AAS），
∴AF = CE = a，DE = BF = b。
∵AF + DE = (AE + EF) + (EF + FD) = AE + EF + FD + EF = AD + EF，
∴AD = AF + DE - EF = a + b - c。
【答案】
a+b-c
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，线段和差计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过角的互余关系推导等角，进而证明三角形全等得到对应边相等，再结合线段的重叠关系完成计算，能较好地考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，首先观察到有垂直关系和相等线段AB=CD，优先考虑证明三角形全等：第一步，由AB⊥CD可得∠A与∠D互余，由CE⊥AD可得∠C与∠D互余，根据同角的余角相等可推出∠A=∠C；第二步，结合CE⊥AD、BF⊥AD可得△ABF和△CDE都为直角三角形，加上已知AB=CD，可用AAS判定两个三角形全等；第三步，利用全等三角形对应边相等得到AF=CE=a、DE=BF=b；最后观察线段AD的构成：AF与DE的和中，EF部分被重复计算了1次，因此减去EF的长度即可得到AD的长。
【解析】
∵AB⊥CD，
∴∠A + ∠D = 90°，
∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB = ∠CED = 90°，
∴∠C + ∠D = 90°，
∴∠A = ∠C（同角的余角相等）。
在△ABF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠AFB = ∠CED \\∠A = ∠C \\AB = CD\end{array} $
∴△ABF ≌ △CDE（AAS），
∴AF = CE = a，DE = BF = b。
∵AF + DE = (AE + EF) + (EF + FD) = AE + EF + FD + EF = AD + EF，
∴AD = AF + DE - EF = a + b - c。
【答案】
a+b-c
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，线段和差计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过角的互余关系推导等角，进而证明三角形全等得到对应边相等，再结合线段的重叠关系完成计算，能较好地考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=AC$,$CD$平分$∠ ACB$,$DE ⊥ BC$,垂足为$E$,若$BC=15\mathrm{cm}$,则$△ DEB$的周长为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
12.15cm
解析
【分析】
解题时优先提取题干关键条件：出现角平分线以及角两边的垂线，首先联想到角平分线的性质，可推出DE=AD；再结合公共边CD，通过HL判定证明Rt△ACD和Rt△ECD全等，得到AC=EC，结合已知AB=AC，将△DEB的周长的各条边通过等量代换转化为已知线段BC的长度，即可求出最终结果。
【解析】
解：
∵CD平分∠ACB，∠A=90°（即DA⊥AC），DE⊥BC，
∴DE=DA，∠A=∠DEC=90°。
在Rt△ACD和Rt△ECD中：
$\{\begin{array}{l}CD=CD\\ DA=DE\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△ECD（HL），
∴AC=EC。
又
∵AB=AC，
∴AB=EC。
△DEB的周长为：
$C_{△ DEB}=BD+DE+BE$
将DE=DA代入，可得：
$C_{△ DEB}=BD+DA+BE=AB+BE$
再将AB=EC代入，可得：
$C_{△ DEB}=EC+BE=BC$
已知BC=15cm，因此△DEB的周长为15cm。
【答案】
15cm
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何周长转化类题型，解题核心是利用角平分线性质和全等三角形的结论，把未知三角形的周长转化为题目给出的已知线段长度，熟练掌握相关性质定理就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时优先提取题干关键条件：出现角平分线以及角两边的垂线，首先联想到角平分线的性质，可推出DE=AD；再结合公共边CD，通过HL判定证明Rt△ACD和Rt△ECD全等，得到AC=EC，结合已知AB=AC，将△DEB的周长的各条边通过等量代换转化为已知线段BC的长度，即可求出最终结果。
【解析】
解：
∵CD平分∠ACB，∠A=90°（即DA⊥AC），DE⊥BC，
∴DE=DA，∠A=∠DEC=90°。
在Rt△ACD和Rt△ECD中：
$\{\begin{array}{l}CD=CD\\ DA=DE\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△ECD（HL），
∴AC=EC。
又
∵AB=AC，
∴AB=EC。
△DEB的周长为：
$C_{△ DEB}=BD+DE+BE$
将DE=DA代入，可得：
$C_{△ DEB}=BD+DA+BE=AB+BE$
再将AB=EC代入，可得：
$C_{△ DEB}=EC+BE=BC$
已知BC=15cm，因此△DEB的周长为15cm。
【答案】
15cm
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何周长转化类题型，解题核心是利用角平分线性质和全等三角形的结论，把未知三角形的周长转化为题目给出的已知线段长度，熟练掌握相关性质定理就能快速求解。
【难度系数】
0.7
13. 一个等腰三角形形状的花圃面积为$30\mathrm{m}^2$，其一边长为10m. 求该等腰三角形花圃的另两边长.
答案
13.$\sqrt{61}\ \mathrm{m},\sqrt{61}\ \mathrm{m}$ 或 $10\mathrm{m},2\sqrt{10}\ \mathrm{m}$ 或 $10\mathrm{m},6\sqrt{10}\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
本题未明确边长为10m的边是等腰三角形的腰还是底边，且当10m为腰时，顶角可能为锐角或钝角，对应高的位置在三角形内部或外部，因此需要分类讨论：①先讨论10m为底边的情况，结合面积求底边上的高，再用勾股定理求腰长；②再讨论10m为腰的情况，分高在三角形内部、外部两类，分别结合面积求腰上的高，再用勾股定理求底边长，最后验证所有情况满足三角形三边关系即可。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当10m为等腰三角形的底边长时：
设底边上的高为$h_1$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$得：
$\frac{1}{2}×10× h_1=30$，解得$h_1=6\mathrm{m}$。
等腰三角形底边上的高平分底边，因此底边的一半长为$10÷2=5\mathrm{m}$，
由勾股定理得腰长为$\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}\mathrm{m}$，此时另外两边长均为$\sqrt{61}\mathrm{m}$，满足三角形三边关系。
2. 当10m为等腰三角形的腰长，且顶角为锐角（腰上的高在三角形内部）时：
设腰上的高为$h_2$，由面积公式得：
$\frac{1}{2}×10× h_2=30$，解得$h_2=6\mathrm{m}$。
高将腰分为两段，其中一段长为$\sqrt{10^2-6^2}=8\mathrm{m}$，则腰剩余的长度为$10-8=2\mathrm{m}$，
由勾股定理得底边长为$\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}\mathrm{m}$，此时另外两边长为10m、$2\sqrt{10}\mathrm{m}$，满足三角形三边关系。
3. 当10m为等腰三角形的腰长，且顶角为钝角（腰上的高在三角形外部）时：
同理可得腰上的高$h_2=6\mathrm{m}$，高在腰的延长线上，延长部分的长度为$\sqrt{10^2-6^2}=8\mathrm{m}$，
此时底边对应的直角边长度为$10+8=18\mathrm{m}$，由勾股定理得底边长为$\sqrt{18^2+6^2}=6\sqrt{10}\mathrm{m}$，此时另外两边长为10m、$6\sqrt{10}\mathrm{m}$，满足三角形三边关系。
【答案】
$\sqrt{61}\ \mathrm{m},\sqrt{61}\ \mathrm{m}$ 或 $10\mathrm{m},2\sqrt{10}\ \mathrm{m}$ 或 $10\mathrm{m},6\sqrt{10}\ \mathrm{m}$
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点为漏解，解题时需注意，未明确说明的边需分腰和底边讨论，同时当已知边为腰时，要考虑顶角为锐角、钝角时高的位置差异，计算后需验证三边是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.5
本题未明确边长为10m的边是等腰三角形的腰还是底边，且当10m为腰时，顶角可能为锐角或钝角，对应高的位置在三角形内部或外部，因此需要分类讨论：①先讨论10m为底边的情况，结合面积求底边上的高，再用勾股定理求腰长；②再讨论10m为腰的情况，分高在三角形内部、外部两类，分别结合面积求腰上的高，再用勾股定理求底边长，最后验证所有情况满足三角形三边关系即可。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当10m为等腰三角形的底边长时：
设底边上的高为$h_1$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$得：
$\frac{1}{2}×10× h_1=30$，解得$h_1=6\mathrm{m}$。
等腰三角形底边上的高平分底边，因此底边的一半长为$10÷2=5\mathrm{m}$，
由勾股定理得腰长为$\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}\mathrm{m}$，此时另外两边长均为$\sqrt{61}\mathrm{m}$，满足三角形三边关系。
2. 当10m为等腰三角形的腰长，且顶角为锐角（腰上的高在三角形内部）时：
设腰上的高为$h_2$，由面积公式得：
$\frac{1}{2}×10× h_2=30$，解得$h_2=6\mathrm{m}$。
高将腰分为两段，其中一段长为$\sqrt{10^2-6^2}=8\mathrm{m}$，则腰剩余的长度为$10-8=2\mathrm{m}$，
由勾股定理得底边长为$\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}\mathrm{m}$，此时另外两边长为10m、$2\sqrt{10}\mathrm{m}$，满足三角形三边关系。
3. 当10m为等腰三角形的腰长，且顶角为钝角（腰上的高在三角形外部）时：
同理可得腰上的高$h_2=6\mathrm{m}$，高在腰的延长线上，延长部分的长度为$\sqrt{10^2-6^2}=8\mathrm{m}$，
此时底边对应的直角边长度为$10+8=18\mathrm{m}$，由勾股定理得底边长为$\sqrt{18^2+6^2}=6\sqrt{10}\mathrm{m}$，此时另外两边长为10m、$6\sqrt{10}\mathrm{m}$，满足三角形三边关系。
【答案】
$\sqrt{61}\ \mathrm{m},\sqrt{61}\ \mathrm{m}$ 或 $10\mathrm{m},2\sqrt{10}\ \mathrm{m}$ 或 $10\mathrm{m},6\sqrt{10}\ \mathrm{m}$
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点为漏解，解题时需注意，未明确说明的边需分腰和底边讨论，同时当已知边为腰时，要考虑顶角为锐角、钝角时高的位置差异，计算后需验证三边是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.5
