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7. 解下列不等式.
(1) $4(x-1)-\dfrac{1}{2}＜x$
(2) $\dfrac{x-5}{2}+1＞x-3$
(1) $4(x-1)-\dfrac{1}{2}＜x$
(2) $\dfrac{x-5}{2}+1＞x-3$
答案
7. (1) $x＜\dfrac{3}{2}$ (2) $x＜3$
解析
【分析】
这两道题均属于一元一次不等式求解，解题思路与一元一次方程解法类似，按照“去分母（若有分母）、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤逐步计算即可，计算时需注意：去分母时不要漏乘不含分母的项，移项要改变符号，系数化为1时如果系数为负数，不等号方向要改变。
【解析】
(1) 解不等式$4(x-1)-\dfrac{1}{2}＜x$
第一步：去括号，得 $4x - 4 - \dfrac{1}{2} ＜ x$
第二步：移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得 $4x - x ＜ 4 + \dfrac{1}{2}$
第三步：合并同类项，得 $3x ＜ \dfrac{9}{2}$
第四步：系数化为1，两边同时除以3，得 $x ＜ \dfrac{3}{2}$
(2) 解不等式$\dfrac{x-5}{2}+1＞x-3$
第一步：去分母，两边同时乘2，得 $(x-5) + 2 ＞ 2(x-3)$
第二步：去括号，得 $x - 5 + 2 ＞ 2x - 6$
第三步：合并左侧常数项，得 $x - 3 ＞ 2x - 6$
第四步：移项，得 $x - 2x ＞ -6 + 3$
第五步：合并同类项，得 $-x ＞ -3$
第六步：系数化为1，两边同时除以-1，不等号方向改变，得 $x ＜ 3$
【答案】
(1) $x＜\dfrac{3}{2}$；(2) $x＜3$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式的基础运算题，核心考察解一元一次不等式的标准步骤，易错点为去分母时漏乘常数项、移项未变号、系数为负时忘记改变不等号方向，平时练习时要注意规避这些错误。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于一元一次不等式求解，解题思路与一元一次方程解法类似，按照“去分母（若有分母）、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤逐步计算即可，计算时需注意：去分母时不要漏乘不含分母的项，移项要改变符号，系数化为1时如果系数为负数，不等号方向要改变。
【解析】
(1) 解不等式$4(x-1)-\dfrac{1}{2}＜x$
第一步：去括号，得 $4x - 4 - \dfrac{1}{2} ＜ x$
第二步：移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得 $4x - x ＜ 4 + \dfrac{1}{2}$
第三步：合并同类项，得 $3x ＜ \dfrac{9}{2}$
第四步：系数化为1，两边同时除以3，得 $x ＜ \dfrac{3}{2}$
(2) 解不等式$\dfrac{x-5}{2}+1＞x-3$
第一步：去分母，两边同时乘2，得 $(x-5) + 2 ＞ 2(x-3)$
第二步：去括号，得 $x - 5 + 2 ＞ 2x - 6$
第三步：合并左侧常数项，得 $x - 3 ＞ 2x - 6$
第四步：移项，得 $x - 2x ＞ -6 + 3$
第五步：合并同类项，得 $-x ＞ -3$
第六步：系数化为1，两边同时除以-1，不等号方向改变，得 $x ＜ 3$
【答案】
(1) $x＜\dfrac{3}{2}$；(2) $x＜3$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式的基础运算题，核心考察解一元一次不等式的标准步骤，易错点为去分母时漏乘常数项、移项未变号、系数为负时忘记改变不等号方向，平时练习时要注意规避这些错误。
【难度系数】
0.8
8. 如图,一块四边形的草地ABCD,其中∠A=60°,∠B=∠D=90°,AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积.
答案
8. $150\sqrt{3}\ \mathrm{m^2}$
解析
【分析】
直接求不规则四边形ABCD的面积没有对应的公式，我们可以采用补形法转化为熟悉的图形求解：延长AD、BC交于点E，将四边形转化为两个含30°角的直角三角形的面积差。先利用∠A=60°、∠B=∠D=90°推出两个直角三角形都含30°角，再结合30°直角三角形的性质和勾股定理分别算出两个三角形的面积，相减即可得到四边形面积。
【解析】
延长AD，交BC的延长线于点E。
1. 在$Rt△ ABE$中，$∠ B=90°$，$∠ A=60°$，因此$∠ E=90°-60°=30°$。
已知$AB=20\mathrm{m}$，直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，可得$AE=2AB=40\mathrm{m}$。
由勾股定理得：$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{40^2-20^2}=20\sqrt{3}\mathrm{m}$，
因此$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB× BE=\frac{1}{2}×20×20\sqrt{3}=200\sqrt{3}\mathrm{m^2}$。
2. 在$Rt△ CDE$中，$∠ CDE=90°$，$∠ E=30°$，$CD=10\mathrm{m}$，同理得$CE=2CD=20\mathrm{m}$。
由勾股定理得：$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{20^2-10^2}=10\sqrt{3}\mathrm{m}$，
因此$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}× CD× DE=\frac{1}{2}×10×10\sqrt{3}=50\sqrt{3}\mathrm{m^2}$。
3. 四边形草地的面积为：$S_{ABCD}=S_{△ ABE}-S_{△ CDE}=200\sqrt{3}-50\sqrt{3}=150\sqrt{3}\mathrm{m^2}$。
【答案】
$150\sqrt{3}\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
不规则图形面积计算，含30°直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是不规则多边形面积的典型题，核心思路是通过补形将陌生的不规则图形转化为熟悉的特殊直角三角形，利用特殊角的性质简化计算，割补、补形是解决这类含特殊角的多边形面积问题的常用技巧，要灵活掌握。
【难度系数】
0.6
直接求不规则四边形ABCD的面积没有对应的公式，我们可以采用补形法转化为熟悉的图形求解：延长AD、BC交于点E，将四边形转化为两个含30°角的直角三角形的面积差。先利用∠A=60°、∠B=∠D=90°推出两个直角三角形都含30°角，再结合30°直角三角形的性质和勾股定理分别算出两个三角形的面积，相减即可得到四边形面积。
【解析】
延长AD，交BC的延长线于点E。
1. 在$Rt△ ABE$中，$∠ B=90°$，$∠ A=60°$，因此$∠ E=90°-60°=30°$。
已知$AB=20\mathrm{m}$，直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，可得$AE=2AB=40\mathrm{m}$。
由勾股定理得：$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{40^2-20^2}=20\sqrt{3}\mathrm{m}$，
因此$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB× BE=\frac{1}{2}×20×20\sqrt{3}=200\sqrt{3}\mathrm{m^2}$。
2. 在$Rt△ CDE$中，$∠ CDE=90°$，$∠ E=30°$，$CD=10\mathrm{m}$，同理得$CE=2CD=20\mathrm{m}$。
由勾股定理得：$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{20^2-10^2}=10\sqrt{3}\mathrm{m}$，
因此$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}× CD× DE=\frac{1}{2}×10×10\sqrt{3}=50\sqrt{3}\mathrm{m^2}$。
3. 四边形草地的面积为：$S_{ABCD}=S_{△ ABE}-S_{△ CDE}=200\sqrt{3}-50\sqrt{3}=150\sqrt{3}\mathrm{m^2}$。
【答案】
$150\sqrt{3}\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
不规则图形面积计算，含30°直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是不规则多边形面积的典型题，核心思路是通过补形将陌生的不规则图形转化为熟悉的特殊直角三角形，利用特殊角的性质简化计算，割补、补形是解决这类含特殊角的多边形面积问题的常用技巧，要灵活掌握。
【难度系数】
0.6
9. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, $BD$ 是 $Rt△ ABC$ 的一条角平分线, 点 $O,E,F$ 分别在 $BD,BC,AC$ 上, 且四边形 $OECF$ 是正方形.
(1) 求证: 点 $O$ 在 $∠ BAC$ 的平分线上.
(2) 若 $AC=5,BC=12$, 求 $OE$ 的长.
(1) 求证: 点 $O$ 在 $∠ BAC$ 的平分线上.
(2) 若 $AC=5,BC=12$, 求 $OE$ 的长.
答案
9. (1)略 (2) 2
解析
【分析】
(1) 要证明点O在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点O到AB和AC两边的距离相等即可。已知四边形OECF是正方形，可得O到AC的距离等于OF，且OE=OF、OE⊥BC，再结合BD是角平分线，可推出O到AB的距离等于OE，进而得到O到AB、AC的距离相等，完成证明。
(2) 先利用勾股定理求出AB的长度，再结合角平分线的性质，得到BE=BG、AF=AG，设OE的长度为x，用含x的式子表示出AB的长度，列方程求解即可得到OE的长。
【解析】
(1) 证明：过点O作OG⊥AB于点G。
∵ 四边形OECF是正方形，
∴ OE⊥BC，OF⊥AC，且OE=OF。
∵ BD是∠ABC的角平分线，点O在BD上，OG⊥AB，OE⊥BC，
∴ OE=OG（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴ OF=OG。
又
∵ OF⊥AC，OG⊥AB，
∴ 点O在∠BAC的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
(2) 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
设OE=x，则正方形OECF中，OE=OF=EC=CF=x，
∴ BE=BC-EC=12-x，AF=AC-CF=5-x。
由角平分线的性质可知：BG=BE=12-x，AG=AF=5-x，
∵ AB=BG+AG，
∴ $12-x + 5-x =13$，
解得：x=2，即OE的长为2。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 2
【知识点】
角平分线的判定与性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、正方形和勾股定理的相关知识，第一问的解题关键是将证明点在角平分线上转化为证明点到角两边距离相等，第二问利用角平分线的性质转化线段关系，通过建立方程求解，是几何中典型的数形结合考法。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明点O在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点O到AB和AC两边的距离相等即可。已知四边形OECF是正方形，可得O到AC的距离等于OF，且OE=OF、OE⊥BC，再结合BD是角平分线，可推出O到AB的距离等于OE，进而得到O到AB、AC的距离相等，完成证明。
(2) 先利用勾股定理求出AB的长度，再结合角平分线的性质，得到BE=BG、AF=AG，设OE的长度为x，用含x的式子表示出AB的长度，列方程求解即可得到OE的长。
【解析】
(1) 证明：过点O作OG⊥AB于点G。
∵ 四边形OECF是正方形，
∴ OE⊥BC，OF⊥AC，且OE=OF。
∵ BD是∠ABC的角平分线，点O在BD上，OG⊥AB，OE⊥BC，
∴ OE=OG（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴ OF=OG。
又
∵ OF⊥AC，OG⊥AB，
∴ 点O在∠BAC的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
(2) 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
设OE=x，则正方形OECF中，OE=OF=EC=CF=x，
∴ BE=BC-EC=12-x，AF=AC-CF=5-x。
由角平分线的性质可知：BG=BE=12-x，AG=AF=5-x，
∵ AB=BG+AG，
∴ $12-x + 5-x =13$，
解得：x=2，即OE的长为2。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 2
【知识点】
角平分线的判定与性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、正方形和勾股定理的相关知识，第一问的解题关键是将证明点在角平分线上转化为证明点到角两边距离相等，第二问利用角平分线的性质转化线段关系，通过建立方程求解，是几何中典型的数形结合考法。
【难度系数】
0.65
10. 如果不等式组$\begin{cases} 3x - a ≥ 0, \\ 2x - b ＜ 0 \end{cases}$的整数解仅为1,2,3，那么适合这个不等式组的整数$a,b$组成的有序数对$(a,b)$有$\underline{\hspace{5em}}$个.
答案
10. 6
解析
【分析】
解决本题首先要先解出含参数a、b的不等式组的解集，再结合整数解仅为1、2、3的条件，确定a、b的取值范围，最后统计符合要求的整数a、b的数量，用乘法原理计算有序数对的总数。具体思路：第一步分别解两个一元一次不等式，得到x关于a、b的范围，合并为不等式组的解集；第二步根据整数解的限制，判断解集左端点要大于0、小于等于1，保证最小整数解为1且取不到0，右端点要大于3、小于等于4，保证最大整数解为3且取不到4；第三步找出范围内的整数a、b，两者数量相乘即可得到有序数对的总个数。
【解析】
首先求解不等式组：
1. 解不等式$3x - a ≥ 0$，移项得$3x ≥ a$，解得$x ≥ \frac{a}{3}$；
2. 解不等式$2x - b ＜ 0$，移项得$2x ＜ b$，解得$x ＜ \frac{b}{2}$；
因此不等式组的解集为$\frac{a}{3} ≤ x ＜ \frac{b}{2}$。
结合整数解仅为1、2、3的条件分析参数范围：
左边界：要保证x能取到1，且取不到0，可得$0 ＜ \frac{a}{3} ≤ 1$，两边同乘3得$0 ＜ a ≤ 3$，符合条件的整数a为1、2、3，共3个；
右边界：要保证x能取到3，且取不到4，可得$3 ＜ \frac{b}{2} ≤ 4$，两边同乘2得$6 ＜ b ≤ 8$，符合条件的整数b为7、8，共2个。
根据乘法原理，有序数对$(a,b)$的总个数为$3×2=6$个。
【答案】
6
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式组的整数解、参数范围求解
【点评】
本题重点考查根据不等式组的整数解确定参数取值范围，解题的核心是准确判断解集端点处等号是否成立，避免因等号取舍错误导致漏解或多解。
【难度系数】
0.65
解决本题首先要先解出含参数a、b的不等式组的解集，再结合整数解仅为1、2、3的条件，确定a、b的取值范围，最后统计符合要求的整数a、b的数量，用乘法原理计算有序数对的总数。具体思路：第一步分别解两个一元一次不等式，得到x关于a、b的范围，合并为不等式组的解集；第二步根据整数解的限制，判断解集左端点要大于0、小于等于1，保证最小整数解为1且取不到0，右端点要大于3、小于等于4，保证最大整数解为3且取不到4；第三步找出范围内的整数a、b，两者数量相乘即可得到有序数对的总个数。
【解析】
首先求解不等式组：
1. 解不等式$3x - a ≥ 0$，移项得$3x ≥ a$，解得$x ≥ \frac{a}{3}$；
2. 解不等式$2x - b ＜ 0$，移项得$2x ＜ b$，解得$x ＜ \frac{b}{2}$；
因此不等式组的解集为$\frac{a}{3} ≤ x ＜ \frac{b}{2}$。
结合整数解仅为1、2、3的条件分析参数范围：
左边界：要保证x能取到1，且取不到0，可得$0 ＜ \frac{a}{3} ≤ 1$，两边同乘3得$0 ＜ a ≤ 3$，符合条件的整数a为1、2、3，共3个；
右边界：要保证x能取到3，且取不到4，可得$3 ＜ \frac{b}{2} ≤ 4$，两边同乘2得$6 ＜ b ≤ 8$，符合条件的整数b为7、8，共2个。
根据乘法原理，有序数对$(a,b)$的总个数为$3×2=6$个。
【答案】
6
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式组的整数解、参数范围求解
【点评】
本题重点考查根据不等式组的整数解确定参数取值范围，解题的核心是准确判断解集端点处等号是否成立，避免因等号取舍错误导致漏解或多解。
【难度系数】
0.65
11. 若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} x-y=2m+1, \\ x+3y=3 \end{cases}$的解满足$x+y＞0$,则$m$的取值范围是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
11. $m＞-2$
解析
【分析】
要解决这道题，核心是先得到x+y用含m的代数式表示，再结合x+y＞0的条件列不等式求解。有两种思考路径：一是常规思路，先通过消元法解二元一次方程组，用含m的式子分别表示出x和y，再相加得到x+y的表达式；二是观察两个方程的系数特点，将两个方程直接相加，可快速整理出含x+y的式子，用整体思想简化计算。
【解析】
解：将方程组中两个方程相加，得：
$\begin{aligned}(x-y)+(x+3y)&=2m+1+3 \\2x+2y&=2m+4\end{aligned}$
等式两边同时除以2，可得：
$x+y=m+2$
已知$x+y＞0$，代入得不等式：
$m+2＞0$
解得：$m＞-2$
【答案】
$m＞-2$
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次不等式的求解；整体思想的应用
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合基础题，既可以用常规消元法求解，也可观察方程特征用整体思想快速计算，侧重考查基础运算能力和灵活解题的意识。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，核心是先得到x+y用含m的代数式表示，再结合x+y＞0的条件列不等式求解。有两种思考路径：一是常规思路，先通过消元法解二元一次方程组，用含m的式子分别表示出x和y，再相加得到x+y的表达式；二是观察两个方程的系数特点，将两个方程直接相加，可快速整理出含x+y的式子，用整体思想简化计算。
【解析】
解：将方程组中两个方程相加，得：
$\begin{aligned}(x-y)+(x+3y)&=2m+1+3 \\2x+2y&=2m+4\end{aligned}$
等式两边同时除以2，可得：
$x+y=m+2$
已知$x+y＞0$，代入得不等式：
$m+2＞0$
解得：$m＞-2$
【答案】
$m＞-2$
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次不等式的求解；整体思想的应用
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合基础题，既可以用常规消元法求解，也可观察方程特征用整体思想快速计算，侧重考查基础运算能力和灵活解题的意识。
【难度系数】
0.8
12. 把一些书分给几个学生,如果每人分3本,那么余8本;如果前面的每个学生分5本,那么最后一人分得的书不足3本.这些书有多少本?学生有多少人?
答案
12. 书有26本,学生有6人
解析
【分析】
本题属于分配类实际应用题，解题思路如下：①首先设未知量，选择学生人数为未知数$x$，根据“每人分3本余8本”可以用含$x$的式子表示出书的总数量；②抓住第二个分配条件的不等关系：最后一人分得的书不足3本，即最后一人的书本数大于等于0（不可能分负数本书）且小于3，而最后一人的书本数=总书数-前面$(x-1)$个学生分得的总书数，据此列出一元一次不等式组；③解不等式组得到$x$的取值范围，结合$x$为正整数的实际意义确定$x$的取值，再计算书的总数即可。
【解析】
解：设学生有$ x $人，则这些书共有$ (3x+8) $本。
根据题意，最后一人分得的书本数满足不等关系：
$\begin{cases}3x+8 - 5(x-1) ＜ 3 \\3x+8 - 5(x-1) ≥ 0\end{cases}$
解第一个不等式：
$3x+8 -5x +5 ＜ 3 \\-2x ＜ -10 \\x ＞ 5$
解第二个不等式：
$3x+8 -5x +5 ≥ 0 \\-2x ≥ -13 \\x ≤ 6.5$
所以不等式组的解集为$ 5 ＜ x ≤ 6.5 $。
因为$ x $为正整数，所以$ x = 6 $。
则书的总数为：$ 3×6 +8 = 26 $（本）
【答案】
书有26本，学生有6人
【知识点】
一元一次不等式组的应用、实际问题的整数解
【点评】
本题是不等式实际应用的常考题型，解题的核心是抓住总量不变的特征，准确提取题干中的不等关系列不等式组，最后要注意结合实际场景对解的取值进行验证，排除不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
本题属于分配类实际应用题，解题思路如下：①首先设未知量，选择学生人数为未知数$x$，根据“每人分3本余8本”可以用含$x$的式子表示出书的总数量；②抓住第二个分配条件的不等关系：最后一人分得的书不足3本，即最后一人的书本数大于等于0（不可能分负数本书）且小于3，而最后一人的书本数=总书数-前面$(x-1)$个学生分得的总书数，据此列出一元一次不等式组；③解不等式组得到$x$的取值范围，结合$x$为正整数的实际意义确定$x$的取值，再计算书的总数即可。
【解析】
解：设学生有$ x $人，则这些书共有$ (3x+8) $本。
根据题意，最后一人分得的书本数满足不等关系：
$\begin{cases}3x+8 - 5(x-1) ＜ 3 \\3x+8 - 5(x-1) ≥ 0\end{cases}$
解第一个不等式：
$3x+8 -5x +5 ＜ 3 \\-2x ＜ -10 \\x ＞ 5$
解第二个不等式：
$3x+8 -5x +5 ≥ 0 \\-2x ≥ -13 \\x ≤ 6.5$
所以不等式组的解集为$ 5 ＜ x ≤ 6.5 $。
因为$ x $为正整数，所以$ x = 6 $。
则书的总数为：$ 3×6 +8 = 26 $（本）
【答案】
书有26本，学生有6人
【知识点】
一元一次不等式组的应用、实际问题的整数解
【点评】
本题是不等式实际应用的常考题型，解题的核心是抓住总量不变的特征，准确提取题干中的不等关系列不等式组，最后要注意结合实际场景对解的取值进行验证，排除不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
