登录
1. 如果$a＞b$，$c＜0$，那么下列不等式成立的是(
A.$a+c＞b$
B.$a+c＞b-c$
C.$ac-1＞bc-1$
D.$a(c-1)＜b(c-1)$
D
).A.$a+c＞b$
B.$a+c＞b-c$
C.$ac-1＞bc-1$
D.$a(c-1)＜b(c-1)$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查不等式性质的应用，解题思路如下：首先明确已知条件为$a＞b$，$c＜0$，核心解题依据是不等式的三条基本性质，对于难以直接推导的选项，可以通过赋值法举反例快速排除错误选项，最终选出正确答案。
【解析】
我们结合已知条件逐一分析选项：
已知$a＞b$，$c＜0$。
选项A：取特殊值验证，令$a=2$，$b=1$，$c=-3$，则$a+c=2+(-3)=-1$，此时$-1＜1=b$，即$a+c＞b$不成立，故A错误；
选项B：沿用上述赋值，$b-c=1-(-3)=4$，此时$a+c=-1＜4=b-c$，即$a+c＞b-c$不成立，故B错误；
选项C：根据不等式性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，由$a＞b$、$c＜0$可得$ac＜bc$；再根据不等式两边减同一个数，不等号方向不变，可得$ac-1＜bc-1$，故C错误；
选项D：由$c＜0$可得$c-1＜-1＜0$，即$c-1$为负数，根据不等式性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，因此$a＞b$两边同时乘$c-1$可得$a(c-1)＜b(c-1)$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式性质的基础应用题型，易错点是使用不等式性质时，忽略两边乘（或除以）负数需要改变不等号方向，结合赋值法举反例可以快速排除错误选项，提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
本题考查不等式性质的应用，解题思路如下：首先明确已知条件为$a＞b$，$c＜0$，核心解题依据是不等式的三条基本性质，对于难以直接推导的选项，可以通过赋值法举反例快速排除错误选项，最终选出正确答案。
【解析】
我们结合已知条件逐一分析选项：
已知$a＞b$，$c＜0$。
选项A：取特殊值验证，令$a=2$，$b=1$，$c=-3$，则$a+c=2+(-3)=-1$，此时$-1＜1=b$，即$a+c＞b$不成立，故A错误；
选项B：沿用上述赋值，$b-c=1-(-3)=4$，此时$a+c=-1＜4=b-c$，即$a+c＞b-c$不成立，故B错误；
选项C：根据不等式性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，由$a＞b$、$c＜0$可得$ac＜bc$；再根据不等式两边减同一个数，不等号方向不变，可得$ac-1＜bc-1$，故C错误；
选项D：由$c＜0$可得$c-1＜-1＜0$，即$c-1$为负数，根据不等式性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，因此$a＞b$两边同时乘$c-1$可得$a(c-1)＜b(c-1)$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式性质的基础应用题型，易错点是使用不等式性质时，忽略两边乘（或除以）负数需要改变不等号方向，结合赋值法举反例可以快速排除错误选项，提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
2. 某隧道全长9km,有一辆汽车以不高于80km/h的速度通过该隧道,则该车通过隧道所用的时间可能是(
A.4分钟
B.5分钟
C.6分钟
D.7分钟
D
).A.4分钟
B.5分钟
C.6分钟
D.7分钟
答案
2. D
解析
【分析】
本题属于行程类实际应用题，解题思路如下：首先回忆行程问题的核心公式：路程=速度×时间，可变形为时间=路程÷速度。题目明确汽车速度不高于80km/h，即最大速度为80km/h，路程固定为9km，因此当速度取最大值时，通过隧道的时间最短，我们先计算出最短通行时间，选项中大于等于最短时间的即为符合要求的答案。计算时要注意时间单位的统一，将小时换算为分钟后再对比选项。
【解析】
已知隧道全长即汽车行驶路程$ s=9\mathrm{km} $，汽车最大行驶速度$ v_{\mathrm{max}}=80\mathrm{km/h} $。
根据行程公式$ t=\frac{s}{v} $，可得汽车通过隧道的最短时间为：
$ t_{\mathrm{min}}=\frac{s}{v_{\mathrm{max}}}=\frac{9\mathrm{km}}{80\mathrm{km/h}}=\frac{9}{80}\mathrm{h} $
将时间单位换算为分钟：因为$ 1\mathrm{h}=60\mathrm{min} $，所以$ t_{\mathrm{min}}=\frac{9}{80}×60\mathrm{min}=6.75\mathrm{min} $
即汽车通过隧道的时间最少需要6.75分钟，只有时间≥6.75分钟才符合要求，对比选项，只有7分钟满足条件。
【答案】
D
【知识点】
行程问题基本关系、单位换算、不等式实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查行程公式的应用，解题的关键是明确“速度不高于某值时，最短通行时间对应最大速度”的逻辑，计算过程中要注意小时和分钟的单位换算，避免因单位不统一出现计算错误。
【难度系数】
0.7
本题属于行程类实际应用题，解题思路如下：首先回忆行程问题的核心公式：路程=速度×时间，可变形为时间=路程÷速度。题目明确汽车速度不高于80km/h，即最大速度为80km/h，路程固定为9km，因此当速度取最大值时，通过隧道的时间最短，我们先计算出最短通行时间，选项中大于等于最短时间的即为符合要求的答案。计算时要注意时间单位的统一，将小时换算为分钟后再对比选项。
【解析】
已知隧道全长即汽车行驶路程$ s=9\mathrm{km} $，汽车最大行驶速度$ v_{\mathrm{max}}=80\mathrm{km/h} $。
根据行程公式$ t=\frac{s}{v} $，可得汽车通过隧道的最短时间为：
$ t_{\mathrm{min}}=\frac{s}{v_{\mathrm{max}}}=\frac{9\mathrm{km}}{80\mathrm{km/h}}=\frac{9}{80}\mathrm{h} $
将时间单位换算为分钟：因为$ 1\mathrm{h}=60\mathrm{min} $，所以$ t_{\mathrm{min}}=\frac{9}{80}×60\mathrm{min}=6.75\mathrm{min} $
即汽车通过隧道的时间最少需要6.75分钟，只有时间≥6.75分钟才符合要求，对比选项，只有7分钟满足条件。
【答案】
D
【知识点】
行程问题基本关系、单位换算、不等式实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查行程公式的应用，解题的关键是明确“速度不高于某值时，最短通行时间对应最大速度”的逻辑，计算过程中要注意小时和分钟的单位换算，避免因单位不统一出现计算错误。
【难度系数】
0.7
3. 解下列不等式.
(1) $\dfrac{2x-1}{3} ＜ 3-x$
(2) $3(x-1) ≤ \dfrac{x+4}{2}$
(1) $\dfrac{2x-1}{3} ＜ 3-x$
(2) $3(x-1) ≤ \dfrac{x+4}{2}$
答案
3. (1) $x＜2$ (2) $x≤ 2$
解析
【分析】
解一元一次不等式的思路与一元一次方程类似，遵循“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤求解即可。解题时需注意两点：一是去分母时不要漏乘不含分母的项；二是系数化为1时，若不等式两边同时乘或除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
(1) 解$\dfrac{2x-1}{3} ＜ 3-x$：
第一步：去分母，不等式两边同时乘3，得：
$2x-1 ＜ 9 - 3x$
第二步：移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得：
$2x + 3x ＜ 9 + 1$
第三步：合并同类项，得：
$5x ＜ 10$
第四步：系数化为1，不等式两边同时除以5（5为正数，不等号方向不变），得：
$x ＜ 2$
(2) 解$3(x-1) ≤ \dfrac{x+4}{2}$：
第一步：去分母，不等式两边同时乘2，得：
$6(x-1) ≤ x + 4$
第二步：去括号，得：
$6x - 6 ≤ x + 4$
第三步：移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得：
$6x - x ≤ 4 + 6$
第四步：合并同类项，得：
$5x ≤ 10$
第五步：系数化为1，不等式两边同时除以5（5为正数，不等号方向不变），得：
$x ≤ 2$
【答案】
(1) $x＜2$；(2) $x≤ 2$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式的基础常规题型，主要考查解一元一次不等式的标准步骤，易错点是去分母时漏乘常数项、系数化为1时错误改变不等号方向，熟练掌握运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式的思路与一元一次方程类似，遵循“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤求解即可。解题时需注意两点：一是去分母时不要漏乘不含分母的项；二是系数化为1时，若不等式两边同时乘或除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
(1) 解$\dfrac{2x-1}{3} ＜ 3-x$：
第一步：去分母，不等式两边同时乘3，得：
$2x-1 ＜ 9 - 3x$
第二步：移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得：
$2x + 3x ＜ 9 + 1$
第三步：合并同类项，得：
$5x ＜ 10$
第四步：系数化为1，不等式两边同时除以5（5为正数，不等号方向不变），得：
$x ＜ 2$
(2) 解$3(x-1) ≤ \dfrac{x+4}{2}$：
第一步：去分母，不等式两边同时乘2，得：
$6(x-1) ≤ x + 4$
第二步：去括号，得：
$6x - 6 ≤ x + 4$
第三步：移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得：
$6x - x ≤ 4 + 6$
第四步：合并同类项，得：
$5x ≤ 10$
第五步：系数化为1，不等式两边同时除以5（5为正数，不等号方向不变），得：
$x ≤ 2$
【答案】
(1) $x＜2$；(2) $x≤ 2$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式的基础常规题型，主要考查解一元一次不等式的标准步骤，易错点是去分母时漏乘常数项、系数化为1时错误改变不等号方向，熟练掌握运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
4. 根据下列表述,能确定位置的是(
A.某影院第2排
B.南京市大桥南路
C.北偏东$30°$
D.东经$118°$,北纬$40°$
D
).A.某影院第2排
B.南京市大桥南路
C.北偏东$30°$
D.东经$118°$,北纬$40°$
答案
4. D
解析
【分析】
要确定平面内一个点的唯一位置，需要两个互不关联的有效定位数据，仅有单个数据无法锁定唯一位置。我们只需要逐一判断每个选项是否具备两个独立的定位条件，就能选出正确答案。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
A. 某影院第2排：仅给出排数，未给出座位号，同一排存在多个座位，无法确定唯一位置，不符合要求；
B. 南京市大桥南路：仅给出道路名称，该道路覆盖范围大，缺少具体门牌号等补充定位信息，无法确定唯一位置，不符合要求；
C. 北偏东$30°$：仅给出方向，未给出距离观测点的距离，该方向上有无数个点，无法确定唯一位置，不符合要求；
D. 东经$118°$，北纬$40°$：经度和纬度是两个独立的定位数据，地球表面上一组经纬度可唯一对应一个具体地点，能够确定位置，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 位置确定的条件
2. 有序数对的应用
【点评】
这道题结合生活场景考查位置确定的相关知识，解题的关键是牢记确定唯一位置需要两个独立的有效数据，结合生活常识即可快速判断。
【难度系数】
0.9
要确定平面内一个点的唯一位置，需要两个互不关联的有效定位数据，仅有单个数据无法锁定唯一位置。我们只需要逐一判断每个选项是否具备两个独立的定位条件，就能选出正确答案。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
A. 某影院第2排：仅给出排数，未给出座位号，同一排存在多个座位，无法确定唯一位置，不符合要求；
B. 南京市大桥南路：仅给出道路名称，该道路覆盖范围大，缺少具体门牌号等补充定位信息，无法确定唯一位置，不符合要求；
C. 北偏东$30°$：仅给出方向，未给出距离观测点的距离，该方向上有无数个点，无法确定唯一位置，不符合要求；
D. 东经$118°$，北纬$40°$：经度和纬度是两个独立的定位数据，地球表面上一组经纬度可唯一对应一个具体地点，能够确定位置，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 位置确定的条件
2. 有序数对的应用
【点评】
这道题结合生活场景考查位置确定的相关知识，解题的关键是牢记确定唯一位置需要两个独立的有效数据，结合生活常识即可快速判断。
【难度系数】
0.9
5. 已知点 $ P(x,y) $ 在第四象限，且 $ |x|=3 $，$ |y|=5 $，则点 $ P $ 的坐标为 ______.
答案
5. $(3,-5)$
解析
【分析】
解题需结合两个核心知识点推导：一是绝对值的性质，绝对值为正数的数有两个，且互为相反数；二是第四象限内点的坐标符号特征，即横坐标为正、纵坐标为负。解题思路分为三步：首先根据绝对值的性质求出x、y的所有可能取值；再结合第四象限的坐标符号要求，筛选出x、y的正确取值；最后将符合条件的x、y组合为点P的坐标即可。
【解析】
解：
∵ $|x|=3$，根据绝对值的性质可得 $x=3$ 或 $x=-3$
∵ $|y|=5$，根据绝对值的性质可得 $y=5$ 或 $y=-5$
∵ 点 $P(x,y)$ 在第四象限，第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0
∴ $x＞0$，$y＜0$
因此符合条件的取值为 $x=3$，$y=-5$，即点P的坐标为$(3,-5)$
【答案】
$(3,-5)$
【知识点】
各象限点的坐标特征，绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平面直角坐标系中象限的坐标符号规律与绝对值的基本性质，只要熟记各象限坐标的符号特征，避免混淆符号即可快速得出答案，是坐标系相关内容的常考基础题。
【难度系数】
0.9
解题需结合两个核心知识点推导：一是绝对值的性质，绝对值为正数的数有两个，且互为相反数；二是第四象限内点的坐标符号特征，即横坐标为正、纵坐标为负。解题思路分为三步：首先根据绝对值的性质求出x、y的所有可能取值；再结合第四象限的坐标符号要求，筛选出x、y的正确取值；最后将符合条件的x、y组合为点P的坐标即可。
【解析】
解：
∵ $|x|=3$，根据绝对值的性质可得 $x=3$ 或 $x=-3$
∵ $|y|=5$，根据绝对值的性质可得 $y=5$ 或 $y=-5$
∵ 点 $P(x,y)$ 在第四象限，第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0
∴ $x＞0$，$y＜0$
因此符合条件的取值为 $x=3$，$y=-5$，即点P的坐标为$(3,-5)$
【答案】
$(3,-5)$
【知识点】
各象限点的坐标特征，绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平面直角坐标系中象限的坐标符号规律与绝对值的基本性质，只要熟记各象限坐标的符号特征，避免混淆符号即可快速得出答案，是坐标系相关内容的常考基础题。
【难度系数】
0.9
6. 已知两点$A(-1,3),B(3,5)$，点$P$为$x$轴上的一个动点.
（1）求点$A$关于$x$轴对称点$A'$的坐标.
（2）当$PA+PB$最小时，画出点$P$的位置，并求出这个最小值.
（1）求点$A$关于$x$轴对称点$A'$的坐标.
（2）当$PA+PB$最小时，画出点$P$的位置，并求出这个最小值.
答案
6. (1) $(-1,-3)$ (2) 图略,$4\sqrt{5}$
解析
【分析】
（1）求关于x轴对称的点的坐标，直接利用坐标变化规律：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为原坐标的相反数，代入A点坐标即可求解。
（2）求PA+PB的最小值属于最短路径问题，利用轴对称的性质，将PA转化为PA'（A'是A关于x轴的对称点），根据两点之间线段最短，可知当A'、P、B三点共线时，PA+PB的和最小，最小值为线段A'B的长度，再用两点间距离公式计算A'B的长度即可。画图时只需连接A'B，与x轴的交点就是点P的位置。
【解析】
（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
已知点A的坐标为$(-1,3)$，因此A关于x轴对称的点$A'$的坐标为$(-1, -3)$。
（2）①画图：作点A关于x轴的对称点$A'$，连接$A'B$，$A'B$与x轴的交点即为所求的点P（图略）。
②求最小值：由轴对称的性质可知$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$。
根据两点之间线段最短，当$A'$、$P$、$B$三点共线时，$PA'+PB$取得最小值，即为线段$A'B$的长度。
已知$A'(-1,-3)$，$B(3,5)$，根据两点间距离公式：若两点坐标为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，则两点距离为$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，代入得：
$A'B=\sqrt{[3-(-1)]^2+[5-(-3)]^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$
因此$PA+PB$的最小值为$4\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-1,-3)}$；(2) 图略，最小值为$\boldsymbol{4\sqrt{5}}$
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标规律
2. 轴对称最短路径应用
3. 两点间距离公式
【点评】
本题是轴对称应用的典型题型，核心解题思路是通过对称将同侧两点的线段和转化为异侧两点的线段和，利用两点之间线段最短求解，既考察了坐标的基本性质，也考察了转化的数学思想，掌握对称转化的思路即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
（1）求关于x轴对称的点的坐标，直接利用坐标变化规律：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为原坐标的相反数，代入A点坐标即可求解。
（2）求PA+PB的最小值属于最短路径问题，利用轴对称的性质，将PA转化为PA'（A'是A关于x轴的对称点），根据两点之间线段最短，可知当A'、P、B三点共线时，PA+PB的和最小，最小值为线段A'B的长度，再用两点间距离公式计算A'B的长度即可。画图时只需连接A'B，与x轴的交点就是点P的位置。
【解析】
（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
已知点A的坐标为$(-1,3)$，因此A关于x轴对称的点$A'$的坐标为$(-1, -3)$。
（2）①画图：作点A关于x轴的对称点$A'$，连接$A'B$，$A'B$与x轴的交点即为所求的点P（图略）。
②求最小值：由轴对称的性质可知$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$。
根据两点之间线段最短，当$A'$、$P$、$B$三点共线时，$PA'+PB$取得最小值，即为线段$A'B$的长度。
已知$A'(-1,-3)$，$B(3,5)$，根据两点间距离公式：若两点坐标为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，则两点距离为$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，代入得：
$A'B=\sqrt{[3-(-1)]^2+[5-(-3)]^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$
因此$PA+PB$的最小值为$4\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-1,-3)}$；(2) 图略，最小值为$\boldsymbol{4\sqrt{5}}$
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标规律
2. 轴对称最短路径应用
3. 两点间距离公式
【点评】
本题是轴对称应用的典型题型，核心解题思路是通过对称将同侧两点的线段和转化为异侧两点的线段和，利用两点之间线段最短求解，既考察了坐标的基本性质，也考察了转化的数学思想，掌握对称转化的思路即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
7. 下列选项中的函数，y是x的正比例函数的为(
A.$y=2x-1$
B.$y=\dfrac{1}{2x}$
C.$y=x^2$
D.$y=-2x$
D
).A.$y=2x-1$
B.$y=\dfrac{1}{2x}$
C.$y=x^2$
D.$y=-2x$
答案
7. D
解析
【分析】
解题时首先要明确正比例函数的定义标准，即形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数才是正比例函数，核心特征有三个：①含自变量的项是单项式形式；②自变量的次数为1；③没有常数项。接下来我们依次对照标准分析每个选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
首先明确正比例函数的定义：一般地，形如$y=kx$（$k$是常数，$k≠0$）的函数叫做正比例函数。
我们逐一分析选项：
选项A：$y=2x-1$含有常数项$-1$，不符合$y=kx$的形式，属于一次函数，不是正比例函数，排除；
选项B：$y=\dfrac{1}{2x}$可变形为$y=\dfrac{1}{2}x^{-1}$，自变量$x$的次数为$-1$，不符合要求，属于反比例函数，排除；
选项C：$y=x^2$中自变量$x$的次数为$2$，不符合要求，属于二次函数，排除；
选项D：$y=-2x$符合$y=kx$的形式，其中$k=-2≠0$，是正比例函数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的定义、函数类型识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确牢记正比例函数的形式特征，注意区分正比例函数和一次函数、反比例函数、二次函数的差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确正比例函数的定义标准，即形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数才是正比例函数，核心特征有三个：①含自变量的项是单项式形式；②自变量的次数为1；③没有常数项。接下来我们依次对照标准分析每个选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
首先明确正比例函数的定义：一般地，形如$y=kx$（$k$是常数，$k≠0$）的函数叫做正比例函数。
我们逐一分析选项：
选项A：$y=2x-1$含有常数项$-1$，不符合$y=kx$的形式，属于一次函数，不是正比例函数，排除；
选项B：$y=\dfrac{1}{2x}$可变形为$y=\dfrac{1}{2}x^{-1}$，自变量$x$的次数为$-1$，不符合要求，属于反比例函数，排除；
选项C：$y=x^2$中自变量$x$的次数为$2$，不符合要求，属于二次函数，排除；
选项D：$y=-2x$符合$y=kx$的形式，其中$k=-2≠0$，是正比例函数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的定义、函数类型识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确牢记正比例函数的形式特征，注意区分正比例函数和一次函数、反比例函数、二次函数的差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
