1. (2024·徐州中考)如图,将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内,若飞镖落在镖盘内各点的机会相等,则飞镖落在阴影区域的概率为 （）

A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

解析:设正方形镖盘ABCD的边长为8,
∴圆的直径为正方形的边长,即直径为8.如图,连接EG,FH,
∵EG=FH=8,
∴阴影部分的面积为$\dfrac{1}{2}EG· FH=\dfrac{1}{2}×8^2$,故飞镖落在阴影区域的概率为$\dfrac{\dfrac{1}{2}×8^2}{8^2}=\dfrac{1}{2}$.故选C.

【分析】
要计算飞镖落在阴影区域的概率，需利用几何概率的计算规则：概率等于阴影区域面积与正方形镖盘总面积的比值。首先设正方形ABCD的边长为a，可知圆的直径等于正方形的边长a；阴影部分是圆的内接正方形，其对角线长度等于圆的直径a，结合正方形面积的对角线计算方法，即可求出阴影面积，进而得到两者的比值。
【解析】
设正方形镖盘ABCD的边长为a，则正方形ABCD的面积为$a^2$。
因为圆的直径等于正方形的边长，所以圆的直径为a，而阴影部分是圆的内接正方形，其对角线长度等于圆的直径a。
根据正方形面积公式（对角线为d时，面积为$\frac{1}{2}d^2$），可得阴影部分的面积为$\frac{1}{2} × a × a = \frac{1}{2}a^2$。
因此，飞镖落在阴影区域的概率为：$\frac{\mathrm{阴影面积}}{\mathrm{正方形面积}} = \frac{\frac{1}{2}a^2}{a^2} = \frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
几何概率、正方形面积计算
【点评】
本题结合正方形与圆的性质考查几何概率，核心是利用圆内接正方形的面积计算方法，找到阴影区域与总区域的面积关系，属于中等难度的几何概率应用题。
【难度系数】
0.5

2. 把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段，则“其中一段长度大于另一段长度的2倍”的概率为。

解析:设木棒长度为1,其中一段长度为x,另一段长度为1-x,则0＜x＜1,当x＞2(1-x)或1-x＞2x时满足题意,解得$x＞\dfrac{2}{3}$或$x＜\dfrac{1}{3}$,故在0＜x＜1的范围内,$0＜x＜\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{2}{3}＜x＜1$均满足题意,在数轴上画出范围,可得满足条件的概率为$\dfrac{2}{3}$.

【分析】
本题属于几何概型问题，需将“随机折木棒”转化为在长度为1的线段上随机取点的模型。首先设木棒总长度为1，折点位置为x（0＜x＜1），则两段长度分别为x和1-x；接着根据“一段长度大于另一段长度的2倍”的条件，分情况列出不等式求解x的范围，最后利用几何概型中“事件概率=符合条件的区间长度/总区间长度”计算概率。
【解析】
设木棒长度为1，折点到木棒一端的距离为x，其中0＜x＜1，则另一段长度为1-x。
满足“其中一段长度大于另一段长度的2倍”分两种情况：
1. 若x ＞ 2(1-x)，解不等式得：3x＞2 → x＞2/3；
2. 若1-x ＞ 2x，解不等式得：3x＜1 → x＜1/3。
因此，满足条件的x的取值范围是0＜x＜1/3或2/3＜x＜1，该范围的总长度为(1/3 -0)+(1 -2/3)=2/3。
总样本空间的长度为1，故所求概率为符合条件的长度除以总长度，即2/3 ÷1=2/3。
【答案】
2/3
【知识点】
几何概型（长度型）、概率计算
【点评】
本题是几何概型的基础应用题，核心是将实际的“折木棒”问题转化为线段上的随机点问题，需分情况讨论满足条件的区间，避免遗漏，属于概率模块的基础题型，需熟练掌握几何概型的基本解法。
【难度系数】
0.5

3. 如图,正方形$ABCD$的边长为2,将长为2的线段$QR$的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果点$Q$从点$A$出发,沿图中所示方向按$A\to B\to C\to D\to A$滑动到点$A$停止,同时点$R$从点$B$出发,沿图中所示方向按$B\to C\to$$D\to A\to B$滑动到点$B$停止.点$N$是正方形$ABCD$内任一点,把点$N$落在线段$QR$的中点$M$所经过的路线围成的图形内的概率记为$P$,则$P=$.

解析:根据题意得,点M运动过程中分别到正方形各顶点的距离都为1,点M的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心,以1为半径的四个$\dfrac{1}{4}$圆弧,
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积.
∵正方形ABCD的面积为2×2=4,4个扇形的面积为4×$\dfrac{90π×1^2}{360}=π$,
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为4-π,
∴点N落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率$P=\dfrac{4-π}{4}$.

【分析】首先需确定线段QR中点M的运动轨迹：当QR在正方形相邻两边滑动时，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可知M到相邻顶点的距离恒为1，由此确定M的轨迹是以正方形各顶点为圆心、半径1的四个$\frac{1}{4}$圆弧，再计算该轨迹围成图形的面积，最后根据几何概率公式求出概率。
【解析】
1. 确定中点M的轨迹：
当QR在正方形相邻两边（如AB、BC）滑动时，$∠ B=90°$，$△ QBR$为直角三角形，QR=2，M是QR中点，根据直角三角形斜边中线性质，得$BM=\frac{1}{2}QR=1$。同理，QR在其他相邻两边滑动时，M到对应顶点的距离也为1，因此M的运动轨迹是正方形各顶点为圆心、半径1的四个$\frac{1}{4}$圆弧，围成封闭图形。
2. 计算轨迹围成图形的面积：
正方形ABCD的面积为$2×2=4$；
四个$\frac{1}{4}$扇形的面积和等于半径为1的圆的面积，即$4×\frac{1}{4}×π×1^2=π$；
故M轨迹围成图形的面积为$4-π$。
3. 计算概率：
几何概率$P$为M轨迹围成图形的面积与正方形面积的比值，即$P=\frac{4-π}{4}$。
【答案】$\frac{4-π}{4}$
【知识点】几何概率、轨迹问题、直角三角形斜边中线性质
【点评】本题关键是利用直角三角形斜边中线性质确定中点M的轨迹，进而计算面积，再结合几何概率公式求解，需具备几何分析能力，核心在于轨迹形状的判断。
【难度系数】0.5

4. (2025·泉州模拟)一个不透明的袋子中装有四个小球,上面分别标有数-2,-1,0,1,它们除了标的数不同外,其他完全相同.
(1)随机从袋子中摸出一个小球,摸出的球上面标的数为正数的概率是.
(2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球,记下上面的数作为平面直角坐标系内点$M$的横坐标;然后放回搅匀,接着小明从袋子中随机摸出一个小球,记下上面的数作为点$M$的纵坐标.如图,已知四边形$ABCD$的四个顶点的坐标分别为$A(-2,0),B(0,-2),C(1,0),D(0,1)$,请用画树状图或列表法,求点$M$落在四边形$ABCD$所围成的部分内(含边界)的概率.

(1)解析:共有4个小球,其中只有1个小球上标的数是正数,则抽到的概率为$\dfrac{1}{4}$.
(2)列表如下：
| | -2 | -1 | 0 | 1 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| -2 | (-2,-2) | (-1,-2) | (0,-2) | (1,-2) |
| -1 | (-2,-1) | (-1,-1) | (0,-1) | (1,-1) |
| 0 | (-2,0) | (-1,0) | (0,0) | (1,0) |
| 1 | (-2,1) | (-1,1) | (0,1) | (1,1) |
由表知,共有16种等可能的结果,其中点M落在四边形ABCD所围成的部分内(含边界)的有(-2,0),(-1,-1),(-1,0),(0,-2),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0),共8个,
∴点M落在四边形ABCD所围成的部分内(含边界)的概率为$\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$.

【分析】
第(1)问：先明确袋子中小球标的数，找出其中正数的数量，再根据概率公式计算摸出正数的概率；第(2)问：由于是放回式摸球，第一次和第二次摸球结果相互独立，总共有16种等可能的点M的坐标结果，通过列表法列出所有结果，再结合四边形ABCD的坐标范围，筛选出落在其内部（含边界）的点，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
(1) 袋子中共有4个小球，标的数为-2、-1、0、1，其中正数只有1个，根据概率公式：
$P(\mathrm{摸出正数})=\frac{\mathrm{正数的个数}}{\mathrm{总个数}}=\frac{1}{4}$。
(2) 放回式摸球时，所有可能的点M的坐标共有$4×4=16$种等可能结果，列表如下：
| 横坐标\纵坐标 | -2 | -1 | 0 | 1 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| -2 | (-2,-2) | (-2,-1) | (-2,0) | (-2,1) |
| -1 | (-1,-2) | (-1,-1) | (-1,0) | (-1,1) |
| 0 | (0,-2) | (0,-1) | (0,0) | (0,1) |
| 1 | (1,-2) | (1,-1) | (1,0) | (1,1) |
根据四边形ABCD的顶点坐标$A(-2,0),B(0,-2),C(1,0),D(0,1)$，落在其围成部分内（含边界）的点有：$(-2,0)、(-1,-1)、(-1,0)、(0,-2)、(0,-1)、(0,0)、(0,1)、(1,0)$，共8种。
因此$P(\mathrm{点}M\mathrm{落在四边形内})=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$；(2) $\dfrac{1}{2}$
【知识点】
概率计算、列表法求概率
【点评】
本题考查概率的基础计算，放回式试验的概率求解，通过列表法清晰呈现所有等可能结果，结合平面直角坐标系判断点的位置，是概率部分的典型基础题型，步骤清晰易懂。
【难度系数】
0.6

5.(贵阳中考)图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子,每个面上分别标有数字1,2,3,4,图②是一个正六边形棋盘,现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏,规则是将这枚骰子掷出后,看骰子向上三个面(除底面外)的数字之和是几,就从图②中的点A开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点,第二次从第一次的终点处开始,按第一次的方法跳动.
(1)随机掷一次骰子,则棋子跳动到点C处的概率是;
(2)随机掷两次骰子,用画树状图或列表的方法,求棋子最终跳动到点C处的概率.

(1)解析:将正四面体形状的骰子掷出后,骰子向上三个面的数字之和有以下4种等可能的结果:1+2+3=6;1+2+4=7;1+3+4=8;2+3+4=9.棋子从点A沿着顺时针方向分别连续跳动6,7,8,9个顶点,依次到达点A,B,C,D处,因此P(棋子跳动到点C处)=$\dfrac{1}{4}$.
(2)列表如下：
| 第二次
和
第一次 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 6 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 7 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 8 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| 9 | 15 | 16 | 17 | 18 |
由表格可知,共有16种等可能的结果,其中棋子最终跳动到点C处的结果有3种,所以P(棋子最终跳动到点C处)=$\dfrac{3}{16}$.

【分析】首先，正四面体骰子有4个面，每个面作为底面时，向上三个面的数字之和有4种等可能结果（分别为6、7、8、9）；正六边形有6个顶点，从A出发顺时针跳动n个顶点时，n除以6的余数决定到达的顶点（余数0对应A，1对应B，2对应C，3对应D，4对应E，5对应F）。第(1)问需找出单次掷骰子时，跳动到C对应的和的情况数，再计算概率；第(2)问通过列表法列举两次掷骰子的所有等可能结果，结合总步数的余数确定最终位置，找出到达C的结果数，进而计算概率。
【解析】(1) 正四面体骰子掷出后，向上三个面的数字之和的等可能结果为：$1+2+3=6$，$1+2+4=7$，$1+3+4=8$，$2+3+4=9$，共4种。正六边形顶点按顺时针为A、B、C、D、E、F，从A出发，跳动n个顶点到达的顶点：n=6时到A，n=7时到B，n=8时到C，n=9时到D。因此只有和为8时跳动到C，概率为$\dfrac{1}{4}$。
(2) 两次掷骰子，第一次和、第二次和均为6、7、8、9，列表如下：
| 第一次和\第二次和 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 6 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 7 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 8 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| 9 | 15 | 16 | 17 | 18 |
正六边形有6个顶点，总跳动步数为两次和的和，总步数除以6的余数决定最终位置：余数0→A，1→B，2→C，3→D，4→E，5→F。总步数为14时对应余数2，到达C，符合条件的结果有(6,8)、(7,7)、(8,6)，共3种，总共有16种等可能结果，故概率为$\dfrac{3}{16}$。
【答案】(1) $\dfrac{1}{4}$；(2) $\dfrac{3}{16}$
【知识点】概率计算、列表法求概率、正六边形的顶点规律
【点评】本题结合几何图形与概率知识，考查学生对概率计算的掌握，关键是明确骰子和正六边形顶点的对应关系，通过列举法分析所有可能结果，属于中等难度的中考题型。
【难度系数】0.5