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8 数形结合思想 如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，且$a+b＞0$，$ab＜0$，则原点的位置在（
A.点A的右边
B.点B的左边
C.A，B两点之间，且靠近点A
D.A，B两点之间，且靠近点B
D
）A.点A的右边
B.点B的左边
C.A，B两点之间，且靠近点A
D.A，B两点之间，且靠近点B
答案
8. D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①首先由$ab＜0$可判断$a$、$b$异号，再结合数轴上“右边的数总比左边的数大”的性质，可确定$a$为正数、$b$为负数，由此得出原点在A、B两点之间，排除掉A、B两个错误选项；②再根据$a+b＞0$，可知正数的绝对值大于负数的绝对值，也就是点A到原点的距离比点B到原点的距离大，进而判断出原点靠近点B，即可得到正确答案。
【解析】
解：第一步，判断$a$、$b$的符号：
∵ $ab＜0$，根据有理数乘法法则“异号两数相乘得负”，可知$a$和$b$异号。
又由数轴可得$a＞b$，因此$a＞0$，$b＜0$，说明原点在A、B两点之间，排除A、B选项。
第二步，判断原点的位置偏向：
∵ $a+b＞0$，根据有理数加法法则“异号两数相加，取绝对值较大的符号”，可知正数$a$的绝对值大于负数$b$的绝对值，即$|a|＞|b|$。
数轴上点到原点的距离就是该点对应数的绝对值，因此点A到原点的距离大于点B到原点的距离，说明原点更靠近点B。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用；有理数乘法法则；有理数加法法则
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，需要结合有理数的运算法则判断数的符号、绝对值大小关系，再结合数轴的性质确定原点的位置，是基础的有理数和数轴结合的题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①首先由$ab＜0$可判断$a$、$b$异号，再结合数轴上“右边的数总比左边的数大”的性质，可确定$a$为正数、$b$为负数，由此得出原点在A、B两点之间，排除掉A、B两个错误选项；②再根据$a+b＞0$，可知正数的绝对值大于负数的绝对值，也就是点A到原点的距离比点B到原点的距离大，进而判断出原点靠近点B，即可得到正确答案。
【解析】
解：第一步，判断$a$、$b$的符号：
∵ $ab＜0$，根据有理数乘法法则“异号两数相乘得负”，可知$a$和$b$异号。
又由数轴可得$a＞b$，因此$a＞0$，$b＜0$，说明原点在A、B两点之间，排除A、B选项。
第二步，判断原点的位置偏向：
∵ $a+b＞0$，根据有理数加法法则“异号两数相加，取绝对值较大的符号”，可知正数$a$的绝对值大于负数$b$的绝对值，即$|a|＞|b|$。
数轴上点到原点的距离就是该点对应数的绝对值，因此点A到原点的距离大于点B到原点的距离，说明原点更靠近点B。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用；有理数乘法法则；有理数加法法则
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，需要结合有理数的运算法则判断数的符号、绝对值大小关系，再结合数轴的性质确定原点的位置，是基础的有理数和数轴结合的题型。
【难度系数】
0.7
9 从5，-3，2，-4中任取两个数相乘，所得的积最小是 （
A.-6
B.8
C.-15
D.-20
D
）A.-6
B.8
C.-15
D.-20
答案
9. D
解析
【分析】
要解决从四个数中任取两数相乘求最小积的问题，首先回忆有理数乘法的符号规律：同号得正，异号得负，且所有正数都大于负数，因此最小的积一定是异号两数相乘得到的负数。接下来要找最小的负数，也就是绝对值最大的负数，因此只需计算所有异号两数的乘积，再比较大小即可得到结果。
【解析】
解：根据有理数乘法法则可知：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，正数大于一切负数，因此最小的积为异号两数的乘积。
列出所有异号两数相乘的结果：
① $5×(-3)=-15$
② $5×(-4)=-20$
③ $2×(-3)=-6$
④ $2×(-4)=-8$
对以上结果比较大小：$-20 ＜ -15 ＜ -8 ＜ -6$
因此所得的积最小是-20。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法法则；有理数大小比较
【点评】
本题考查有理数乘法的实际应用，解题时要先根据乘法的符号规律缩小筛选范围，再计算比较，能有效提高解题效率，避免因计算所有组合浪费时间或漏算出错。
【难度系数】
0.8
要解决从四个数中任取两数相乘求最小积的问题，首先回忆有理数乘法的符号规律：同号得正，异号得负，且所有正数都大于负数，因此最小的积一定是异号两数相乘得到的负数。接下来要找最小的负数，也就是绝对值最大的负数，因此只需计算所有异号两数的乘积，再比较大小即可得到结果。
【解析】
解：根据有理数乘法法则可知：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，正数大于一切负数，因此最小的积为异号两数的乘积。
列出所有异号两数相乘的结果：
① $5×(-3)=-15$
② $5×(-4)=-20$
③ $2×(-3)=-6$
④ $2×(-4)=-8$
对以上结果比较大小：$-20 ＜ -15 ＜ -8 ＜ -6$
因此所得的积最小是-20。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法法则；有理数大小比较
【点评】
本题考查有理数乘法的实际应用，解题时要先根据乘法的符号规律缩小筛选范围，再计算比较，能有效提高解题效率，避免因计算所有组合浪费时间或漏算出错。
【难度系数】
0.8
10 分类讨论思想 若$|x|=4$，$|y|=7$，且$x-y＞0$，则$xy=$
28或$-28$
.答案
10. 28或$-28$
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质求出x、y的所有可能取值，再结合约束条件x-y＞0（即x＞y）筛选出符合要求的x、y的取值组合，最后将每组符合条件的x、y代入计算xy的值即可，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵|x|=4，
∴x=4或x=-4；
∵|y|=7，
∴y=7或y=-7。
∵x-y＞0，
∴x＞y。
分两种情况讨论：
①当x=4时，满足x＞y的y值只能是-7，此时xy=4×(-7)=-28；
②当x=-4时，满足x＞y的y值只能是-7，此时xy=(-4)×(-7)=28。
综上，xy的值为28或-28。
【答案】
28或$-28$
【知识点】
绝对值的性质，有理数大小比较，有理数乘法运算
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题关键是先根据绝对值的性质确定未知数的全部可能取值，再结合给定的不等关系筛选出符合条件的取值，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据绝对值的性质求出x、y的所有可能取值，再结合约束条件x-y＞0（即x＞y）筛选出符合要求的x、y的取值组合，最后将每组符合条件的x、y代入计算xy的值即可，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵|x|=4，
∴x=4或x=-4；
∵|y|=7，
∴y=7或y=-7。
∵x-y＞0，
∴x＞y。
分两种情况讨论：
①当x=4时，满足x＞y的y值只能是-7，此时xy=4×(-7)=-28；
②当x=-4时，满足x＞y的y值只能是-7，此时xy=(-4)×(-7)=28。
综上，xy的值为28或-28。
【答案】
28或$-28$
【知识点】
绝对值的性质，有理数大小比较，有理数乘法运算
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题关键是先根据绝对值的性质确定未知数的全部可能取值，再结合给定的不等关系筛选出符合条件的取值，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
11 [2026 崇川段测]若a，b均为整数，且$ab=36$，则$a+b$的最小值为
$-37$
。答案
11. $-37$
解析
【分析】
首先根据有理数乘法“同号得正”的法则，可知乘积为正的36的两个整数a、b同号，即要么同为正整数，要么同为负整数。要得到a+b的最小值，由于正数相加的和为正数，负数相加的和为负数，负数一定小于正数，因此只需考虑a、b均为负整数的情况。接下来列出所有乘积为36的负整数对，分别计算它们的和，再比较大小即可找到最小值。
【解析】
解：
∵ab=36＞0，根据有理数乘法法则“同号得正”，可得a、b同号。
∵正数相加的和为正数，负数相加的和为负数，且负数小于正数，
∴要使a+b最小，a、b应均为负整数。
列出所有乘积为36的负整数对并计算和：
①当a=-1，b=-36时，a+b=-1+(-36)=-37；
②当a=-2，b=-18时，a+b=-2+(-18)=-20；
③当a=-3，b=-12时，a+b=-3+(-12)=-15；
④当a=-4，b=-9时，a+b=-4+(-9)=-13；
⑤当a=-6，b=-6时，a+b=-6+(-6)=-12；
比较以上和的大小：-37＜-20＜-15＜-13＜-12，
因此a+b的最小值为-37。
【答案】
-37
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法运算；有理数大小比较
【点评】
本题解题关键是先根据乘法符号规律判断a、b的符号关系，再分类列举所有符合条件的整数对，易错点是容易遗漏负整数的情况，或列举不全负整数对导致结果错误。
【难度系数】
0.6
首先根据有理数乘法“同号得正”的法则，可知乘积为正的36的两个整数a、b同号，即要么同为正整数，要么同为负整数。要得到a+b的最小值，由于正数相加的和为正数，负数相加的和为负数，负数一定小于正数，因此只需考虑a、b均为负整数的情况。接下来列出所有乘积为36的负整数对，分别计算它们的和，再比较大小即可找到最小值。
【解析】
解：
∵ab=36＞0，根据有理数乘法法则“同号得正”，可得a、b同号。
∵正数相加的和为正数，负数相加的和为负数，且负数小于正数，
∴要使a+b最小，a、b应均为负整数。
列出所有乘积为36的负整数对并计算和：
①当a=-1，b=-36时，a+b=-1+(-36)=-37；
②当a=-2，b=-18时，a+b=-2+(-18)=-20；
③当a=-3，b=-12时，a+b=-3+(-12)=-15；
④当a=-4，b=-9时，a+b=-4+(-9)=-13；
⑤当a=-6，b=-6时，a+b=-6+(-6)=-12；
比较以上和的大小：-37＜-20＜-15＜-13＜-12，
因此a+b的最小值为-37。
【答案】
-37
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法运算；有理数大小比较
【点评】
本题解题关键是先根据乘法符号规律判断a、b的符号关系，再分类列举所有符合条件的整数对，易错点是容易遗漏负整数的情况，或列举不全负整数对导致结果错误。
【难度系数】
0.6
12 某数学小组的10名同学站成一列做报数游戏，规则：从前面第1名同学开始，每名同学依次报自己序号的倒数的2倍加1，第1名同学报$\frac{2}{1}+1$，第2名同学报$\frac{2}{2}+1$，第3名同学报$\frac{2}{3}+1$……这样得到的10个数的积为
66
。答案
12. 66
【解析】第1名同学报的数是$\dfrac{2}{1}+1=\dfrac{3}{1}$,第2名同学报的数是$\dfrac{2}{2}+1=\dfrac{4}{2}$,第3名同学报的数是$\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{5}{3}$,第4名同学报的数是$\dfrac{2}{4}+1=\dfrac{6}{4}$……第10名同学报的数是$\dfrac{2}{10}+1=\dfrac{12}{10}$,所以 10 个数的积为$\dfrac{3}{1} × \dfrac{4}{2} × \dfrac{5}{3} × \dfrac{6}{4} × … × \dfrac{12}{10} =\dfrac{11×12}{1×2}=66$.
【解析】第1名同学报的数是$\dfrac{2}{1}+1=\dfrac{3}{1}$,第2名同学报的数是$\dfrac{2}{2}+1=\dfrac{4}{2}$,第3名同学报的数是$\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{5}{3}$,第4名同学报的数是$\dfrac{2}{4}+1=\dfrac{6}{4}$……第10名同学报的数是$\dfrac{2}{10}+1=\dfrac{12}{10}$,所以 10 个数的积为$\dfrac{3}{1} × \dfrac{4}{2} × \dfrac{5}{3} × \dfrac{6}{4} × … × \dfrac{12}{10} =\dfrac{11×12}{1×2}=66$.
解析
【分析】
首先根据报数规则推导第n名同学报数的通用形式：第n名同学报的数为$\frac{2}{n}+1$，通分后可化简为$\frac{n+2}{n}$。如果直接逐个计算10个数再相乘，计算量较大，观察乘积中每个分数的分子和分母，可发现存在错位约分的规律，利用约分就能快速简化计算得到结果。
【解析】
根据报数规则，先写出每名同学报的数：
第1名同学报的数：$\frac{2}{1}+1=\frac{3}{1}$
第2名同学报的数：$\frac{2}{2}+1=\frac{4}{2}$
第3名同学报的数：$\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$
……
第10名同学报的数：$\frac{2}{10}+1=\frac{12}{10}$
则10个数的乘积为：
$\frac{3}{1} × \frac{4}{2} × \frac{5}{3} × \frac{6}{4} × … × \frac{12}{10}$
观察可得：分子的3与分母的3约分，分子的4与分母的4约分，……，分子的10与分母的10约分，约分后剩余：
$\frac{11×12}{1×2}=\frac{132}{2}=66$
【答案】
66
【知识点】
有理数乘法，分数约分，数字规律探究
【点评】
本题侧重考查规律提炼能力和有理数乘法的简便运算技巧，解题核心是先将每个报数化简为分数形式，再利用错位约分大幅简化计算，无需逐个运算即可快速得出结果，能有效避免计算错误。
【难度系数】
0.6
首先根据报数规则推导第n名同学报数的通用形式：第n名同学报的数为$\frac{2}{n}+1$，通分后可化简为$\frac{n+2}{n}$。如果直接逐个计算10个数再相乘，计算量较大，观察乘积中每个分数的分子和分母，可发现存在错位约分的规律，利用约分就能快速简化计算得到结果。
【解析】
根据报数规则，先写出每名同学报的数：
第1名同学报的数：$\frac{2}{1}+1=\frac{3}{1}$
第2名同学报的数：$\frac{2}{2}+1=\frac{4}{2}$
第3名同学报的数：$\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$
……
第10名同学报的数：$\frac{2}{10}+1=\frac{12}{10}$
则10个数的乘积为：
$\frac{3}{1} × \frac{4}{2} × \frac{5}{3} × \frac{6}{4} × … × \frac{12}{10}$
观察可得：分子的3与分母的3约分，分子的4与分母的4约分，……，分子的10与分母的10约分，约分后剩余：
$\frac{11×12}{1×2}=\frac{132}{2}=66$
【答案】
66
【知识点】
有理数乘法，分数约分，数字规律探究
【点评】
本题侧重考查规律提炼能力和有理数乘法的简便运算技巧，解题核心是先将每个报数化简为分数形式，再利用错位约分大幅简化计算，无需逐个运算即可快速得出结果，能有效避免计算错误。
【难度系数】
0.6
13 计算：
(1) $(-0.8) × (-\dfrac{7}{4})$；
(2) $(-1\dfrac{3}{5}) × (+3\dfrac{3}{4})$；
(3) $(-4) × (-12) - (-5) × |-11|$。
(1) $(-0.8) × (-\dfrac{7}{4})$；
(2) $(-1\dfrac{3}{5}) × (+3\dfrac{3}{4})$；
(3) $(-4) × (-12) - (-5) × |-11|$。
答案
13. (1) $\dfrac{7}{5}$ (2) $-6$ (3) 103
解析
【分析】
解决有理数乘法相关计算，首先要牢记有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；如果有小数、带分数，先统一转化为分数形式便于约分计算；涉及混合运算时，先算乘除、化简绝对值，再算加减。
(1) 两个负数相乘，符号为正，将小数化成分数后约分计算即可；
(2) 异号两数相乘，符号为负，先将带分数化为假分数，再计算绝对值的乘积；
(3) 先化简绝对值，再分别计算两个乘法运算，最后按照有理数减法规则计算结果。
【解析】
(1) 同号两数相乘得正，先确定符号，再计算绝对值乘积：
$\begin{aligned}(-0.8) × (-\dfrac{7}{4})&=0.8 × \dfrac{7}{4}\\&=\dfrac{4}{5} × \dfrac{7}{4}\\&=\dfrac{7}{5}\end{aligned}$
(2) 异号两数相乘得负，先确定符号，带分数化假分数后计算：
$\begin{aligned}(-1\dfrac{3}{5}) × (+3\dfrac{3}{4})&=-(1\dfrac{3}{5} × 3\dfrac{3}{4})\\&=-(\dfrac{8}{5} × \dfrac{15}{4})\\&=-6\end{aligned}$
(3) 先化简绝对值，再算乘法，最后算加减：
$\begin{aligned}(-4) × (-12) - (-5) × |-11|&=48 - (-5) × 11\\&=48 - (-55)\\&=48 + 55\\&=103\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{7}{5}$；(2) $-6$；(3) $103$
【知识点】
有理数乘法法则，绝对值化简，有理数混合运算
【点评】
本题是有理数乘法的基础训练题，核心考点是乘法运算的符号判定、不同形式数的转化以及混合运算顺序，熟练掌握基础规则即可顺利解题，有助于夯实有理数运算的基础。
【难度系数】
0.8
解决有理数乘法相关计算，首先要牢记有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；如果有小数、带分数，先统一转化为分数形式便于约分计算；涉及混合运算时，先算乘除、化简绝对值，再算加减。
(1) 两个负数相乘，符号为正，将小数化成分数后约分计算即可；
(2) 异号两数相乘，符号为负，先将带分数化为假分数，再计算绝对值的乘积；
(3) 先化简绝对值，再分别计算两个乘法运算，最后按照有理数减法规则计算结果。
【解析】
(1) 同号两数相乘得正，先确定符号，再计算绝对值乘积：
$\begin{aligned}(-0.8) × (-\dfrac{7}{4})&=0.8 × \dfrac{7}{4}\\&=\dfrac{4}{5} × \dfrac{7}{4}\\&=\dfrac{7}{5}\end{aligned}$
(2) 异号两数相乘得负，先确定符号，带分数化假分数后计算：
$\begin{aligned}(-1\dfrac{3}{5}) × (+3\dfrac{3}{4})&=-(1\dfrac{3}{5} × 3\dfrac{3}{4})\\&=-(\dfrac{8}{5} × \dfrac{15}{4})\\&=-6\end{aligned}$
(3) 先化简绝对值，再算乘法，最后算加减：
$\begin{aligned}(-4) × (-12) - (-5) × |-11|&=48 - (-5) × 11\\&=48 - (-55)\\&=48 + 55\\&=103\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{7}{5}$；(2) $-6$；(3) $103$
【知识点】
有理数乘法法则，绝对值化简，有理数混合运算
【点评】
本题是有理数乘法的基础训练题，核心考点是乘法运算的符号判定、不同形式数的转化以及混合运算顺序，熟练掌握基础规则即可顺利解题，有助于夯实有理数运算的基础。
【难度系数】
0.8
14 新考向 新定义题 规定一种新运算“*”:$a*b=(a+2)×2−b$,例如:$3*5=(3+2)×2−5=10−5=5$.根据运算规律解决问题.
(1)求$7*(-3)$的值;
(2)$7*(-3)$与$(-3)*7$的值相等吗?
(1)求$7*(-3)$的值;
(2)$7*(-3)$与$(-3)*7$的值相等吗?
答案
14. (1) $7 * (-3)=(7+2)×2-(-3)=21$ (2) 因为$(-3) * 7=[(-3)+2]×2-7=-9$,所以$7 * (-3)$与$(-3) * 7$的值不相等
解析
【分析】
本题是新定义运算题，解题核心是严格遵循题目给出的“*”运算规则：$a*b=(a+2)×2−b$，将对应数值代入公式后按照有理数运算顺序计算即可。(1)问直接把$a=7$、$b=-3$代入公式计算；(2)问需要先按照公式算出$(-3)*7$的值，再和(1)的结果比较大小，判断是否相等。
【解析】
(1) 根据新运算规则，将$a=7$，$b=-3$代入$a*b=(a+2)×2−b$得：
$7 * (-3)=(7+2)×2-(-3)$
先计算括号内的加法：$7+2=9$，
再计算乘法：$9×2=18$，
最后计算减法：$18-(-3)=18+3=21$。
(2) 先计算$(-3)*7$的值，此时$a=-3$，$b=7$，代入公式得：
$(-3) * 7=[(-3)+2]×2-7$
先计算括号内的加法：$-3+2=-1$，
再计算乘法：$-1×2=-2$，
最后计算减法：$-2-7=-9$。
因为$21≠-9$，所以$7 * (-3)$与$(-3)*7$的值不相等。
【答案】
(1) $\boxed{21}$；(2) 不相等
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、有理数乘法法则
【点评】
本题属于新定义类基础题型，重点考查对新运算规则的理解应用能力和有理数运算的熟练度，解题时要注意准确对应a、b的取值，运算过程中尤其要注意符号的处理，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算题，解题核心是严格遵循题目给出的“*”运算规则：$a*b=(a+2)×2−b$，将对应数值代入公式后按照有理数运算顺序计算即可。(1)问直接把$a=7$、$b=-3$代入公式计算；(2)问需要先按照公式算出$(-3)*7$的值，再和(1)的结果比较大小，判断是否相等。
【解析】
(1) 根据新运算规则，将$a=7$，$b=-3$代入$a*b=(a+2)×2−b$得：
$7 * (-3)=(7+2)×2-(-3)$
先计算括号内的加法：$7+2=9$，
再计算乘法：$9×2=18$，
最后计算减法：$18-(-3)=18+3=21$。
(2) 先计算$(-3)*7$的值，此时$a=-3$，$b=7$，代入公式得：
$(-3) * 7=[(-3)+2]×2-7$
先计算括号内的加法：$-3+2=-1$，
再计算乘法：$-1×2=-2$，
最后计算减法：$-2-7=-9$。
因为$21≠-9$，所以$7 * (-3)$与$(-3)*7$的值不相等。
【答案】
(1) $\boxed{21}$；(2) 不相等
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、有理数乘法法则
【点评】
本题属于新定义类基础题型，重点考查对新运算规则的理解应用能力和有理数运算的熟练度，解题时要注意准确对应a、b的取值，运算过程中尤其要注意符号的处理，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
