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(1)(六安金安区)如图,正方形被分成4部分,其中A与B的面积比是2:3,B与C的面积比是2:1,D的面积是14平方厘米,正方形的边长为(
14
)厘米。答案
14
解析
【分析】
解题时首先要统一A、B、C三者的面积比，利用比的基本性质把两个已知比中B的份数统一，得到三者的连比；再结合正方形的性质：对角线将正方形分成两个面积完全相等的三角形，即A与C的面积和等于B与D的面积和，都等于正方形面积的一半；接着用份数表示各部分面积，结合D的实际面积求出1份对应的面积，再计算正方形的总面积，最后求出边长。
【解析】
1. 统一面积比：已知A:B=2:3，B:C=2:1，取3和2的最小公倍数6作为B的份数，将比转化为：A:B=2:3=4:6，B:C=2:1=6:3，因此A:B:C=4:6:3。
2. 设A的面积为4k平方厘米，B的面积为6k平方厘米，C的面积为3k平方厘米。正方形对角线平分正方形面积，因此左上半部分面积=右下半部分面积，即$ S_A + S_C = S_B + S_D $。
3. 代入已知条件D的面积为14平方厘米，可得：$ 4k + 3k = 6k + 14 $，化简得$7k = 6k +14$，解得$k=14$。
4. 计算正方形总面积：半块正方形面积为$7k=7×14=98$平方厘米，总面积为$98×2=196$平方厘米。
5. 求边长：正方形面积=边长×边长，因为$14×14=196$，所以正方形边长为14厘米。
【答案】
14
【知识点】
比的应用，正方形的性质，面积计算
【点评】
本题核心是通过统一连比找到各部分面积的份数关系，再结合正方形对角线平分面积的性质建立等量关系求解，解题时要注意观察图形各部分的位置关系，找准等量关系是关键。
【难度系数】
0.5
解题时首先要统一A、B、C三者的面积比，利用比的基本性质把两个已知比中B的份数统一，得到三者的连比；再结合正方形的性质：对角线将正方形分成两个面积完全相等的三角形，即A与C的面积和等于B与D的面积和，都等于正方形面积的一半；接着用份数表示各部分面积，结合D的实际面积求出1份对应的面积，再计算正方形的总面积，最后求出边长。
【解析】
1. 统一面积比：已知A:B=2:3，B:C=2:1，取3和2的最小公倍数6作为B的份数，将比转化为：A:B=2:3=4:6，B:C=2:1=6:3，因此A:B:C=4:6:3。
2. 设A的面积为4k平方厘米，B的面积为6k平方厘米，C的面积为3k平方厘米。正方形对角线平分正方形面积，因此左上半部分面积=右下半部分面积，即$ S_A + S_C = S_B + S_D $。
3. 代入已知条件D的面积为14平方厘米，可得：$ 4k + 3k = 6k + 14 $，化简得$7k = 6k +14$，解得$k=14$。
4. 计算正方形总面积：半块正方形面积为$7k=7×14=98$平方厘米，总面积为$98×2=196$平方厘米。
5. 求边长：正方形面积=边长×边长，因为$14×14=196$，所以正方形边长为14厘米。
【答案】
14
【知识点】
比的应用，正方形的性质，面积计算
【点评】
本题核心是通过统一连比找到各部分面积的份数关系，再结合正方形对角线平分面积的性质建立等量关系求解，解题时要注意观察图形各部分的位置关系，找准等量关系是关键。
【难度系数】
0.5
(2)(苏州张家港)由两个圆心角是$90°$、半径为4厘米的扇形组合而成的图形的重叠部分是一个正方形(如图①)。要求涂色部分的面积,可以通过图形的运动进行转化(如图②③),把其中一个扇形绕正方形的一个顶点(
逆时针
)(填“顺时针”或“逆时针”)旋转(90
)°,原来的组合图形就转化成一个半圆,则涂色部分的面积是(9.12
)平方厘米。答案
逆时针 90 9.12
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：两个扇形的圆心角都是90°，合起来刚好是半圆的圆心角180°，要将组合图形转化为半圆，只需让两个扇形的圆心角拼接在一起。再对比图①到图③的变化，可得出旋转的方向和角度。计算涂色面积时，利用旋转前后图形面积不变的性质，将涂色面积转化为半圆面积减去内部长方形的面积，即可简化计算。
【解析】
1. 确定旋转方式：观察图形变换过程，将其中一个扇形绕正方形的顶点逆时针旋转90°后，两个90°扇形刚好拼成一个半径为4厘米的半圆。
2. 计算半圆的面积：
半圆面积公式：$ S_{半圆}=\frac{1}{2}π r^2 $，已知半径$ r=4 $厘米，代入得：
$ S_{半圆}=\frac{1}{2}×3.14×4^2=\frac{1}{2}×3.14×16=25.12 $（平方厘米）
3. 计算内部长方形的面积：
原重叠正方形的对角线长度等于扇形半径4厘米，将正方形沿对角线分成2个完全相同的等腰直角三角形，三角形的底为4厘米，高为$ 4÷2=2 $厘米。
单个三角形面积：$ 4×2÷2=4 $（平方厘米）
单个正方形面积：$ 4×2=8 $（平方厘米）
旋转后长方形由2个这样的正方形拼成，长方形面积：$ 8×2=16 $（平方厘米）
4. 计算涂色部分面积：
涂色面积=半圆面积-长方形面积，即$ 25.12-16=9.12 $（平方厘米）
【答案】
逆时针 90 9.12
【知识点】
图形的旋转、扇形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题通过图形旋转将不规则涂色面积转化为规则图形的面积差求解，核心是抓住旋转前后图形面积不变的特点，能有效锻炼学生的图形转化思维和空间想象能力。
【难度系数】
0.6
解题时先观察图形特征：两个扇形的圆心角都是90°，合起来刚好是半圆的圆心角180°，要将组合图形转化为半圆，只需让两个扇形的圆心角拼接在一起。再对比图①到图③的变化，可得出旋转的方向和角度。计算涂色面积时，利用旋转前后图形面积不变的性质，将涂色面积转化为半圆面积减去内部长方形的面积，即可简化计算。
【解析】
1. 确定旋转方式：观察图形变换过程，将其中一个扇形绕正方形的顶点逆时针旋转90°后，两个90°扇形刚好拼成一个半径为4厘米的半圆。
2. 计算半圆的面积：
半圆面积公式：$ S_{半圆}=\frac{1}{2}π r^2 $，已知半径$ r=4 $厘米，代入得：
$ S_{半圆}=\frac{1}{2}×3.14×4^2=\frac{1}{2}×3.14×16=25.12 $（平方厘米）
3. 计算内部长方形的面积：
原重叠正方形的对角线长度等于扇形半径4厘米，将正方形沿对角线分成2个完全相同的等腰直角三角形，三角形的底为4厘米，高为$ 4÷2=2 $厘米。
单个三角形面积：$ 4×2÷2=4 $（平方厘米）
单个正方形面积：$ 4×2=8 $（平方厘米）
旋转后长方形由2个这样的正方形拼成，长方形面积：$ 8×2=16 $（平方厘米）
4. 计算涂色部分面积：
涂色面积=半圆面积-长方形面积，即$ 25.12-16=9.12 $（平方厘米）
【答案】
逆时针 90 9.12
【知识点】
图形的旋转、扇形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题通过图形旋转将不规则涂色面积转化为规则图形的面积差求解，核心是抓住旋转前后图形面积不变的特点，能有效锻炼学生的图形转化思维和空间想象能力。
【难度系数】
0.6
2.（南通海门市）为庆祝“六一”儿童节，明明和他的同学想在黑板的上方挂一些纸环串。他们从老师那里拿了一些纸，每张纸可以做5个纸环，每30个纸环连起来为一串。下面是纸环串的做法：
如图①，将纸分成相等的5份，并裁成5张纸条；将一张纸条首尾相连粘起来，得到一个纸环。
如图②，依次将纸环串在一起，每30个纸环连成一串。
如图③，同学们想在一块6米长的黑板上方每0.5米挂一串纸环串。在6米长的黑板上方，从最左端到最右端挂满纸环串，最少需要多少张纸？
如图①，将纸分成相等的5份，并裁成5张纸条；将一张纸条首尾相连粘起来，得到一个纸环。
如图②，依次将纸环串在一起，每30个纸环连成一串。
如图③，同学们想在一块6米长的黑板上方每0.5米挂一串纸环串。在6米长的黑板上方，从最左端到最右端挂满纸环串，最少需要多少张纸？
答案
$30÷5=6$(张) $6÷0.5=12$(串)
$6×12=72$(张) 答:最少需要 72 张纸。
$6×12=72$(张) 答:最少需要 72 张纸。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：首先，先求出做1串纸环需要多少张纸，已知每张纸能做5个纸环，1串需要30个纸环，用30除以5就能得到单串所需纸张数。其次，计算6米长的黑板一共需要挂多少串纸环，已知每0.5米挂一串，用黑板总长度除以相邻两串的间隔距离，就能得到总串数。最后，用单串需要的纸张数乘总串数，即可求出最少需要的纸张总数。
【解析】
第一步：计算做1串纸环需要的纸张数
每张纸可以做5个纸环，1串需要30个纸环，因此做1串需要的纸张数为：
$30÷5=6$（张）
第二步：计算需要挂的纸环串总数量
黑板长6米，每0.5米挂一串，总串数为：
$6÷0.5=12$（串）
第三步：计算总共需要的纸张数
总纸张数=单串所需纸张数×总串数，即：
$6×12=72$（张）
答：最少需要72张纸。
【答案】
最少需要72张纸
【知识点】
除法的实际应用、乘除混合运算、间隔问题
【点评】
本题结合生活中的手工场景出题，考查学生梳理数量关系、分步解决实际问题的能力，解题的关键是先分别求出单串所需纸张数和总串数，再将两个结果相乘即可，注意不要混淆题目中的数量关系。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以分三步思考：首先，先求出做1串纸环需要多少张纸，已知每张纸能做5个纸环，1串需要30个纸环，用30除以5就能得到单串所需纸张数。其次，计算6米长的黑板一共需要挂多少串纸环，已知每0.5米挂一串，用黑板总长度除以相邻两串的间隔距离，就能得到总串数。最后，用单串需要的纸张数乘总串数，即可求出最少需要的纸张总数。
【解析】
第一步：计算做1串纸环需要的纸张数
每张纸可以做5个纸环，1串需要30个纸环，因此做1串需要的纸张数为：
$30÷5=6$（张）
第二步：计算需要挂的纸环串总数量
黑板长6米，每0.5米挂一串，总串数为：
$6÷0.5=12$（串）
第三步：计算总共需要的纸张数
总纸张数=单串所需纸张数×总串数，即：
$6×12=72$（张）
答：最少需要72张纸。
【答案】
最少需要72张纸
【知识点】
除法的实际应用、乘除混合运算、间隔问题
【点评】
本题结合生活中的手工场景出题，考查学生梳理数量关系、分步解决实际问题的能力，解题的关键是先分别求出单串所需纸张数和总串数，再将两个结果相乘即可，注意不要混淆题目中的数量关系。
【难度系数】
0.7
3.（南通通州区）某工厂要加工660个零件，甲组单独完成需要30天，乙组单独完成需要20天。如果两组合作完成，那么几天可以完成？
（1）为解决上面的问题，欢欢、明明、乐乐分别列了三种不同的算式，如下：
① 欢欢：$660÷(\dfrac{660}{30}+\dfrac{660}{20})$
② 明明：$660÷(\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{20})$
③ 乐乐：$1÷(\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{20})$
上面三种方法中，正确的有（
（2）请选择一种方法列式计算。
（1）为解决上面的问题，欢欢、明明、乐乐分别列了三种不同的算式，如下：
① 欢欢：$660÷(\dfrac{660}{30}+\dfrac{660}{20})$
② 明明：$660÷(\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{20})$
③ 乐乐：$1÷(\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{20})$
上面三种方法中，正确的有（
①③
）（填序号），请在下面写出你的评判依据。（2）请选择一种方法列式计算。
答案
（1）①③ 合作完成的时间=工作总量÷两人每天完成的零件数量
（2）选择不唯一,如方法③:$1÷(\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{20})=12$(天)
答:12 天可以完成。
（2）选择不唯一,如方法③:$1÷(\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{20})=12$(天)
答:12 天可以完成。
解析
【分析】
解决本题需要用到工程问题的核心数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率，判断算式是否正确的关键是看算式中的工作总量和工作效率是否对应。第一种思路是用具体的工作总量计算：先分别求出甲、乙两组每天加工的零件个数，求和得到两组合作每天的加工总量，再用总零件数除以合作每天的加工量，即可得到合作时间。第二种思路是把总工作量看作单位“1”：先分别求出甲、乙每天完成总工作量的分率，求和得到合作的效率和，再用单位“1”除以合作效率和，也能得到合作时间。明明的算式中具体工作总量和对应单位“1”的效率和不匹配，因此错误。第二问选择任意一种正确的方法计算即可。
【解析】
（1）逐个分析三个算式：
① 欢欢的算式：$\dfrac{660}{30}$是甲组每天加工的零件数，$\dfrac{660}{20}$是乙组每天加工的零件数，括号内的和是两组合作每天一共加工的零件数，用总零件数660除以合作每天的加工量，符合“工作时间=工作总量÷工作效率”的关系，计算结果就是合作需要的天数，所以①正确。
② 明明的算式：$\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{20}$是把总工作量看作单位“1”时两组合作的效率和，对应的工作总量应该是1，和算式中的被除数660不匹配，所以②错误。
③ 乐乐的算式：把总工作量看作单位“1”，$\dfrac{1}{30}$是甲组每天完成总工作量的分率，$\dfrac{1}{20}$是乙组每天完成总工作量的分率，括号内的和是两组合作的效率和，用单位“1”除以合作效率和，符合工程问题的数量关系，计算结果就是合作需要的天数，所以③正确。
（2）示例选择方法③计算：
$\begin{split}&1÷(\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{20})\\=&1÷(\dfrac{2}{60}+\dfrac{3}{60})\\=&1÷\dfrac{5}{60}\\=&12（天）\end{split}$
【答案】
（1）①③，评判依据：合作完成的时间=工作总量÷两人每天完成的零件数量；（2）12天可以完成。
【知识点】
工程问题，分数四则运算
【点评】
本题重点考查工程问题的两种常规解题思路，解题时要注意工作总量和工作效率的对应性，避免出现总量和效率不匹配的错误，两种解题方法可以互相验证计算结果。
【难度系数】
0.7
解决本题需要用到工程问题的核心数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率，判断算式是否正确的关键是看算式中的工作总量和工作效率是否对应。第一种思路是用具体的工作总量计算：先分别求出甲、乙两组每天加工的零件个数，求和得到两组合作每天的加工总量，再用总零件数除以合作每天的加工量，即可得到合作时间。第二种思路是把总工作量看作单位“1”：先分别求出甲、乙每天完成总工作量的分率，求和得到合作的效率和，再用单位“1”除以合作效率和，也能得到合作时间。明明的算式中具体工作总量和对应单位“1”的效率和不匹配，因此错误。第二问选择任意一种正确的方法计算即可。
【解析】
（1）逐个分析三个算式：
① 欢欢的算式：$\dfrac{660}{30}$是甲组每天加工的零件数，$\dfrac{660}{20}$是乙组每天加工的零件数，括号内的和是两组合作每天一共加工的零件数，用总零件数660除以合作每天的加工量，符合“工作时间=工作总量÷工作效率”的关系，计算结果就是合作需要的天数，所以①正确。
② 明明的算式：$\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{20}$是把总工作量看作单位“1”时两组合作的效率和，对应的工作总量应该是1，和算式中的被除数660不匹配，所以②错误。
③ 乐乐的算式：把总工作量看作单位“1”，$\dfrac{1}{30}$是甲组每天完成总工作量的分率，$\dfrac{1}{20}$是乙组每天完成总工作量的分率，括号内的和是两组合作的效率和，用单位“1”除以合作效率和，符合工程问题的数量关系，计算结果就是合作需要的天数，所以③正确。
（2）示例选择方法③计算：
$\begin{split}&1÷(\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{20})\\=&1÷(\dfrac{2}{60}+\dfrac{3}{60})\\=&1÷\dfrac{5}{60}\\=&12（天）\end{split}$
【答案】
（1）①③，评判依据：合作完成的时间=工作总量÷两人每天完成的零件数量；（2）12天可以完成。
【知识点】
工程问题，分数四则运算
【点评】
本题重点考查工程问题的两种常规解题思路，解题时要注意工作总量和工作效率的对应性，避免出现总量和效率不匹配的错误，两种解题方法可以互相验证计算结果。
【难度系数】
0.7
