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4.（苏州张家港）王阿姨开车去某地开会，她用导航查看路况，示意图如下。其中行驶缓慢路段占全程的$\frac{1}{4}$，拥堵路段占全程的$\frac{1}{10}$。
（1）本次行程，行驶畅通路段占全程的几分之几？
（2）王阿姨行驶到全程的$\frac{9}{20}$时，恰好驶出拥堵路段。她又继续行驶了全程的$\frac{2}{5}$，此时王阿姨（
（1）本次行程，行驶畅通路段占全程的几分之几？
（2）王阿姨行驶到全程的$\frac{9}{20}$时，恰好驶出拥堵路段。她又继续行驶了全程的$\frac{2}{5}$，此时王阿姨（
在
）行驶缓慢路段（填“在”或“不在”），请写出你的思考过程。答案
(1) $1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{13}{20}$ 答:行驶畅通路段占全程的$\dfrac{13}{20}$。
(2) 在 $1-(\dfrac{9}{20}+\dfrac{2}{5})=\dfrac{3}{20}$ $\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{20}$
$\dfrac{3}{20}＜\dfrac{5}{20}$ $\dfrac{3}{20}＜\dfrac{1}{4}$
(2) 在 $1-(\dfrac{9}{20}+\dfrac{2}{5})=\dfrac{3}{20}$ $\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{20}$
$\dfrac{3}{20}＜\dfrac{5}{20}$ $\dfrac{3}{20}＜\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】
（1）解决第一问时，将全程总路程看作单位“1”，要求行驶畅通路段的占比，用单位“1”依次减去行驶缓慢路段、拥堵路段的占比即可。
（2）解决第二问时，先算出王阿姨一共行驶的路程占全程的几分之几，再求出剩余未行驶的路程占比；接着将行驶缓慢路段的占比和剩余路程占比通分后比较大小，若剩余路程占比小于行驶缓慢路段的占比，说明当前位置在行驶缓慢路段内，反之则不在。
【解析】
（1）把全程看作单位“1”，计算如下：
$\begin{aligned}&1-\frac{1}{4}-\frac{1}{10}\\=&\frac{20}{20}-\frac{5}{20}-\frac{2}{20}\\=&\frac{13}{20}\end{aligned}$
（2）第一步：计算王阿姨总共行驶的路程占比：
$\frac{9}{20}+\frac{2}{5}=\frac{9}{20}+\frac{8}{20}=\frac{17}{20}$
第二步：计算剩余未行驶的路程占比：
$1-\frac{17}{20}=\frac{3}{20}$
第三步：统一分数单位比较大小：
行驶缓慢路段占比$\frac{1}{4}=\frac{5}{20}$，可得$\frac{3}{20}＜\frac{5}{20}$，即剩余路程长度小于行驶缓慢路段的长度，说明此时王阿姨在行驶缓慢路段。
【答案】
（1）行驶畅通路段占全程的$\dfrac{13}{20}$。
（2）在
【知识点】
分数加减法应用，单位“1”的应用，分数大小比较
【点评】
本题结合生活中导航路况的实际场景命题，主要考查分数加减法的实际运用，解题核心是找准单位“1”，理清各段路程的占比关系，计算异分母分数时注意先通分再运算，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问时，将全程总路程看作单位“1”，要求行驶畅通路段的占比，用单位“1”依次减去行驶缓慢路段、拥堵路段的占比即可。
（2）解决第二问时，先算出王阿姨一共行驶的路程占全程的几分之几，再求出剩余未行驶的路程占比；接着将行驶缓慢路段的占比和剩余路程占比通分后比较大小，若剩余路程占比小于行驶缓慢路段的占比，说明当前位置在行驶缓慢路段内，反之则不在。
【解析】
（1）把全程看作单位“1”，计算如下：
$\begin{aligned}&1-\frac{1}{4}-\frac{1}{10}\\=&\frac{20}{20}-\frac{5}{20}-\frac{2}{20}\\=&\frac{13}{20}\end{aligned}$
（2）第一步：计算王阿姨总共行驶的路程占比：
$\frac{9}{20}+\frac{2}{5}=\frac{9}{20}+\frac{8}{20}=\frac{17}{20}$
第二步：计算剩余未行驶的路程占比：
$1-\frac{17}{20}=\frac{3}{20}$
第三步：统一分数单位比较大小：
行驶缓慢路段占比$\frac{1}{4}=\frac{5}{20}$，可得$\frac{3}{20}＜\frac{5}{20}$，即剩余路程长度小于行驶缓慢路段的长度，说明此时王阿姨在行驶缓慢路段。
【答案】
（1）行驶畅通路段占全程的$\dfrac{13}{20}$。
（2）在
【知识点】
分数加减法应用，单位“1”的应用，分数大小比较
【点评】
本题结合生活中导航路况的实际场景命题，主要考查分数加减法的实际运用，解题核心是找准单位“1”，理清各段路程的占比关系，计算异分母分数时注意先通分再运算，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
5.（盐城）如图，正方形ABCD的边长为1 cm，涂色部分的面积之和是多少？
答案
$3.14×1^2÷4-1×1÷2=0.285(\mathrm{cm}^2)$ $1+1=2(\mathrm{cm})$ $3.14×2^2÷4-2×2÷2=1.14(\mathrm{cm}^2)$ $2+1=3(\mathrm{cm})$ $3.14×3^2÷4-3×3÷2=2.565(\mathrm{cm}^2)$
$3+1=4(\mathrm{cm})$ $3.14×4^2÷4-4×4÷2=4.56(\mathrm{cm}^2)$
$0.285+1.14+2.565+4.56=8.55(\mathrm{cm}^2)$
答:涂色部分的面积之和是$8.55\ \mathrm{cm}^2$。
$3+1=4(\mathrm{cm})$ $3.14×4^2÷4-4×4÷2=4.56(\mathrm{cm}^2)$
$0.285+1.14+2.565+4.56=8.55(\mathrm{cm}^2)$
答:涂色部分的面积之和是$8.55\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解题时首先观察涂色部分的构成：每一块涂色部分的面积都等于对应半径的四分之一圆的面积，减去圆内以半径为直角边的等腰直角三角形的面积。接下来先确定4个四分之一圆的半径：已知正方形边长为1cm，四个扇形的半径依次为1cm、2cm、3cm、4cm，分别计算每块涂色部分的面积后相加，就能得到涂色部分的总面积。
【解析】
1. 计算半径为1cm的涂色部分面积：
$3.14×1^2÷4-1×1÷2=0.285(\mathrm{cm}^2)$
2. 计算半径为2cm的涂色部分面积：
半径：$1+1=2(\mathrm{cm})$
$3.14×2^2÷4-2×2÷2=1.14(\mathrm{cm}^2)$
3. 计算半径为3cm的涂色部分面积：
半径：$2+1=3(\mathrm{cm})$
$3.14×3^2÷4-3×3÷2=2.565(\mathrm{cm}^2)$
4. 计算半径为4cm的涂色部分面积：
半径：$3+1=4(\mathrm{cm})$
$3.14×4^2÷4-4×4÷2=4.56(\mathrm{cm}^2)$
5. 计算涂色部分总面积：
$0.285+1.14+2.565+4.56=8.55(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$8.55\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
扇形面积计算，三角形面积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题核心是对组合图形的拆分理解，需要准确识别每部分阴影的构成规则，找到对应扇形的半径，计算过程需要细致，避免四则运算出错。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察涂色部分的构成：每一块涂色部分的面积都等于对应半径的四分之一圆的面积，减去圆内以半径为直角边的等腰直角三角形的面积。接下来先确定4个四分之一圆的半径：已知正方形边长为1cm，四个扇形的半径依次为1cm、2cm、3cm、4cm，分别计算每块涂色部分的面积后相加，就能得到涂色部分的总面积。
【解析】
1. 计算半径为1cm的涂色部分面积：
$3.14×1^2÷4-1×1÷2=0.285(\mathrm{cm}^2)$
2. 计算半径为2cm的涂色部分面积：
半径：$1+1=2(\mathrm{cm})$
$3.14×2^2÷4-2×2÷2=1.14(\mathrm{cm}^2)$
3. 计算半径为3cm的涂色部分面积：
半径：$2+1=3(\mathrm{cm})$
$3.14×3^2÷4-3×3÷2=2.565(\mathrm{cm}^2)$
4. 计算半径为4cm的涂色部分面积：
半径：$3+1=4(\mathrm{cm})$
$3.14×4^2÷4-4×4÷2=4.56(\mathrm{cm}^2)$
5. 计算涂色部分总面积：
$0.285+1.14+2.565+4.56=8.55(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$8.55\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
扇形面积计算，三角形面积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题核心是对组合图形的拆分理解，需要准确识别每部分阴影的构成规则，找到对应扇形的半径，计算过程需要细致，避免四则运算出错。
【难度系数】
0.6
6.（温州）如图，每个小方格的边长都表示5千米。
（1）有两辆出租车分别停在点A和点B，点A出租车的位置用数对(1,2)表示，点B出租车的位置用数对(7,4)表示。位于点A的出租车先向正北方向行驶20千米到达点C( , )，再向正东方向行驶30千米到达点D( , )。在图中画出点C和点D，并顺次连接点A,C,D,B,A，形成的平面图形是(
（2）点B出租车司机准备开车到点M处接客人，再送到点N处，连接这三个点形成三角形BMN，画出三角形BMN绕点M顺时针旋转$90°$后的图形。
（1）有两辆出租车分别停在点A和点B，点A出租车的位置用数对(1,2)表示，点B出租车的位置用数对(7,4)表示。位于点A的出租车先向正北方向行驶20千米到达点C( , )，再向正东方向行驶30千米到达点D( , )。在图中画出点C和点D，并顺次连接点A,C,D,B,A，形成的平面图形是(
直角梯形
)。（2）点B出租车司机准备开车到点M处接客人，再送到点N处，连接这三个点形成三角形BMN，画出三角形BMN绕点M顺时针旋转$90°$后的图形。
答案
(1) (1,6) (7,6) 如图所示 直角梯形
(2) 如图所示
解析
【分析】
（1）首先明确数对的规则：数对第一个数表示列（正东方向为列数增加的方向），第二个数表示行（正北方向为行数增加的方向）。先通过“行驶总路程÷每格代表的长度”算出行驶的格数，再根据行驶方向调整数对的数值得到C、D的位置，最后观察连接后图形的边和角的特征判断图形类型。
（2）旋转作图要抓住三要素：旋转中心是点M、旋转方向是顺时针、旋转角度是90°。分别找到点B、点N绕M顺时针旋转90°后的对应点，再依次连接三个点即可得到旋转后的图形。
【解析】
（1）已知每个小方格边长代表5千米：
① 向正北行驶20千米的格数：$20÷5=4$（格）
点A位置为$(1,2)$，正北行驶时列数不变，行数加4，$2+4=6$，因此点C的数对是$(1,6)$。
② 向正东行驶30千米的格数：$30÷5=6$（格）
点C位置为$(1,6)$，正东行驶时行数不变，列数加6，$1+6=7$，因此点D的数对是$(7,6)$。
③ 顺次连接A、C、D、B、A后，AC和BD均为竖直方向互相平行，CD为水平方向，与AC、BD都垂直，因此形成的图形是直角梯形。
（2）旋转作图步骤：
① 以M为旋转中心，将线段MB顺时针旋转90°，保持长度不变，得到B的对应点；
② 再将线段MN顺时针旋转90°，保持长度不变，得到N的对应点；
③ 依次连接M和两个对应点，即可得到旋转后的三角形。
【答案】
(1) (1,6) (7,6) 如图所示 直角梯形
(2) 如图所示
【知识点】
数对与位置，图形的旋转，方向与位置
【点评】
本题结合生活场景，综合考查了位置辨认、数对应用、图形特征判断和旋转作图能力，注重基础几何知识的实际运用和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确数对的规则：数对第一个数表示列（正东方向为列数增加的方向），第二个数表示行（正北方向为行数增加的方向）。先通过“行驶总路程÷每格代表的长度”算出行驶的格数，再根据行驶方向调整数对的数值得到C、D的位置，最后观察连接后图形的边和角的特征判断图形类型。
（2）旋转作图要抓住三要素：旋转中心是点M、旋转方向是顺时针、旋转角度是90°。分别找到点B、点N绕M顺时针旋转90°后的对应点，再依次连接三个点即可得到旋转后的图形。
【解析】
（1）已知每个小方格边长代表5千米：
① 向正北行驶20千米的格数：$20÷5=4$（格）
点A位置为$(1,2)$，正北行驶时列数不变，行数加4，$2+4=6$，因此点C的数对是$(1,6)$。
② 向正东行驶30千米的格数：$30÷5=6$（格）
点C位置为$(1,6)$，正东行驶时行数不变，列数加6，$1+6=7$，因此点D的数对是$(7,6)$。
③ 顺次连接A、C、D、B、A后，AC和BD均为竖直方向互相平行，CD为水平方向，与AC、BD都垂直，因此形成的图形是直角梯形。
（2）旋转作图步骤：
① 以M为旋转中心，将线段MB顺时针旋转90°，保持长度不变，得到B的对应点；
② 再将线段MN顺时针旋转90°，保持长度不变，得到N的对应点；
③ 依次连接M和两个对应点，即可得到旋转后的三角形。
【答案】
(1) (1,6) (7,6) 如图所示 直角梯形
(2) 如图所示
【知识点】
数对与位置，图形的旋转，方向与位置
【点评】
本题结合生活场景，综合考查了位置辨认、数对应用、图形特征判断和旋转作图能力，注重基础几何知识的实际运用和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
7.（杭州上城区）如图，在长方形ABCD中，AB=3 cm，BC=4 cm，AC=5 cm。如果将这个长方形①绕点C顺时针旋转至长方形②，那么顶点A所经过的路线是多少厘米？此时这个长方形扫过的面积总和是多少平方厘米？（结果用含有π的式子表示）
答案
$90°÷360°=\dfrac{1}{4}$ $2π×5×\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{2}π(\mathrm{cm})$
$π×5^2×\dfrac{1}{4}+4×3=\dfrac{25}{4}π+12(\mathrm{cm}^2)$ 答:顶点 A 所经过的路线是$\dfrac{5}{2}π\ \mathrm{cm}$,此时这个长方形扫过的面积总和是$(\dfrac{25}{4}π+12)\mathrm{cm}^2$。
解析:如图,从长方形①的顶点 A 到长方形②的对应点 A',顶点 A 所经过的路线长度为半径是 5 cm、圆心角是 90°的扇形的弧长。长方形扫过的面积=三角形 ABC 的面积+扇形 ACA'的面积+三角形 A'CD'的面积,其中三角形 ABC 的面积+三角形 A'CD'的面积可转化为长方形 ABCD 的面积,据此求解。
解析
【分析】
我们分两个问题逐步思考：
1. 求顶点A经过的路线长度：旋转过程中A点绕点C做圆周运动，轨迹是一段圆弧。首先确定圆弧的半径是AC的长度5cm，长方形顺时针旋转90°，因此这段圆弧对应的圆心角是90°，占整个周角的$\frac{1}{4}$，所以路线长度就是半径为5cm的圆周长的$\frac{1}{4}$。
2. 求长方形扫过的总面积：观察旋转后的图形，扫过的区域由两部分构成：一是半径为5cm、圆心角90°的扇形ACA'的面积，二是原长方形的面积（旋转前后的两个直角三角形面积之和刚好等于长方形面积），将两部分面积相加即可得到结果。
【解析】
1. 计算顶点A经过的路线长度：
圆心角占周角的比例：$90°÷360°=\dfrac{1}{4}$
圆周长公式为$C=2πr$，其中$r=5\mathrm{cm}$，因此弧长为：
$2π×5×\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{2}π(\mathrm{cm})$
2. 计算长方形扫过的面积总和：
扇形面积公式为$S_{\mathrm{扇形}}=πr^2×\mathrm{圆心角占比}$，因此扇形面积为：
$π×5^2×\dfrac{1}{4}=\dfrac{25}{4}π(\mathrm{cm}^2)$
长方形ABCD的面积：$3×4=12(\mathrm{cm}^2)$
扫过的总面积为：$\dfrac{25}{4}π+12(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
顶点A所经过的路线是$\dfrac{5}{2}π\ \mathrm{cm}$，此时这个长方形扫过的面积总和是$(\dfrac{25}{4}π+12)\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
扇形弧长计算，扇形面积计算，图形旋转性质
【点评】
本题结合图形旋转和扇形相关计算出题，解题关键是准确判断点的运动轨迹、图形扫过的区域组成，能够很好地考查空间想象能力和几何公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
我们分两个问题逐步思考：
1. 求顶点A经过的路线长度：旋转过程中A点绕点C做圆周运动，轨迹是一段圆弧。首先确定圆弧的半径是AC的长度5cm，长方形顺时针旋转90°，因此这段圆弧对应的圆心角是90°，占整个周角的$\frac{1}{4}$，所以路线长度就是半径为5cm的圆周长的$\frac{1}{4}$。
2. 求长方形扫过的总面积：观察旋转后的图形，扫过的区域由两部分构成：一是半径为5cm、圆心角90°的扇形ACA'的面积，二是原长方形的面积（旋转前后的两个直角三角形面积之和刚好等于长方形面积），将两部分面积相加即可得到结果。
【解析】
1. 计算顶点A经过的路线长度：
圆心角占周角的比例：$90°÷360°=\dfrac{1}{4}$
圆周长公式为$C=2πr$，其中$r=5\mathrm{cm}$，因此弧长为：
$2π×5×\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{2}π(\mathrm{cm})$
2. 计算长方形扫过的面积总和：
扇形面积公式为$S_{\mathrm{扇形}}=πr^2×\mathrm{圆心角占比}$，因此扇形面积为：
$π×5^2×\dfrac{1}{4}=\dfrac{25}{4}π(\mathrm{cm}^2)$
长方形ABCD的面积：$3×4=12(\mathrm{cm}^2)$
扫过的总面积为：$\dfrac{25}{4}π+12(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
顶点A所经过的路线是$\dfrac{5}{2}π\ \mathrm{cm}$，此时这个长方形扫过的面积总和是$(\dfrac{25}{4}π+12)\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
扇形弧长计算，扇形面积计算，图形旋转性质
【点评】
本题结合图形旋转和扇形相关计算出题，解题关键是准确判断点的运动轨迹、图形扫过的区域组成，能够很好地考查空间想象能力和几何公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
