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【典例1】计算：
(1)$a · a^2 · a^3 =$
(2)$(-3ab^2c^3)^2 =$
变式.(1)$a^3b^2 · (-ab^3)^3 =$
(2)$a^5 · (-a)^2 · (-a)^4 =$
(3)$a^5 ÷ a^3 =$
(4)$(-x^4) ÷ (-x^3) =$
(1)$a · a^2 · a^3 =$
$a^6$
；(2)$(-3ab^2c^3)^2 =$
$9a^2b^4c^6$
。变式.(1)$a^3b^2 · (-ab^3)^3 =$
$-a^6b^{11}$
；(2)$a^5 · (-a)^2 · (-a)^4 =$
$a^{11}$
；(3)$a^5 ÷ a^3 =$
$a^2$
；(4)$(-x^4) ÷ (-x^3) =$
$x$
。答案
(1)$a^6$
(2)$9a^2b^4c^6$
变式.(1)$-a^6b^{11}$
(2)$a^{11}$
(3)$a^2$
(4)$x$
(2)$9a^2b^4c^6$
变式.(1)$-a^6b^{11}$
(2)$a^{11}$
(3)$a^2$
(4)$x$
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算法则的应用，解题时遵循“先算乘方，再算乘除”的顺序：①先处理幂的乘方、积的乘方运算，注意负数的奇偶次幂的符号规律；②再处理同底数幂的乘除运算，系数单独计算，同底数幂按照“乘加除减”的规律计算指数，最后合并结果即可。
【解析】
典例1
(1) 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加：
$a·a^2·a^3 = a^{1+2+3}=a^6$
(2) 根据积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方、幂的乘方底数不变指数相乘：
$(-3ab^2c^3)^2 = (-3)^2·a^2·(b^2)^2·(c^3)^2=9a^2b^4c^6$
---
变式
(1) 先算积的乘方，再算同底数幂的乘法：
原式$=a^3b^2·[(-1)^3·a^3·(b^3)^3] = a^3b^2·(-a^3b^9) = -a^{3+3}b^{2+9}=-a^6b^{11}$
(2) 先化简负数的偶次幂，再算同底数幂的乘法：
原式$=a^5·a^2·a^4 = a^{5+2+4}=a^{11}$
(3) 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减：
$a^5÷a^3=a^{5-3}=a^2$
(4) 先确定符号，再算同底数幂的除法：
$(-x^4)÷(-x^3)=x^{4-3}=x$
【答案】
(1)$a^6$
(2)$9a^2b^4c^6$
变式.(1)$-a^6b^{11}$
(2)$a^{11}$
(3)$a^2$
(4)$x$
【知识点】
同底数幂的乘除、积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题是幂的运算法则的基础训练题，核心是准确掌握各运算法则，注意运算顺序和符号判断，做题时要注意区分不同运算法则的指数计算规则，避免混淆出错。
【难度系数】
0.85
本题考查幂的相关运算法则的应用，解题时遵循“先算乘方，再算乘除”的顺序：①先处理幂的乘方、积的乘方运算，注意负数的奇偶次幂的符号规律；②再处理同底数幂的乘除运算，系数单独计算，同底数幂按照“乘加除减”的规律计算指数，最后合并结果即可。
【解析】
典例1
(1) 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加：
$a·a^2·a^3 = a^{1+2+3}=a^6$
(2) 根据积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方、幂的乘方底数不变指数相乘：
$(-3ab^2c^3)^2 = (-3)^2·a^2·(b^2)^2·(c^3)^2=9a^2b^4c^6$
---
变式
(1) 先算积的乘方，再算同底数幂的乘法：
原式$=a^3b^2·[(-1)^3·a^3·(b^3)^3] = a^3b^2·(-a^3b^9) = -a^{3+3}b^{2+9}=-a^6b^{11}$
(2) 先化简负数的偶次幂，再算同底数幂的乘法：
原式$=a^5·a^2·a^4 = a^{5+2+4}=a^{11}$
(3) 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减：
$a^5÷a^3=a^{5-3}=a^2$
(4) 先确定符号，再算同底数幂的除法：
$(-x^4)÷(-x^3)=x^{4-3}=x$
【答案】
(1)$a^6$
(2)$9a^2b^4c^6$
变式.(1)$-a^6b^{11}$
(2)$a^{11}$
(3)$a^2$
(4)$x$
【知识点】
同底数幂的乘除、积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题是幂的运算法则的基础训练题，核心是准确掌握各运算法则，注意运算顺序和符号判断，做题时要注意区分不同运算法则的指数计算规则，避免混淆出错。
【难度系数】
0.85
【典例2】计算：
(1) $-5a^2b^3 · (-4b^2c)$；
(2) $(-x^2)^3 ÷ (-x^2) + (-9x^5) ÷ (-3x)$。
(1) $-5a^2b^3 · (-4b^2c)$；
(2) $(-x^2)^3 ÷ (-x^2) + (-9x^5) ÷ (-3x)$。
答案
解:(1)原式$=20a^2b^{3+2}c$
$=20a^2b^5c$；
(2)原式$=-x^6÷(-x^2)+3x^4$
$=x^4+3x^4$
$=4x^4$。
$=20a^2b^5c$；
(2)原式$=-x^6÷(-x^2)+3x^4$
$=x^4+3x^4$
$=4x^4$。
解析
【分析】
(1) 本题属于单项式乘单项式运算，解题思路：首先确定积的符号，两个单项式的系数均为负，负负得正；再将系数相乘，同底数幂分别相乘，只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的因式即可。
(2) 本题属于整式混合运算，遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序。先根据幂的乘方法则计算乘方项，再根据同底数幂的除法法则分别计算两个除法算式，最后合并同类项得到结果，计算过程中要注意符号的正确判断。
【解析】
(1) 原式$=20a^2b^{3+2}c$
$=20a^2b^5c$
(2) 原式$=-x^6÷(-x^2)+3x^4$
$=x^4+3x^4$
$=4x^4$
【答案】
(1) $20a^2b^5c$；(2) $4x^4$
【知识点】
单项式乘单项式；幂的乘方；整式除法
【点评】
本题是整式运算的基础题，核心考查幂的相关运算法则的应用，解题时需注意运算顺序和符号判断，熟练掌握各类运算法则是快速准确解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 本题属于单项式乘单项式运算，解题思路：首先确定积的符号，两个单项式的系数均为负，负负得正；再将系数相乘，同底数幂分别相乘，只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的因式即可。
(2) 本题属于整式混合运算，遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序。先根据幂的乘方法则计算乘方项，再根据同底数幂的除法法则分别计算两个除法算式，最后合并同类项得到结果，计算过程中要注意符号的正确判断。
【解析】
(1) 原式$=20a^2b^{3+2}c$
$=20a^2b^5c$
(2) 原式$=-x^6÷(-x^2)+3x^4$
$=x^4+3x^4$
$=4x^4$
【答案】
(1) $20a^2b^5c$；(2) $4x^4$
【知识点】
单项式乘单项式；幂的乘方；整式除法
【点评】
本题是整式运算的基础题，核心考查幂的相关运算法则的应用，解题时需注意运算顺序和符号判断，熟练掌握各类运算法则是快速准确解题的关键。
【难度系数】
0.8
变式.计算:
(1)$(-3xy^2)^3 · (\frac{1}{6}xy)^2$；
(2)$28x^3y^4 ÷ (-4x^2y^2)$；
(3)$a^2 · 3a^4 - (-2a^3)^2$；
(4)$a · a^2 · (-a)^3 + (2a^3)^2 - (a^2)^2 · (-3a^2)$；
(5)$(x^4)^2 ÷ (x^2)^2 ÷ x^2 - x^2$；
(6)$(a^2)^4 · (-3a^2b) ÷ (-ab)$。
(1)$(-3xy^2)^3 · (\frac{1}{6}xy)^2$；
(2)$28x^3y^4 ÷ (-4x^2y^2)$；
(3)$a^2 · 3a^4 - (-2a^3)^2$；
(4)$a · a^2 · (-a)^3 + (2a^3)^2 - (a^2)^2 · (-3a^2)$；
(5)$(x^4)^2 ÷ (x^2)^2 ÷ x^2 - x^2$；
(6)$(a^2)^4 · (-3a^2b) ÷ (-ab)$。
答案
解:(1)原式$=-\frac{3}{4}x^5y^8$；
(2)原式$=-7xy^2$；
(3)原式$=3a^6-4a^6$
$=-a^6$；
(4)原式$=a^3·(-a^3)+4a^6+3a^6$
$=-a^6+4a^6+3a^6$
$=6a^6$；
(5)原式$=x^8÷x^4÷x^2-x^2$
$=x^4÷x^2-x^2$
$=x^2-x^2$
$=0$；
(6)原式$=a^8·(-3a^2b)÷(-ab)$
$=3a^9$。
(2)原式$=-7xy^2$；
(3)原式$=3a^6-4a^6$
$=-a^6$；
(4)原式$=a^3·(-a^3)+4a^6+3a^6$
$=-a^6+4a^6+3a^6$
$=6a^6$；
(5)原式$=x^8÷x^4÷x^2-x^2$
$=x^4÷x^2-x^2$
$=x^2-x^2$
$=0$；
(6)原式$=a^8·(-3a^2b)÷(-ab)$
$=3a^9$。
解析
【分析】
这6道题均为幂相关的整式混合运算，解题遵循“先算乘方，再算乘除，最后算加减”的运算顺序，核心用到幂的四大基础运算法则：1.幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$；2.积的乘方：$(ab)^n=a^nb^n$；3.同底数幂相乘：$a^m· a^n=a^{m+n}$；4.同底数幂相除：$a^m÷ a^n=a^{m-n}(a\ne0)$。运算时系数单独计算，注意负数奇偶次幂的符号区别，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先计算积的乘方，再计算单项式乘法：
$(-3xy^2)^3=(-3)^3· x^3· (y^2)^3=-27x^3y^6$，
$(\frac{1}{6}xy)^2=(\frac{1}{6})^2· x^2· y^2=\frac{1}{36}x^2y^2$，
原式$=-27x^3y^6 · \frac{1}{36}x^2y^2=(-27×\frac{1}{36})x^{3+2}y^{6+2}=-\frac{3}{4}x^5y^8$。
(2) 单项式除以单项式，系数、同底数幂分别相除：
原式$=(28÷(-4))· x^{3-2}· y^{4-2}=-7xy^2$。
(3) 先算乘法和乘方，再合并同类项：
$a^2· 3a^4=3a^{2+4}=3a^6$，
$(-2a^3)^2=(-2)^2· (a^3)^2=4a^6$，
原式$=3a^6-4a^6=-a^6$。
(4) 先算乘方、同底数幂乘法，再合并同类项：
$a· a^2· (-a)^3=a^3· (-a^3)=-a^{3+3}=-a^6$，
$(2a^3)^2=4a^6$，
$(a^2)^2· (-3a^2)=a^4· (-3a^2)=-3a^6$，带前面的负号得$+3a^6$，
原式$=-a^6+4a^6+3a^6=6a^6$。
(5) 先算幂的乘方，再依次算除法，最后合并同类项：
$(x^4)^2=x^8$，$(x^2)^2=x^4$，
原式$=x^8÷ x^4÷ x^2 -x^2=x^{8-4}÷ x^2 -x^2=x^4÷ x^2 -x^2=x^2 -x^2=0$。
(6) 先算幂的乘方，再算乘法，最后算除法：
$(a^2)^4=a^8$，
$a^8· (-3a^2b)=-3a^{8+2}b=-3a^{10}b$，
原式$=-3a^{10}b÷ (-ab)=3a^{10-1}b^{1-1}=3a^9$。
【答案】
(1) $-\frac{3}{4}x^5y^8$
(2) $-7xy^2$
(3) $-a^6$
(4) $6a^6$
(5) $0$
(6) $3a^9$
【知识点】
幂的运算法则；单项式乘除运算；整式混合运算
【点评】
本题属于幂的运算基础巩固类习题，核心考查对幂的各类运算法则的熟练度，运算时需注意运算顺序、符号处理，不要混淆同底数幂运算、幂的乘方的指数运算规则，熟练掌握后可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
这6道题均为幂相关的整式混合运算，解题遵循“先算乘方，再算乘除，最后算加减”的运算顺序，核心用到幂的四大基础运算法则：1.幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$；2.积的乘方：$(ab)^n=a^nb^n$；3.同底数幂相乘：$a^m· a^n=a^{m+n}$；4.同底数幂相除：$a^m÷ a^n=a^{m-n}(a\ne0)$。运算时系数单独计算，注意负数奇偶次幂的符号区别，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先计算积的乘方，再计算单项式乘法：
$(-3xy^2)^3=(-3)^3· x^3· (y^2)^3=-27x^3y^6$，
$(\frac{1}{6}xy)^2=(\frac{1}{6})^2· x^2· y^2=\frac{1}{36}x^2y^2$，
原式$=-27x^3y^6 · \frac{1}{36}x^2y^2=(-27×\frac{1}{36})x^{3+2}y^{6+2}=-\frac{3}{4}x^5y^8$。
(2) 单项式除以单项式，系数、同底数幂分别相除：
原式$=(28÷(-4))· x^{3-2}· y^{4-2}=-7xy^2$。
(3) 先算乘法和乘方，再合并同类项：
$a^2· 3a^4=3a^{2+4}=3a^6$，
$(-2a^3)^2=(-2)^2· (a^3)^2=4a^6$，
原式$=3a^6-4a^6=-a^6$。
(4) 先算乘方、同底数幂乘法，再合并同类项：
$a· a^2· (-a)^3=a^3· (-a^3)=-a^{3+3}=-a^6$，
$(2a^3)^2=4a^6$，
$(a^2)^2· (-3a^2)=a^4· (-3a^2)=-3a^6$，带前面的负号得$+3a^6$，
原式$=-a^6+4a^6+3a^6=6a^6$。
(5) 先算幂的乘方，再依次算除法，最后合并同类项：
$(x^4)^2=x^8$，$(x^2)^2=x^4$，
原式$=x^8÷ x^4÷ x^2 -x^2=x^{8-4}÷ x^2 -x^2=x^4÷ x^2 -x^2=x^2 -x^2=0$。
(6) 先算幂的乘方，再算乘法，最后算除法：
$(a^2)^4=a^8$，
$a^8· (-3a^2b)=-3a^{8+2}b=-3a^{10}b$，
原式$=-3a^{10}b÷ (-ab)=3a^{10-1}b^{1-1}=3a^9$。
【答案】
(1) $-\frac{3}{4}x^5y^8$
(2) $-7xy^2$
(3) $-a^6$
(4) $6a^6$
(5) $0$
(6) $3a^9$
【知识点】
幂的运算法则；单项式乘除运算；整式混合运算
【点评】
本题属于幂的运算基础巩固类习题，核心考查对幂的各类运算法则的熟练度，运算时需注意运算顺序、符号处理，不要混淆同底数幂运算、幂的乘方的指数运算规则，熟练掌握后可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
【典例3】计算：
(1)$8^{20} × 0.125^{20}$；
(2)$0.25^{18} × (2^{6})^{6}$。
(1)$8^{20} × 0.125^{20}$；
(2)$0.25^{18} × (2^{6})^{6}$。
答案
解:(1)原式$=(8×0.125)^{20}=1$；
(2)原式$=0.25^{18}×2^{36}=0.25^{18}×4^{18}$
$=(0.25×4)^{18}=1$。
(2)原式$=0.25^{18}×2^{36}=0.25^{18}×4^{18}$
$=(0.25×4)^{18}=1$。
解析
【分析】
这两道题均考查幂的运算法则的灵活运用，解题核心是逆用积的乘方公式简化计算：
（1）观察算式发现两个幂的指数均为20，且8与0.125的乘积为1，可直接逆用积的乘方公式$a^n·b^n=(ab)^n$计算；
（2）先利用幂的乘方法则计算$(2^6)^6$，再将所得结果转化为指数为18的幂，使得两个幂的指数相同，同时0.25与4的乘积为1，再逆用积的乘方公式即可求解。
【解析】
(1) 逆用积的乘方公式$a^n·b^n=(ab)^n$，可得：
原式$=(8×0.125)^{20}$
$=1^{20}$
$=1$
(2) 先根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$计算：
$(2^6)^6=2^{6×6}=2^{36}$
再将$2^{36}$转化为同指数幂：$2^{36}=(2^2)^{18}=4^{18}$
逆用积的乘方公式可得：
原式$=0.25^{18}×4^{18}$
$=(0.25×4)^{18}$
$=1^{18}$
$=1$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
1. 积的乘方逆运算
2. 幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂的运算基础计算题，重点考查对幂的运算法则的逆用能力，解题的关键是将算式转化为同指数幂相乘的形式，结合凑整思想简化运算，熟练掌握相关公式是快速解题的前提。
【难度系数】
0.8
这两道题均考查幂的运算法则的灵活运用，解题核心是逆用积的乘方公式简化计算：
（1）观察算式发现两个幂的指数均为20，且8与0.125的乘积为1，可直接逆用积的乘方公式$a^n·b^n=(ab)^n$计算；
（2）先利用幂的乘方法则计算$(2^6)^6$，再将所得结果转化为指数为18的幂，使得两个幂的指数相同，同时0.25与4的乘积为1，再逆用积的乘方公式即可求解。
【解析】
(1) 逆用积的乘方公式$a^n·b^n=(ab)^n$，可得：
原式$=(8×0.125)^{20}$
$=1^{20}$
$=1$
(2) 先根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$计算：
$(2^6)^6=2^{6×6}=2^{36}$
再将$2^{36}$转化为同指数幂：$2^{36}=(2^2)^{18}=4^{18}$
逆用积的乘方公式可得：
原式$=0.25^{18}×4^{18}$
$=(0.25×4)^{18}$
$=1^{18}$
$=1$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
1. 积的乘方逆运算
2. 幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂的运算基础计算题，重点考查对幂的运算法则的逆用能力，解题的关键是将算式转化为同指数幂相乘的形式，结合凑整思想简化运算，熟练掌握相关公式是快速解题的前提。
【难度系数】
0.8
变式.计算:
(1)$(-\dfrac{4}{9})^{25} × (-\dfrac{9}{4})^{26}$；
(2)$4^{30} ÷ 8^{15} ÷ 2^{14}$。
(1)$(-\dfrac{4}{9})^{25} × (-\dfrac{9}{4})^{26}$；
(2)$4^{30} ÷ 8^{15} ÷ 2^{14}$。
答案
解:(1)原式$=(-\dfrac{4}{9})^{25}×(-\dfrac{9}{4})^{25}×(-\dfrac{9}{4})=-\dfrac{9}{4}$；
(2)原式$=(2^2)^{30}÷(2^3)^{15}÷2^{14}$
$=2^{60-45-14}=2$。
(2)原式$=(2^2)^{30}÷(2^3)^{15}÷2^{14}$
$=2^{60-45-14}=2$。
解析
【分析】
(1) 观察算式发现两个底数$-\dfrac{4}{9}$和$-\dfrac{9}{4}$互为倒数，指数分别为25和26、相差1，因此可以将$(-\dfrac{9}{4})^{26}$拆分为$(-\dfrac{9}{4})^{25}×(-\dfrac{9}{4})$，再逆用积的乘方运算法则$a^n·b^n=(ab)^n$简化计算，最后注意符号处理即可。
(2) 算式中底数4、8都是2的整数次幂，因此先将所有幂的底数统一为2，再根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$化简，最后利用同底数幂的除法法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$计算指数即可。
【解析】
(1) 原式$=(-\dfrac{4}{9})^{25}×(-\dfrac{9}{4})^{25}×(-\dfrac{9}{4})$
$=[(-\dfrac{4}{9})×(-\dfrac{9}{4})]^{25}×(-\dfrac{9}{4})$
$=1^{25}×(-\dfrac{9}{4})$
$=-\dfrac{9}{4}$
(2) 原式$=(2^2)^{30}÷(2^3)^{15}÷2^{14}$
$=2^{60}÷2^{45}÷2^{14}$
$=2^{60-45-14}$
$=2^1=2$
【答案】
(1)$-\dfrac{9}{4}$；(2)$2$
【知识点】
积的乘方逆运算，幂的乘方运算，同底数幂的除法
【点评】
本题重点考查幂的运算法则的灵活运用，解题的核心是能根据式子的结构特征，通过拆分指数、统一底数等技巧简化运算，同时要注意运算过程中的符号和指数计算的准确性，避免盲目硬算导致错误。
【难度系数】
0.7
(1) 观察算式发现两个底数$-\dfrac{4}{9}$和$-\dfrac{9}{4}$互为倒数，指数分别为25和26、相差1，因此可以将$(-\dfrac{9}{4})^{26}$拆分为$(-\dfrac{9}{4})^{25}×(-\dfrac{9}{4})$，再逆用积的乘方运算法则$a^n·b^n=(ab)^n$简化计算，最后注意符号处理即可。
(2) 算式中底数4、8都是2的整数次幂，因此先将所有幂的底数统一为2，再根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$化简，最后利用同底数幂的除法法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$计算指数即可。
【解析】
(1) 原式$=(-\dfrac{4}{9})^{25}×(-\dfrac{9}{4})^{25}×(-\dfrac{9}{4})$
$=[(-\dfrac{4}{9})×(-\dfrac{9}{4})]^{25}×(-\dfrac{9}{4})$
$=1^{25}×(-\dfrac{9}{4})$
$=-\dfrac{9}{4}$
(2) 原式$=(2^2)^{30}÷(2^3)^{15}÷2^{14}$
$=2^{60}÷2^{45}÷2^{14}$
$=2^{60-45-14}$
$=2^1=2$
【答案】
(1)$-\dfrac{9}{4}$；(2)$2$
【知识点】
积的乘方逆运算，幂的乘方运算，同底数幂的除法
【点评】
本题重点考查幂的运算法则的灵活运用，解题的核心是能根据式子的结构特征，通过拆分指数、统一底数等技巧简化运算，同时要注意运算过程中的符号和指数计算的准确性，避免盲目硬算导致错误。
【难度系数】
0.7
