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【例1】化简:(1)$(6x^2 - xy) ÷ 2x =$
$3x-\dfrac{1}{2}y$
；(2)$(6ab - 4a^2) ÷ (-2a) =$ $-3b+2a$
.答案
(1)$3x-\dfrac{1}{2}y$；(2)$-3b+2a$
解析
【分析】
求解这类多项式除以单项式的题目，核心是运用多项式除以单项式的运算法则：先把多项式的每一项（包含项前面的符号）分别除以单项式，再把所有的商相加。运算时需要注意两点：一是做除法时要处理好符号，同号得正、异号得负；二是同底数幂相除时遵循“底数不变，指数相减”的规则。
【解析】
(1) 把多项式$6x^2 - xy$的两项分别除以$2x$：
$6x^2÷2x = 3x$，
$-xy÷2x = -\dfrac{1}{2}y$，
将两个商相加得$3x-\dfrac{1}{2}y$。
(2) 把多项式$6ab - 4a^2$的两项分别除以$-2a$：
$6ab÷(-2a) = -3b$，
$-4a^2÷(-2a) = 2a$，
将两个商相加得$-3b+2a$。
【答案】
(1)$3x-\dfrac{1}{2}y$；(2)$-3b+2a$
【知识点】
多项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题，核心是掌握多项式除以单项式的运算规则，易错点是运算时忽略多项式每项的符号、同底数幂的指数计算错误，只要牢记规则细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
求解这类多项式除以单项式的题目，核心是运用多项式除以单项式的运算法则：先把多项式的每一项（包含项前面的符号）分别除以单项式，再把所有的商相加。运算时需要注意两点：一是做除法时要处理好符号，同号得正、异号得负；二是同底数幂相除时遵循“底数不变，指数相减”的规则。
【解析】
(1) 把多项式$6x^2 - xy$的两项分别除以$2x$：
$6x^2÷2x = 3x$，
$-xy÷2x = -\dfrac{1}{2}y$，
将两个商相加得$3x-\dfrac{1}{2}y$。
(2) 把多项式$6ab - 4a^2$的两项分别除以$-2a$：
$6ab÷(-2a) = -3b$，
$-4a^2÷(-2a) = 2a$，
将两个商相加得$-3b+2a$。
【答案】
(1)$3x-\dfrac{1}{2}y$；(2)$-3b+2a$
【知识点】
多项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题，核心是掌握多项式除以单项式的运算规则，易错点是运算时忽略多项式每项的符号、同底数幂的指数计算错误，只要牢记规则细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
练习1.(2026·武汉)计算：$[a^3b^5 + (3a^4)^2] ÷ a^2 =$
$ab^5+9a^6$
..答案
$ab^5+9a^6$
解析
【分析】
本题是整式混合运算题，解题时先明确运算顺序：先算乘方，再算除法。首先利用积的乘方法则计算括号内的乘方项，再依据多项式除以单项式的法则，将括号内的每一项分别除以单项式$a^2$，最后根据同底数幂的除法法则计算每一项的结果，相加即可得到最终答案。
【解析】
解：先计算括号内的积的乘方：
$(3a^4)^2 = 3^2 · (a^4)^2 = 9a^8$
原式转化为：
$(a^3b^5 + 9a^8) ÷ a^2$
根据多项式除以单项式的法则，将两项分别除以$a^2$：
$= a^3b^5 ÷ a^2 + 9a^8 ÷ a^2$
根据同底数幂的除法法则“底数不变，指数相减”计算：
$a^3b^5 ÷ a^2 = a^{3-2}b^5 = ab^5$
$9a^8 ÷ a^2 = 9a^{8-2} = 9a^6$
合并结果得：$ab^5 + 9a^6$
【答案】
$ab^5+9a^6$
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的除法；多项式除以单项式
【点评】
本题属于整式运算的常规基础题，重点考察整式乘除相关运算法则的掌握情况，计算时要先理清运算顺序，不要混淆幂运算的指数变化规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题是整式混合运算题，解题时先明确运算顺序：先算乘方，再算除法。首先利用积的乘方法则计算括号内的乘方项，再依据多项式除以单项式的法则，将括号内的每一项分别除以单项式$a^2$，最后根据同底数幂的除法法则计算每一项的结果，相加即可得到最终答案。
【解析】
解：先计算括号内的积的乘方：
$(3a^4)^2 = 3^2 · (a^4)^2 = 9a^8$
原式转化为：
$(a^3b^5 + 9a^8) ÷ a^2$
根据多项式除以单项式的法则，将两项分别除以$a^2$：
$= a^3b^5 ÷ a^2 + 9a^8 ÷ a^2$
根据同底数幂的除法法则“底数不变，指数相减”计算：
$a^3b^5 ÷ a^2 = a^{3-2}b^5 = ab^5$
$9a^8 ÷ a^2 = 9a^{8-2} = 9a^6$
合并结果得：$ab^5 + 9a^6$
【答案】
$ab^5+9a^6$
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的除法；多项式除以单项式
【点评】
本题属于整式运算的常规基础题，重点考察整式乘除相关运算法则的掌握情况，计算时要先理清运算顺序，不要混淆幂运算的指数变化规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
练习2.计算$(-4a^{3}+12a^{2}b)÷(-4a^{2})$的结果为(
A.$a+2ab^{2}$
B.$a-3b$
C.$a^{2}-3b$
D.$a+3b$
B
)A.$a+2ab^{2}$
B.$a-3b$
C.$a^{2}-3b$
D.$a+3b$
答案
B
解析
【分析】
本题考查多项式除以单项式的运算，解题时先回忆对应运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。运算时要注意系数的符号处理，以及同底数幂相除的指数计算规则，逐项计算后合并结果即可得到答案。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，将原式拆分计算：
$\begin{aligned}(-4a^{3}+12a^{2}b)÷(-4a^{2})&=(-4a^{3})÷(-4a^{2}) + 12a^{2}b÷(-4a^{2})\\&= [(-4)÷(-4)]· a^{3-2} + [12÷(-4)]· a^{2-2}· b\\&=a + (-3)b\\&=a - 3b\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
多项式除以单项式；单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题，核心是掌握多项式除以单项式的运算规则，运算时需注意每一项的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
本题考查多项式除以单项式的运算，解题时先回忆对应运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。运算时要注意系数的符号处理，以及同底数幂相除的指数计算规则，逐项计算后合并结果即可得到答案。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，将原式拆分计算：
$\begin{aligned}(-4a^{3}+12a^{2}b)÷(-4a^{2})&=(-4a^{3})÷(-4a^{2}) + 12a^{2}b÷(-4a^{2})\\&= [(-4)÷(-4)]· a^{3-2} + [12÷(-4)]· a^{2-2}· b\\&=a + (-3)b\\&=a - 3b\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
多项式除以单项式；单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题，核心是掌握多项式除以单项式的运算规则，运算时需注意每一项的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
练习3.计算$(9x^2y - 6xy^2 + 3xy) ÷ 3xy$的结果为(
A.$3x - 2y$
B.$3x - 2y + 1$
C.$9x + 2y + 1$
D.$3x^2 - 2y$
B
)A.$3x - 2y$
B.$3x - 2y + 1$
C.$9x + 2y + 1$
D.$3x^2 - 2y$
答案
B
解析
【分析】
本题考查多项式除以单项式的运算，解题思路如下：首先回忆多项式除以单项式的运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。解题时先拆分原式为三个单项式的除法运算，分别计算每一项的商，注意不要漏掉最后一项的运算，同时注意运算过程中的符号，最后合并结果匹配选项即可。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，将原式各项分别除以$3xy$，再求和：
$\begin{aligned}&(9x^2y - 6xy^2 + 3xy) ÷ 3xy\\=&9x^2y÷3xy + (-6xy^2)÷3xy + 3xy÷3xy\\=&3x - 2y + 1\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握多项式除以单项式的运算规则，运算时需注意两点：一是各项的符号不要出错，二是不要漏除多项式的最后一项，避免漏写常数项1导致出错。
【难度系数】
0.8
本题考查多项式除以单项式的运算，解题思路如下：首先回忆多项式除以单项式的运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。解题时先拆分原式为三个单项式的除法运算，分别计算每一项的商，注意不要漏掉最后一项的运算，同时注意运算过程中的符号，最后合并结果匹配选项即可。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，将原式各项分别除以$3xy$，再求和：
$\begin{aligned}&(9x^2y - 6xy^2 + 3xy) ÷ 3xy\\=&9x^2y÷3xy + (-6xy^2)÷3xy + 3xy÷3xy\\=&3x - 2y + 1\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握多项式除以单项式的运算规则，运算时需注意两点：一是各项的符号不要出错，二是不要漏除多项式的最后一项，避免漏写常数项1导致出错。
【难度系数】
0.8
练习4.(教材P110T4改编)计算：
(1)$(x^2y - 2xy) ÷ (-xy)$；
(2)$(8x^3 - 4x^2) ÷ (-2x)$；
(3)$(25x^3 + 15x^2 - 20x) ÷ (-5x)$；
(4)$(12x^3 - 8x^2 + 16x) ÷ (-4x)$；
(5)$[3(a^2)^3 - 2(a^2)^4] ÷ a^6$；
(6)$[2(a^2b^3)^2 - 3ab · a^2b] ÷ (-a^3b^2)$。
(1)$(x^2y - 2xy) ÷ (-xy)$；
(2)$(8x^3 - 4x^2) ÷ (-2x)$；
(3)$(25x^3 + 15x^2 - 20x) ÷ (-5x)$；
(4)$(12x^3 - 8x^2 + 16x) ÷ (-4x)$；
(5)$[3(a^2)^3 - 2(a^2)^4] ÷ a^6$；
(6)$[2(a^2b^3)^2 - 3ab · a^2b] ÷ (-a^3b^2)$。
答案
解:(1)原式$=-x+2$；
(2)原式$=-4x^2+2x$；
(3)原式$=-5x^2-3x+4$；
(4)原式$=-3x^2+2x-4$；
(5)原式$=(3a^6-2a^8)÷a^6=3-2a^2$；
(6)原式$=(2a^4b^6-3a^3b^2)÷(-a^3b^2)$
$=-2ab^4+3$。
(2)原式$=-4x^2+2x$；
(3)原式$=-5x^2-3x+4$；
(4)原式$=-3x^2+2x-4$；
(5)原式$=(3a^6-2a^8)÷a^6=3-2a^2$；
(6)原式$=(2a^4b^6-3a^3b^2)÷(-a^3b^2)$
$=-2ab^4+3$。
解析
【分析】
这组题考查整式的除法运算，解题思路如下：1. 若被除式中含有幂的乘方、积的乘方、单项式乘法运算，先遵循整式混合运算顺序，先算乘方、再算乘法，将括号内的整式化简为最简多项式形式；2. 再依据多项式除以单项式的法则计算：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有商相加；3. 运算时注意：系数相除要注意符号（除以负单项式时每一项的符号都要改变），同底数幂相除遵循“底数不变，指数相减”的规则。
【解析】
(1) 按多项式除以单项式法则拆分计算：
原式$=x^2y÷(-xy) + (-2xy)÷(-xy) = -x + 2$
(2) 拆分每一项分别相除：
原式$=8x^3÷(-2x) + (-4x^2)÷(-2x) = -4x^2 + 2x$
(3) 拆分每一项分别相除：
原式$=25x^3÷(-5x) + 15x^2÷(-5x) + (-20x)÷(-5x) = -5x^2 - 3x + 4$
(4) 拆分每一项分别相除：
原式$=12x^3÷(-4x) + (-8x^2)÷(-4x) + 16x÷(-4x) = -3x^2 + 2x - 4$
(5) 先计算幂的乘方化简被除式，再做除法：
原式$=(3a^6 - 2a^8)÷ a^6 = 3a^6÷ a^6 + (-2a^8)÷ a^6 = 3 - 2a^2$
(6) 先计算积的乘方和单项式乘法化简被除式，再做除法：
原式$=(2a^4b^6 - 3a^3b^2)÷(-a^3b^2) = 2a^4b^6÷(-a^3b^2) + (-3a^3b^2)÷(-a^3b^2) = -2ab^4 + 3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-x+2}$；
(2) $\boldsymbol{-4x^2+2x}$；
(3) $\boldsymbol{-5x^2-3x+4}$；
(4) $\boldsymbol{-3x^2+2x-4}$；
(5) $\boldsymbol{3-2a^2}$；
(6) $\boldsymbol{-2ab^4+3}$
【知识点】
多项式除以单项式；幂的运算；整式混合运算
【点评】
本题是整式除法的基础训练题，重点考查多项式除以单项式的运算法则，运算时需注意符号的变化，涉及多层运算时要严格遵循先乘方后乘除的运算顺序，熟练掌握各类运算法则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.75
这组题考查整式的除法运算，解题思路如下：1. 若被除式中含有幂的乘方、积的乘方、单项式乘法运算，先遵循整式混合运算顺序，先算乘方、再算乘法，将括号内的整式化简为最简多项式形式；2. 再依据多项式除以单项式的法则计算：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有商相加；3. 运算时注意：系数相除要注意符号（除以负单项式时每一项的符号都要改变），同底数幂相除遵循“底数不变，指数相减”的规则。
【解析】
(1) 按多项式除以单项式法则拆分计算：
原式$=x^2y÷(-xy) + (-2xy)÷(-xy) = -x + 2$
(2) 拆分每一项分别相除：
原式$=8x^3÷(-2x) + (-4x^2)÷(-2x) = -4x^2 + 2x$
(3) 拆分每一项分别相除：
原式$=25x^3÷(-5x) + 15x^2÷(-5x) + (-20x)÷(-5x) = -5x^2 - 3x + 4$
(4) 拆分每一项分别相除：
原式$=12x^3÷(-4x) + (-8x^2)÷(-4x) + 16x÷(-4x) = -3x^2 + 2x - 4$
(5) 先计算幂的乘方化简被除式，再做除法：
原式$=(3a^6 - 2a^8)÷ a^6 = 3a^6÷ a^6 + (-2a^8)÷ a^6 = 3 - 2a^2$
(6) 先计算积的乘方和单项式乘法化简被除式，再做除法：
原式$=(2a^4b^6 - 3a^3b^2)÷(-a^3b^2) = 2a^4b^6÷(-a^3b^2) + (-3a^3b^2)÷(-a^3b^2) = -2ab^4 + 3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-x+2}$；
(2) $\boldsymbol{-4x^2+2x}$；
(3) $\boldsymbol{-5x^2-3x+4}$；
(4) $\boldsymbol{-3x^2+2x-4}$；
(5) $\boldsymbol{3-2a^2}$；
(6) $\boldsymbol{-2ab^4+3}$
【知识点】
多项式除以单项式；幂的运算；整式混合运算
【点评】
本题是整式除法的基础训练题，重点考查多项式除以单项式的运算法则，运算时需注意符号的变化，涉及多层运算时要严格遵循先乘方后乘除的运算顺序，熟练掌握各类运算法则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.75
【例2】先化简，再求值：$[(xy+2)(xy-2)-2x^2y^2+4]÷xy$，其中$x=4$，$y=-\dfrac{1}{2}$。
答案
解:原式$=(x^2y^2-4-2x^2y^2+4)÷xy$
$=-x^2y^2÷xy$
$=-xy$
当$x=4,y=-\dfrac{1}{2}$时,原式$=2$。
$=-x^2y^2÷xy$
$=-xy$
当$x=4,y=-\dfrac{1}{2}$时,原式$=2$。
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题可分两步进行：第一步先化简整式，首先利用平方差公式计算中括号内的乘积项，再合并同类项，之后根据多项式除以单项式的法则计算除法，得到最简整式；第二步将x、y的取值代入最简整式计算结果，先化简再求值能大幅减少计算量，降低出错概率。
【解析】
利用平方差公式计算中括号内的乘法：
原式$=(x^2y^2-4-2x^2y^2+4)÷xy$
合并中括号内的同类项：
$=-x^2y^2÷xy$
根据单项式除以单项式的运算法则计算：
$=-xy$
将$x=4,y=-\dfrac{1}{2}$代入最简式计算：
原式$=-4×(-\dfrac{1}{2})=2$
【答案】
2
【知识点】
平方差公式，多项式除以单项式，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规题型，核心是熟练掌握乘法公式和整式运算法则，先化简后代入求值的思路能有效提升计算效率和正确率，计算时要注意符号问题。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题可分两步进行：第一步先化简整式，首先利用平方差公式计算中括号内的乘积项，再合并同类项，之后根据多项式除以单项式的法则计算除法，得到最简整式；第二步将x、y的取值代入最简整式计算结果，先化简再求值能大幅减少计算量，降低出错概率。
【解析】
利用平方差公式计算中括号内的乘法：
原式$=(x^2y^2-4-2x^2y^2+4)÷xy$
合并中括号内的同类项：
$=-x^2y^2÷xy$
根据单项式除以单项式的运算法则计算：
$=-xy$
将$x=4,y=-\dfrac{1}{2}$代入最简式计算：
原式$=-4×(-\dfrac{1}{2})=2$
【答案】
2
【知识点】
平方差公式，多项式除以单项式，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规题型，核心是熟练掌握乘法公式和整式运算法则，先化简后代入求值的思路能有效提升计算效率和正确率，计算时要注意符号问题。
【难度系数】
0.8
练习.先化简后求值:$[(x+y)(x-y)-(x-y)^2] ÷ 2y$,其中$x=2027,y=1$.
答案
解:原式$=[x^2-y^2-(x^2+y^2-2xy)]÷2y$
$=(-2y^2+2xy)÷2y$
$=-y+x$
当$x=2027,y=1$时,原式$=2027-1=2026$。
$=(-2y^2+2xy)÷2y$
$=-y+x$
当$x=2027,y=1$时,原式$=2027-1=2026$。
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，遵循“先化简，再求值”的原则解题即可：第一步先处理中括号内的运算，按运算顺序先算乘法，分别用平方差公式计算$(x+y)(x-y)$、完全平方公式计算$(x-y)^2$；第二步去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，再合并同类项；第三步按多项式除以单项式的法则计算除法，得到最简整式；最后将$x$、$y$的取值代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：原式$=[x^2 - y^2 - (x^2 - 2xy + y^2)] ÷ 2y$
$=(x^2 - y^2 - x^2 + 2xy - y^2) ÷ 2y$
$=(2xy - 2y^2) ÷ 2y$
$=2xy÷2y - 2y^2÷2y$
$=x - y$
当$x=2027$，$y=1$时，
原式$=2027 - 1 = 2026$
【答案】
$2026$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式
【点评】
本题是整式运算的常规题型，解题的核心是熟练掌握整式乘法公式和多项式除法的运算法则，计算时要注意去括号的符号变化，避免因符号错误导致运算失误，化简后代入数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，遵循“先化简，再求值”的原则解题即可：第一步先处理中括号内的运算，按运算顺序先算乘法，分别用平方差公式计算$(x+y)(x-y)$、完全平方公式计算$(x-y)^2$；第二步去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，再合并同类项；第三步按多项式除以单项式的法则计算除法，得到最简整式；最后将$x$、$y$的取值代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：原式$=[x^2 - y^2 - (x^2 - 2xy + y^2)] ÷ 2y$
$=(x^2 - y^2 - x^2 + 2xy - y^2) ÷ 2y$
$=(2xy - 2y^2) ÷ 2y$
$=2xy÷2y - 2y^2÷2y$
$=x - y$
当$x=2027$，$y=1$时，
原式$=2027 - 1 = 2026$
【答案】
$2026$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式
【点评】
本题是整式运算的常规题型，解题的核心是熟练掌握整式乘法公式和多项式除法的运算法则，计算时要注意去括号的符号变化，避免因符号错误导致运算失误，化简后代入数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
