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1.下列各式中:①$a^6 ÷ a^3 = a^2$;②$(3a^3)^2 = 6a^6$;③$a^6 ÷ a^2 = a^3$;④$a^2 · a^3 = a^5$,其中计算正确的是(
A.①
B.②
C.③
D.④
D
)A.①
B.②
C.③
D.④
答案
D
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路为：先回忆同底数幂的乘除法、积的乘方的运算法则，再逐一验证四个式子的计算是否正确，最终选出计算正确的选项。
【解析】
根据幂的运算法则逐个判断：
① 同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$a^6 ÷ a^3 = a^{6-3}=a^3≠a^2$，①计算错误；
② 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(3a^3)^2=3^2×(a^3)^2=9a^6≠6a^6$，②计算错误；
③ 同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$a^6 ÷ a^2 = a^{6-2}=a^4≠a^3$，③计算错误；
④ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^2 · a^3 = a^{2+3}=a^5$，④计算正确。
综上，计算正确的是④，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是区分各类幂运算的指数运算规则，避免混淆同底数幂乘除的指数加减、积的乘方的系数乘方及指数乘的规则，熟练掌握法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的相关运算，解题思路为：先回忆同底数幂的乘除法、积的乘方的运算法则，再逐一验证四个式子的计算是否正确，最终选出计算正确的选项。
【解析】
根据幂的运算法则逐个判断：
① 同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$a^6 ÷ a^3 = a^{6-3}=a^3≠a^2$，①计算错误；
② 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(3a^3)^2=3^2×(a^3)^2=9a^6≠6a^6$，②计算错误；
③ 同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$a^6 ÷ a^2 = a^{6-2}=a^4≠a^3$，③计算错误；
④ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^2 · a^3 = a^{2+3}=a^5$，④计算正确。
综上，计算正确的是④，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是区分各类幂运算的指数运算规则，避免混淆同底数幂乘除的指数加减、积的乘方的系数乘方及指数乘的规则，熟练掌握法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2.计算：
(1)$-12x^6y^5 ÷ (-3x^2y^3)$；
(2)$(-3a^2)^2 · a^3 + (a^2)^3 · a^3 ÷ a^2$；
(3)$(-a^3)^2 - a^2 · a^4 + (2a^4)^2 ÷ a^2$；
(4)$(2x^3)^2 · x^2 - (-2x^3)^4 ÷ (-4x^4)$。
(1)$-12x^6y^5 ÷ (-3x^2y^3)$；
(2)$(-3a^2)^2 · a^3 + (a^2)^3 · a^3 ÷ a^2$；
(3)$(-a^3)^2 - a^2 · a^4 + (2a^4)^2 ÷ a^2$；
(4)$(2x^3)^2 · x^2 - (-2x^3)^4 ÷ (-4x^4)$。
答案
(1)原式$=4x^{6-2}y^{5-3}=4x^4y^2$；
(2)原式$=9a^4 · a^3 + a^9 ÷ a^2=9a^7+a^7=10a^7$；
(3)原式$=a^6 - a^6 + 4a^8 ÷ a^2=4a^6$；
(4)原式$=4x^8 - 16x^{12} ÷ (-4x^4)=4x^8+4x^8=8x^8$。
(2)原式$=9a^4 · a^3 + a^9 ÷ a^2=9a^7+a^7=10a^7$；
(3)原式$=a^6 - a^6 + 4a^8 ÷ a^2=4a^6$；
(4)原式$=4x^8 - 16x^{12} ÷ (-4x^4)=4x^8+4x^8=8x^8$。
解析
【分析】
这四道题均属于整式乘除相关运算，解题遵循以下思路：1. 明确运算顺序：先算乘方（幂的乘方、积的乘方），再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算；2. 对应使用运算法则：单项式除以单项式时，系数相除作为结果的系数，同底数幂分别相除，底数不变指数相减；幂的乘方底数不变指数相乘，积的乘方把积中每个因式分别乘方再把所得幂相乘；同底数幂相乘底数不变指数相加，相除则底数不变指数相减；3. 最后合并同类项得到最简结果，运算过程中注意符号判断，负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
【解析】
(1) 按照单项式除以单项式法则计算：
原式$= [(-12)÷(-3)]x^{6-2}y^{5-3}=4x^4y^2$
(2) 先计算乘方，再计算乘除，最后合并同类项：
原式$=9a^4 · a^3 + a^6 · a^3 ÷ a^2=9a^7+a^7=10a^7$
(3) 先计算乘方，再计算乘除，最后合并同类项：
原式$=a^6 - a^6 + 4a^8 ÷ a^2=4a^6$
(4) 先计算乘方，再计算乘除，最后合并同类项：
原式$=4x^6 · x^2 - 16x^{12} ÷ (-4x^4)=4x^8+4x^8=8x^8$
【答案】
(1) $4x^4y^2$；(2) $10a^7$；(3) $4a^6$；(4) $8x^8$
【知识点】
单项式除以单项式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是对幂的各类运算法则的灵活运用，解题时需注意运算顺序和符号的处理，避免出现指数运算混淆、符号判断错误的问题，熟练掌握该类运算可为后续复杂的整式混合运算打好基础。
【难度系数】
0.8
这四道题均属于整式乘除相关运算，解题遵循以下思路：1. 明确运算顺序：先算乘方（幂的乘方、积的乘方），再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算；2. 对应使用运算法则：单项式除以单项式时，系数相除作为结果的系数，同底数幂分别相除，底数不变指数相减；幂的乘方底数不变指数相乘，积的乘方把积中每个因式分别乘方再把所得幂相乘；同底数幂相乘底数不变指数相加，相除则底数不变指数相减；3. 最后合并同类项得到最简结果，运算过程中注意符号判断，负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
【解析】
(1) 按照单项式除以单项式法则计算：
原式$= [(-12)÷(-3)]x^{6-2}y^{5-3}=4x^4y^2$
(2) 先计算乘方，再计算乘除，最后合并同类项：
原式$=9a^4 · a^3 + a^6 · a^3 ÷ a^2=9a^7+a^7=10a^7$
(3) 先计算乘方，再计算乘除，最后合并同类项：
原式$=a^6 - a^6 + 4a^8 ÷ a^2=4a^6$
(4) 先计算乘方，再计算乘除，最后合并同类项：
原式$=4x^6 · x^2 - 16x^{12} ÷ (-4x^4)=4x^8+4x^8=8x^8$
【答案】
(1) $4x^4y^2$；(2) $10a^7$；(3) $4a^6$；(4) $8x^8$
【知识点】
单项式除以单项式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是对幂的各类运算法则的灵活运用，解题时需注意运算顺序和符号的处理，避免出现指数运算混淆、符号判断错误的问题，熟练掌握该类运算可为后续复杂的整式混合运算打好基础。
【难度系数】
0.8
3.先化简,再求值:$(-2a^2)^2 ÷ a^2 - (-8a^4)^2 ÷ (-2a^2)^3$,其中$a=-2$.
答案
原式$=4a^4 ÷ a^2 - 64a^8 ÷ (-8a^6)=4a^2+8a^2=12a^2$，
当$a=-2$时，原式$=48$。
当$a=-2$时，原式$=48$。
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题时遵循整式混合运算顺序：先算乘方，再算除法，最后算加减。首先利用积的乘方、幂的乘方法则计算各乘方项，再根据同底数幂的除法法则计算单项式除法，之后合并同类项得到最简结果，最后将a=-2代入最简式计算即可，计算过程中要重点注意符号的处理。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算各乘方项：
$(-2a^2)^2=(-2)^2×(a^2)^2=4a^4$
$(-8a^4)^2=(-8)^2×(a^4)^2=64a^8$
$(-2a^2)^3=(-2)^3×(a^2)^3=-8a^6$
2. 代入原式计算除法、合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4a^4 ÷ a^2 - 64a^8 ÷ (-8a^6)\\&=4a^{4-2} - [64÷(-8)]a^{8-6}\\&=4a^2 - (-8a^2)\\&=4a^2 + 8a^2\\&=12a^2\end{aligned}$
3. 代入$a=-2$求值：
当$a=-2$时，$原式=12×(-2)^2=12×4=48$
【答案】
48
【知识点】
1.幂的乘方与积的乘方
2.单项式除以单项式
3.整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础常考题，核心考查幂的运算法则和整式混合运算的顺序，解题时需注意乘方、除法运算中的符号变化，熟练掌握相关运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.75
这是一道整式化简求值题，解题时遵循整式混合运算顺序：先算乘方，再算除法，最后算加减。首先利用积的乘方、幂的乘方法则计算各乘方项，再根据同底数幂的除法法则计算单项式除法，之后合并同类项得到最简结果，最后将a=-2代入最简式计算即可，计算过程中要重点注意符号的处理。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算各乘方项：
$(-2a^2)^2=(-2)^2×(a^2)^2=4a^4$
$(-8a^4)^2=(-8)^2×(a^4)^2=64a^8$
$(-2a^2)^3=(-2)^3×(a^2)^3=-8a^6$
2. 代入原式计算除法、合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4a^4 ÷ a^2 - 64a^8 ÷ (-8a^6)\\&=4a^{4-2} - [64÷(-8)]a^{8-6}\\&=4a^2 - (-8a^2)\\&=4a^2 + 8a^2\\&=12a^2\end{aligned}$
3. 代入$a=-2$求值：
当$a=-2$时，$原式=12×(-2)^2=12×4=48$
【答案】
48
【知识点】
1.幂的乘方与积的乘方
2.单项式除以单项式
3.整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础常考题，核心考查幂的运算法则和整式混合运算的顺序，解题时需注意乘方、除法运算中的符号变化，熟练掌握相关运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.75
4.(1)已知$x^m=2,x^n=3,$
求$x^{3m-2n}$的值；
(2)已知$5x-3y-2=0,$
求$10^{5x}÷10^{3y}$的值.
求$x^{3m-2n}$的值；
(2)已知$5x-3y-2=0,$
求$10^{5x}÷10^{3y}$的值.
答案
(1)$x^{3m-2n}=x^{3m}÷x^{2n}=(x^m)^3÷(x^n)^2=2^3÷3^2=\frac{8}{9}$；
(2)$10^{5x}÷10^{3y}=10^{5x-3y}=10^2=100$。
(2)$10^{5x}÷10^{3y}=10^{5x-3y}=10^2=100$。
解析
【分析】
(1) 观察所求式子$x^{3m-2n}$，指数为差的形式，首先逆用同底数幂的除法法则，将其转化为$x^{3m}÷x^{2n}$；再逆用幂的乘方法则，把$x^{3m}$变形为$(x^m)^3$，$x^{2n}$变形为$(x^n)^2$，最后代入已知的$x^m=2$、$x^n=3$计算即可。
(2) 先根据同底数幂的除法法则，将$10^{5x}÷10^{3y}$化简为底数为10、指数为$5x-3y$的幂；再从已知方程$5x-3y-2=0$移项得到$5x-3y=2$，整体代入化简后的式子计算即可。
【解析】
(1) 利用同底数幂除法的逆运算和幂的乘方的逆运算变形：
$x^{3m-2n}=x^{3m}÷x^{2n}=(x^m)^3÷(x^n)^2$
把$x^m=2$，$x^n=3$代入式子：
原式$=2^3÷3^2=8÷9=\frac{8}{9}$
(2) 利用同底数幂的除法法则变形：
$10^{5x}÷10^{3y}=10^{5x-3y}$
由$5x-3y-2=0$移项可得：$5x-3y=2$
把$5x-3y=2$代入式子：
原式$=10^2=100$
【答案】
(1)$\frac{8}{9}$；(2)$100$
【知识点】
同底数幂的除法、幂的乘方的逆用、整体代入求值
【点评】
本题是幂运算的基础常考题，核心考查幂的运算法则的正向及逆向运用，解题关键是把所求式子变形为与已知条件匹配的形式，第二小题需注意整体代入思想的运用，熟练掌握运算法则是解题的前提。
【难度系数】
0.8
(1) 观察所求式子$x^{3m-2n}$，指数为差的形式，首先逆用同底数幂的除法法则，将其转化为$x^{3m}÷x^{2n}$；再逆用幂的乘方法则，把$x^{3m}$变形为$(x^m)^3$，$x^{2n}$变形为$(x^n)^2$，最后代入已知的$x^m=2$、$x^n=3$计算即可。
(2) 先根据同底数幂的除法法则，将$10^{5x}÷10^{3y}$化简为底数为10、指数为$5x-3y$的幂；再从已知方程$5x-3y-2=0$移项得到$5x-3y=2$，整体代入化简后的式子计算即可。
【解析】
(1) 利用同底数幂除法的逆运算和幂的乘方的逆运算变形：
$x^{3m-2n}=x^{3m}÷x^{2n}=(x^m)^3÷(x^n)^2$
把$x^m=2$，$x^n=3$代入式子：
原式$=2^3÷3^2=8÷9=\frac{8}{9}$
(2) 利用同底数幂的除法法则变形：
$10^{5x}÷10^{3y}=10^{5x-3y}$
由$5x-3y-2=0$移项可得：$5x-3y=2$
把$5x-3y=2$代入式子：
原式$=10^2=100$
【答案】
(1)$\frac{8}{9}$；(2)$100$
【知识点】
同底数幂的除法、幂的乘方的逆用、整体代入求值
【点评】
本题是幂运算的基础常考题，核心考查幂的运算法则的正向及逆向运用，解题关键是把所求式子变形为与已知条件匹配的形式，第二小题需注意整体代入思想的运用，熟练掌握运算法则是解题的前提。
【难度系数】
0.8
5.(2026·北京)阅读材料并解决问题.
已知$2^a=3^b=6$,求$(a-1)(b-1)$的值.
辛观同学是这样做的:
解:$2^a=3^b=2×3$,
$\therefore 2^{a-1}=3,3^{b-1}=2$,
$\therefore (2^{a-1})^{b-1}=2$,
$\therefore 2^{(a-1)(b-1)}=2$,
$\therefore (a-1)(b-1)=1$.
仿照上面方法,解决问题.
已知$3^x=4^y=36$,求$x+2y-xy$的值.
已知$2^a=3^b=6$,求$(a-1)(b-1)$的值.
辛观同学是这样做的:
解:$2^a=3^b=2×3$,
$\therefore 2^{a-1}=3,3^{b-1}=2$,
$\therefore (2^{a-1})^{b-1}=2$,
$\therefore 2^{(a-1)(b-1)}=2$,
$\therefore (a-1)(b-1)=1$.
仿照上面方法,解决问题.
已知$3^x=4^y=36$,求$x+2y-xy$的值.
答案
解:$\because 3^x=4×3^2=4^y$，
$\therefore 3^{x-2}=4$，
$4^{y-1}=9$，
$\therefore (3^{x-2})^{y-1}=4^{y-1}=9$，
$\therefore 3^{(x-2)(y-1)}=3^2$，
$\therefore xy-2y-x=0,\therefore x+2y-xy=0$。
$\therefore 3^{x-2}=4$，
$4^{y-1}=9$，
$\therefore (3^{x-2})^{y-1}=4^{y-1}=9$，
$\therefore 3^{(x-2)(y-1)}=3^2$，
$\therefore xy-2y-x=0,\therefore x+2y-xy=0$。
解析
【分析】
解题时可仿照题目给出的示例思路：第一步，将常数36拆分为含底数3、4的乘积形式，利用同底数幂除法“底数不变，指数相减”的性质，把已知的$3^x=36$和$4^y=36$变形，得到指数为$x-2$、$y-1$的幂的形式；第二步，结合幂的乘方“底数不变，指数相乘”的性质，把两个变形后的式子整合，得到同底数幂相等的关系；第三步，根据同底数幂相等则指数相等的规律，得到关于x、y的等式，展开化简即可求出目标代数式的值。
【解析】
解：$\because 3^x=4^y=36=4×3^2$
$\therefore 3^x÷3^2=4$，即$3^{x-2}=4$
同理$4^y÷4=36÷4=9=3^2$，即$4^{y-1}=3^2$
把$3^{x-2}=4$代入$4^{y-1}=3^2$中，得：
$(3^{x-2})^{y-1}=3^2$
由幂的乘方法则可得：$3^{(x-2)(y-1)}=3^2$
$\therefore (x-2)(y-1)=2$
展开左边得：$xy-x-2y+2=2$
移项化简得：$xy-x-2y=0$
$\therefore x+2y-xy=0$
【答案】
$0$
【知识点】
同底数幂的除法，幂的乘方运算，代数式化简
【点评】
本题是方法迁移类题目，核心是灵活运用幂的运算性质对已知条件变形，建立已知条件和目标代数式之间的联系，能很好地考查知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时可仿照题目给出的示例思路：第一步，将常数36拆分为含底数3、4的乘积形式，利用同底数幂除法“底数不变，指数相减”的性质，把已知的$3^x=36$和$4^y=36$变形，得到指数为$x-2$、$y-1$的幂的形式；第二步，结合幂的乘方“底数不变，指数相乘”的性质，把两个变形后的式子整合，得到同底数幂相等的关系；第三步，根据同底数幂相等则指数相等的规律，得到关于x、y的等式，展开化简即可求出目标代数式的值。
【解析】
解：$\because 3^x=4^y=36=4×3^2$
$\therefore 3^x÷3^2=4$，即$3^{x-2}=4$
同理$4^y÷4=36÷4=9=3^2$，即$4^{y-1}=3^2$
把$3^{x-2}=4$代入$4^{y-1}=3^2$中，得：
$(3^{x-2})^{y-1}=3^2$
由幂的乘方法则可得：$3^{(x-2)(y-1)}=3^2$
$\therefore (x-2)(y-1)=2$
展开左边得：$xy-x-2y+2=2$
移项化简得：$xy-x-2y=0$
$\therefore x+2y-xy=0$
【答案】
$0$
【知识点】
同底数幂的除法，幂的乘方运算，代数式化简
【点评】
本题是方法迁移类题目，核心是灵活运用幂的运算性质对已知条件变形，建立已知条件和目标代数式之间的联系，能很好地考查知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
