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【典例1】已知$x+2y-4=0$，求$2^x · 4^y$的值. 变式.已知$2m-5n-5=0$，求$4^m ÷ 32^n$的值.
答案
解:$2^x · 4^y=2^x · (2^2)^y=2^{x+2y}=2^4=16$.
解:$4^m ÷ 32^n=2^{2m} ÷ 2^{5n}=2^{2m-5n}=2^5=32$.
解:$4^m ÷ 32^n=2^{2m} ÷ 2^{5n}=2^{2m-5n}=2^5=32$.
解析
【分析】
典例解题思路：首先从已知等式整理得出$x+2y$的值，观察所求的$2^x·4^y$，发现底数4可转化为$2^2$，先利用幂的乘方法则将$4^y$变形为以2为底的幂，再根据同底数幂的乘法法则合并指数，刚好得到与已知条件对应的$x+2y$，整体代入数值即可计算结果。
变式解题思路：同理，先从已知等式整理得出$2m-5n$的值，将所求式中底数4、32分别转化为$2^2$、$2^5$，利用幂的乘方法则变形后，再根据同底数幂的除法法则合并指数，得到对应$2m-5n$，整体代入计算即可。
【解析】
典例解答：
由$x+2y-4=0$，可得$x+2y=4$。
对$2^x · 4^y$变形：
$\begin{aligned}2^x · 4^y&=2^x · (2^2)^y\\&=2^x · 2^{2y}\\&=2^{x+2y}\end{aligned}$
将$x+2y=4$代入得：$2^{4}=16$。
变式解答：
由$2m-5n-5=0$，可得$2m-5n=5$。
对$4^m ÷ 32^n$变形：
$\begin{aligned}4^m ÷ 32^n&=(2^2)^m ÷ (2^5)^n\\&=2^{2m} ÷ 2^{5n}\\&=2^{2m-5n}\end{aligned}$
将$2m-5n=5$代入得：$2^{5}=32$。
【答案】
典例：$\boldsymbol{16}$；变式：$\boldsymbol{32}$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂乘法、同底数幂除法
【点评】
本题是幂的运算的常规应用题型，核心考查幂的运算法则的灵活变形能力，解题关键是统一所求代数式的底数，再结合已知条件整体代入求值，熟练掌握幂的各类运算法则是解题的基础。
【难度系数】
0.8
典例解题思路：首先从已知等式整理得出$x+2y$的值，观察所求的$2^x·4^y$，发现底数4可转化为$2^2$，先利用幂的乘方法则将$4^y$变形为以2为底的幂，再根据同底数幂的乘法法则合并指数，刚好得到与已知条件对应的$x+2y$，整体代入数值即可计算结果。
变式解题思路：同理，先从已知等式整理得出$2m-5n$的值，将所求式中底数4、32分别转化为$2^2$、$2^5$，利用幂的乘方法则变形后，再根据同底数幂的除法法则合并指数，得到对应$2m-5n$，整体代入计算即可。
【解析】
典例解答：
由$x+2y-4=0$，可得$x+2y=4$。
对$2^x · 4^y$变形：
$\begin{aligned}2^x · 4^y&=2^x · (2^2)^y\\&=2^x · 2^{2y}\\&=2^{x+2y}\end{aligned}$
将$x+2y=4$代入得：$2^{4}=16$。
变式解答：
由$2m-5n-5=0$，可得$2m-5n=5$。
对$4^m ÷ 32^n$变形：
$\begin{aligned}4^m ÷ 32^n&=(2^2)^m ÷ (2^5)^n\\&=2^{2m} ÷ 2^{5n}\\&=2^{2m-5n}\end{aligned}$
将$2m-5n=5$代入得：$2^{5}=32$。
【答案】
典例：$\boldsymbol{16}$；变式：$\boldsymbol{32}$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂乘法、同底数幂除法
【点评】
本题是幂的运算的常规应用题型，核心考查幂的运算法则的灵活变形能力，解题关键是统一所求代数式的底数，再结合已知条件整体代入求值，熟练掌握幂的各类运算法则是解题的基础。
【难度系数】
0.8
【典例2】(1)已知$2×8^x×16^x=2^{22}$，求$x$的值；(2)$3^{x+1}·5^{x+1}=15^{2x-3}$，求$x$的值。
答案
解:(1)$2×8^x×16^x=2^{22}$,
$2×2^{3x}×2^{4x}=2^{22}$,
$2^{7x+1}=2^{22}$,
$\therefore 7x+1=22$,
$x=3$;
(2)$3^{x+1} · 5^{x+1}=15^{2x-3}$,
$15^{x+1}=15^{2x-3}$,
$\therefore x+1=2x-3$,
$x=4$.
$2×2^{3x}×2^{4x}=2^{22}$,
$2^{7x+1}=2^{22}$,
$\therefore 7x+1=22$,
$x=3$;
(2)$3^{x+1} · 5^{x+1}=15^{2x-3}$,
$15^{x+1}=15^{2x-3}$,
$\therefore x+1=2x-3$,
$x=4$.
解析
【分析】
（1）观察等式可知左边的底数8、16都可转化为2的幂的形式，先利用幂的乘方法则将8^x、16^x转化为以2为底的幂，再根据同底数幂乘法法则合并左边的式子，得到底数为2的单个幂，此时等式两边底数相同，根据指数相等列一元一次方程即可求解x。
（2）等式左边是同指数的两个幂相乘，可逆用积的乘方法则，将左边合并为底数为15的幂，此时等式两边底数相同，根据指数相等列方程即可求解x。
【解析】
（1）已知$2×8^x×16^x=2^{22}$，
将8转化为$2^3$，16转化为$2^4$，可得：
$2×(2^3)^x×(2^4)^x=2^{22}$，
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$化简得：
$2×2^{3x}×2^{4x}=2^{22}$，
根据同底数幂乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$合并得：
$2^{1+3x+4x}=2^{22}$，即$2^{7x+1}=2^{22}$，
因此指数相等：$7x+1=22$，
解得：$x=3$。
（2）已知$3^{x+1}·5^{x+1}=15^{2x-3}$，
逆用积的乘方法则$a^n·b^n=(ab)^n$化简左边得：
$(3×5)^{x+1}=15^{2x-3}$，即$15^{x+1}=15^{2x-3}$，
因此指数相等：$x+1=2x-3$，
解得：$x=4$。
【答案】
（1）$x=3$；（2）$x=4$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题是幂的运算法则的基础应用题型，解题核心是将等式两边转化为同底数幂，利用“同底数幂相等则指数相等”建立方程求解，需要熟练掌握幂的运算公式，并且能灵活正向、逆向运用公式。
【难度系数】
0.8
（1）观察等式可知左边的底数8、16都可转化为2的幂的形式，先利用幂的乘方法则将8^x、16^x转化为以2为底的幂，再根据同底数幂乘法法则合并左边的式子，得到底数为2的单个幂，此时等式两边底数相同，根据指数相等列一元一次方程即可求解x。
（2）等式左边是同指数的两个幂相乘，可逆用积的乘方法则，将左边合并为底数为15的幂，此时等式两边底数相同，根据指数相等列方程即可求解x。
【解析】
（1）已知$2×8^x×16^x=2^{22}$，
将8转化为$2^3$，16转化为$2^4$，可得：
$2×(2^3)^x×(2^4)^x=2^{22}$，
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$化简得：
$2×2^{3x}×2^{4x}=2^{22}$，
根据同底数幂乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$合并得：
$2^{1+3x+4x}=2^{22}$，即$2^{7x+1}=2^{22}$，
因此指数相等：$7x+1=22$，
解得：$x=3$。
（2）已知$3^{x+1}·5^{x+1}=15^{2x-3}$，
逆用积的乘方法则$a^n·b^n=(ab)^n$化简左边得：
$(3×5)^{x+1}=15^{2x-3}$，即$15^{x+1}=15^{2x-3}$，
因此指数相等：$x+1=2x-3$，
解得：$x=4$。
【答案】
（1）$x=3$；（2）$x=4$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题是幂的运算法则的基础应用题型，解题核心是将等式两边转化为同底数幂，利用“同底数幂相等则指数相等”建立方程求解，需要熟练掌握幂的运算公式，并且能灵活正向、逆向运用公式。
【难度系数】
0.8
变式.(1)$(9^x)^2=3^8$，则$x=$
2
；(2)已知$2^x · 3^y=24,2^y · 3^x=54$，求$x+y$的值。答案
解:$(9^x)^2=3^{4x}=3^8$,
$\therefore 4x=8,x=2$;
解:$\begin{cases}2^x · 3^y=4×6,①\\2^y · 3^x=9×6,②\end{cases}$
$①×②得\ 2^{x+y}3^{x+y}=6^4$,
$\therefore 6^{x+y}=6^4$,
$\therefore x+y=4$.
$\therefore 4x=8,x=2$;
解:$\begin{cases}2^x · 3^y=4×6,①\\2^y · 3^x=9×6,②\end{cases}$
$①×②得\ 2^{x+y}3^{x+y}=6^4$,
$\therefore 6^{x+y}=6^4$,
$\therefore x+y=4$.
解析
【分析】
第(1)问：先将等式两边的幂转化为同底数幂的形式，9是3的平方，利用幂的乘方法则统一左边底数为3，再根据“同底数幂相等时指数相等”列方程即可求解x。
第(2)问：直接单独求解x、y过程复杂，观察两个等式的结构特征，将两式左右分别相乘，结合同底数幂乘法、积的乘方法则把左边整理为底数为6的幂，右边计算后也转化为底数为6的幂，再根据指数相等即可求出x+y的整体值，简化运算。
【解析】
(1) 化简等式左边：
$(9^x)^2 = 9^{2x} = (3^2)^{2x} = 3^{4x}$
结合已知条件得$3^{4x}=3^8$，根据同底数幂相等则指数相等，可得：
$4x=8$，解得$x=2$。
(2) 已知$\begin{cases}2^x · 3^y=24,①\\2^y · 3^x=54,②\end{cases}$
将①和②左右两边分别相乘：
左边：$2^x · 3^y · 2^y · 3^x = 2^{x+y} · 3^{x+y} = (2×3)^{x+y}=6^{x+y}$
右边：$24×54 = 1296 = 6^4$
因此$6^{x+y}=6^4$，根据同底数幂相等则指数相等，可得$x+y=4$。
【答案】(1)2；(2)4
【知识点】幂的乘方；同底数幂的乘法；积的乘方
【点评】本题侧重考察幂的运算法则的灵活运用，解题时优先考虑统一底数，遇到结构对称的等式可采用整体运算的思路，避免单独求解未知数，降低解题难度。
【难度系数】0.7
第(1)问：先将等式两边的幂转化为同底数幂的形式，9是3的平方，利用幂的乘方法则统一左边底数为3，再根据“同底数幂相等时指数相等”列方程即可求解x。
第(2)问：直接单独求解x、y过程复杂，观察两个等式的结构特征，将两式左右分别相乘，结合同底数幂乘法、积的乘方法则把左边整理为底数为6的幂，右边计算后也转化为底数为6的幂，再根据指数相等即可求出x+y的整体值，简化运算。
【解析】
(1) 化简等式左边：
$(9^x)^2 = 9^{2x} = (3^2)^{2x} = 3^{4x}$
结合已知条件得$3^{4x}=3^8$，根据同底数幂相等则指数相等，可得：
$4x=8$，解得$x=2$。
(2) 已知$\begin{cases}2^x · 3^y=24,①\\2^y · 3^x=54,②\end{cases}$
将①和②左右两边分别相乘：
左边：$2^x · 3^y · 2^y · 3^x = 2^{x+y} · 3^{x+y} = (2×3)^{x+y}=6^{x+y}$
右边：$24×54 = 1296 = 6^4$
因此$6^{x+y}=6^4$，根据同底数幂相等则指数相等，可得$x+y=4$。
【答案】(1)2；(2)4
【知识点】幂的乘方；同底数幂的乘法；积的乘方
【点评】本题侧重考察幂的运算法则的灵活运用，解题时优先考虑统一底数，遇到结构对称的等式可采用整体运算的思路，避免单独求解未知数，降低解题难度。
【难度系数】0.7
【典例3】已知$a^m=2,a^n=3$，
(1)求$a^{3m+2n}$的值；
(2)求$a^{3m-2n}$的值.
变式.已知$3^m=a,81^n=b$.
(1)求$3^{m+4n}$的值；
(2)求$3^{3m-12n}$的值.
(1)求$a^{3m+2n}$的值；
(2)求$a^{3m-2n}$的值.
变式.已知$3^m=a,81^n=b$.
(1)求$3^{m+4n}$的值；
(2)求$3^{3m-12n}$的值.
答案
解:(1)$a^{3m+2n}=a^{3m} · a^{2n}$
$=(a^m)^3 · (a^n)^2$
$=72$;
(2)$a^{3m-2n}=a^{3m} ÷ a^{2n}$
$=(a^m)^3 ÷ (a^n)^2$
$=\frac{8}{9}$.
解:(1)$3^{m+4n}=3^m · 3^{4n}=3^m · 81^n=ab$;
(2)$3^{3m-12n}=3^{3m} ÷ 3^{12n}=(3^m)^3 ÷ (3^{4n})^3=\frac{a^3}{b^3}$.
$=(a^m)^3 · (a^n)^2$
$=72$;
(2)$a^{3m-2n}=a^{3m} ÷ a^{2n}$
$=(a^m)^3 ÷ (a^n)^2$
$=\frac{8}{9}$.
解:(1)$3^{m+4n}=3^m · 3^{4n}=3^m · 81^n=ab$;
(2)$3^{3m-12n}=3^{3m} ÷ 3^{12n}=(3^m)^3 ÷ (3^{4n})^3=\frac{a^3}{b^3}$.
解析
【分析】
解题核心是逆用幂的运算法则，将待求式变形为含已知条件的形式：
1. 遇到指数相加/相减：逆用同底数幂的乘/除法法则，拆分为同底数幂相乘/相除的形式；
2. 遇到指数带整数倍数：逆用幂的乘方法则，转化为已知幂的乘方形式；
3. 变式题需先统一底数：将$81^n$转化为以3为底的幂（$81=3^4$，故$81^n=3^{4n}$），再按上述方法变形代入即可。
【解析】
典例解答：
(1) 求$a^{3m+2n}$：
逆用同底数幂的乘法法则，得$a^{3m+2n}=a^{3m} · a^{2n}$；
逆用幂的乘方法则，得$a^{3m}=(a^m)^3$，$a^{2n}=(a^n)^2$；
代入$a^m=2$，$a^n=3$，得原式$=2^3 × 3^2 = 8×9=72$。
(2) 求$a^{3m-2n}$：
逆用同底数幂的除法法则，得$a^{3m-2n}=a^{3m} ÷ a^{2n}$；
逆用幂的乘方法则变形后，代入已知值得原式$=(a^m)^3 ÷ (a^n)^2 = 2^3 ÷ 3^2 = \frac{8}{9}$。
变式解答：
先统一底数：$81^n=(3^4)^n=3^{4n}=b$。
(1) 求$3^{m+4n}$：
逆用同底数幂的乘法法则，得$3^{m+4n}=3^m · 3^{4n}$；
代入$3^m=a$，$3^{4n}=b$，得原式$=ab$。
(2) 求$3^{3m-12n}$：
逆用同底数幂的除法法则，得$3^{3m-12n}=3^{3m} ÷ 3^{12n}$；
逆用幂的乘方法则变形：$3^{3m}=(3^m)^3=a^3$，$3^{12n}=(3^{4n})^3=b^3$，故原式$=\frac{a^3}{b^3}$。
【答案】
典例：(1)$\boxed{72}$；(2)$\boxed{\frac{8}{9}}$
变式：(1)$\boxed{ab}$；(2)$\boxed{\frac{a^3}{b^3}}$
【知识点】
同底数幂的乘除、幂的乘方、幂的法则逆用
【点评】
本题是幂运算的基础应用题型，解题关键是熟练掌握幂的各类运算法则的正向和逆向使用，遇到底数不同的情况先统一底数，再将待求式转化为可代入已知条件的形式计算，需注意区分指数加减对应的乘除运算，避免法则混淆。
【难度系数】
0.8
解题核心是逆用幂的运算法则，将待求式变形为含已知条件的形式：
1. 遇到指数相加/相减：逆用同底数幂的乘/除法法则，拆分为同底数幂相乘/相除的形式；
2. 遇到指数带整数倍数：逆用幂的乘方法则，转化为已知幂的乘方形式；
3. 变式题需先统一底数：将$81^n$转化为以3为底的幂（$81=3^4$，故$81^n=3^{4n}$），再按上述方法变形代入即可。
【解析】
典例解答：
(1) 求$a^{3m+2n}$：
逆用同底数幂的乘法法则，得$a^{3m+2n}=a^{3m} · a^{2n}$；
逆用幂的乘方法则，得$a^{3m}=(a^m)^3$，$a^{2n}=(a^n)^2$；
代入$a^m=2$，$a^n=3$，得原式$=2^3 × 3^2 = 8×9=72$。
(2) 求$a^{3m-2n}$：
逆用同底数幂的除法法则，得$a^{3m-2n}=a^{3m} ÷ a^{2n}$；
逆用幂的乘方法则变形后，代入已知值得原式$=(a^m)^3 ÷ (a^n)^2 = 2^3 ÷ 3^2 = \frac{8}{9}$。
变式解答：
先统一底数：$81^n=(3^4)^n=3^{4n}=b$。
(1) 求$3^{m+4n}$：
逆用同底数幂的乘法法则，得$3^{m+4n}=3^m · 3^{4n}$；
代入$3^m=a$，$3^{4n}=b$，得原式$=ab$。
(2) 求$3^{3m-12n}$：
逆用同底数幂的除法法则，得$3^{3m-12n}=3^{3m} ÷ 3^{12n}$；
逆用幂的乘方法则变形：$3^{3m}=(3^m)^3=a^3$，$3^{12n}=(3^{4n})^3=b^3$，故原式$=\frac{a^3}{b^3}$。
【答案】
典例：(1)$\boxed{72}$；(2)$\boxed{\frac{8}{9}}$
变式：(1)$\boxed{ab}$；(2)$\boxed{\frac{a^3}{b^3}}$
【知识点】
同底数幂的乘除、幂的乘方、幂的法则逆用
【点评】
本题是幂运算的基础应用题型，解题关键是熟练掌握幂的各类运算法则的正向和逆向使用，遇到底数不同的情况先统一底数，再将待求式转化为可代入已知条件的形式计算，需注意区分指数加减对应的乘除运算，避免法则混淆。
【难度系数】
0.8
