1.如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，且MN//BC分别交AB，AC于M，N.若AB＝12，AC＝18，直接写出△AMN的周长为.

30

【分析】
解题可按以下思路推导：第一步，结合角平分线的定义和平行线的性质，得到相等的角；第二步，根据“等角对等边”的等腰三角形判定规则，得到MO=MB、NO=NC两组相等线段；第三步，将△AMN的周长拆分后代入相等线段做等量转换，就能把周长转化为AB和AC的长度和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO=∠CBO，
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠CBO，
∴∠MBO=∠MOB，
∴MO=MB。
同理：
∵CO平分∠ACB，
∴∠NCO=∠BCO，
∵MN//BC，
∴∠NOC=∠BCO，
∴∠NCO=∠NOC，
∴NO=NC。
∴△AMN的周长=AM+MN+AN
=AM+MO+ON+AN
=AM+MB+AN+NC
=AB+AC
将AB=12，AC=18代入，得周长=12+18=30。
【答案】
30
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是“角平分线+平行线”模型的典型应用，该模型可快速推导得出等腰三角形，实现线段的等量转化，是简化周长类计算的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，AD=CD，求证：AD=BD.

证明:$\because AD=CD$,
$\therefore ∠ A=∠ ACD$,
又$\because ∠ ACB=90°$,
$\therefore ∠ B=90°-∠ A$,
$∠ DCB=90°-∠ ACD$,
$\therefore ∠ B=∠ DCB$,
$\therefore CD=BD$,
$\therefore AD=BD$.

【分析】
要证明AD=BD，已知AD=CD，可转化为证明CD=BD。根据等腰三角形的判定定理，要证CD=BD只需证明∠B=∠DCB。首先利用已知AD=CD，由等边对等角得到∠A=∠ACD，再结合∠ACB=90°，可得∠A与∠B互余、∠ACD与∠DCB互余，根据等角的余角相等即可推出∠B=∠DCB，进而得到CD=BD，最后通过等量代换得到AD=BD。
【解析】
证明:
$\because AD=CD$,
$\therefore ∠ A=∠ ACD$,
又$\because ∠ ACB=90°$,
$\therefore ∠ B=90°-∠ A$,
$∠ DCB=90°-∠ ACD$,
$\therefore ∠ B=∠ DCB$,
$\therefore CD=BD$,
$\therefore AD=BD$.
【答案】
证明见上述解析，AD=BD得证。
【知识点】
等边对等角；等角的余角相等；等角对等边
【点评】
本题属于等腰三角形性质与判定的基础应用题目，解题核心是通过直角的性质推导角的等量关系，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=3∠ B$,$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于$D$点,$DE⊥ AD$交$AB$于点$E$,求证:$BE=DE$.

证明:设$∠ B=α$,$∠ C=3α$,
$\therefore ∠ DAE=\dfrac{180°-4α}{2}=90°-2α$,
$\therefore ∠ DEA=2α=∠ B+∠ BDE$,
$∠ BDE=α=∠ B$,
$\therefore DE=BE$.

【分析】
要证明BE=DE，根据等腰三角形“等角对等边”的判定规则，核心是证明∠B=∠BDE。解题时可通过设参数简化角的计算：首先设∠B=α，由∠C=3∠B得∠C=3α，先利用三角形内角和求出∠BAC的度数，再结合角平分线的性质得到∠DAE的度数；之后根据DE⊥AD，利用直角三角形两锐角互余求出∠AED的度数；最后利用三角形外角的性质，推导∠BDE的度数，验证其与∠B相等即可完成证明。
【解析】
证明：设$∠ B=α$，则$∠ C=3α$，
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-4α$，
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ DAE=\dfrac{1}{2}∠ BAC=\dfrac{180°-4α}{2}=90°-2α$，
$\because DE⊥ AD$，即$∠ ADE=90°$，
$\therefore ∠ DEA=90°-∠ DAE=90°-(90°-2α)=2α$，
又$\because ∠ DEA$是$△ BDE$的外角，
$\therefore ∠ DEA=∠ B+∠ BDE$，即$2α=α+∠ BDE$，
$\therefore ∠ BDE=α=∠ B$，
$\therefore BE=DE$。
【答案】
$BE=DE$，证明成立。
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题通过设参数表示角度的方法，能清晰梳理角之间的数量关系，结合角平分线、直角三角形、外角的相关性质即可完成推导，是几何基础类证明题，掌握角的等量转化技巧是解题关键。
【难度系数】
0.7

4.如图,在△ABC中,CE为角平分线,AD⊥CE于点F,交BC于点D,AG//BC交CE的延长线于G点,∠ACB=2∠B.
(1)求证:BE=CE;
(2)求证:AB=2CF.

4.证明:(1)设$∠ B=α$,则$∠ ACB=2α$,
$\therefore ∠ BCE=α$,$\therefore ∠ BCE=∠ B$,
$\therefore BE=CE$;
(2)$\because AG// BC$,
$\therefore ∠ G=∠ GCB=∠ B=α$,
$\therefore ∠ G=∠ ACG$,
$\therefore AG=AC$,
又$\because AF⊥ CE$,$\therefore FG=CF$,$\therefore CG=2CF$,
而$∠ G=∠ B=∠ EAG$,
$\therefore AE=EG$,
$\therefore AB=CG=2CF$.

【分析】
(1)要证明BE=CE，可转化为证明这两条边对应的角∠B和∠BCE相等。已知CE是角平分线，结合∠ACB=2∠B的条件，可推出∠BCE=∠B，利用等角对等边即可得证。
(2)要证明AB=2CF，先推导线段的两倍关系：结合AD⊥CE的条件，先通过AG//BC和角平分线推出△AGC是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质得到CG=2CF，再证明AB=CG即可。通过平行线的性质转化角，可得AE=EG，结合第(1)问的BE=CE，即可推出AE+BE=EG+CE，也就是AB=CG，最终得到结论。
【解析】
(1)设$∠ B=α$，则$∠ ACB=2α$，
$\because$CE为$∠ ACB$的角平分线，
$\therefore ∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB=α$，
$\therefore ∠ BCE=∠ B$，
根据等角对等边可得：$BE=CE$。
(2)$\because AG// BC$，
$\therefore ∠ G=∠ GCB=α$，
$\therefore ∠ G=∠ ACG=α$，
$\therefore AG=AC$，即$△ AGC$为等腰三角形，
又$\because AD⊥ CE$于点F，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore FG=CF$，即$CG=CF+FG=2CF$，
$\because AG// BC$，
$\therefore ∠ EAG=∠ B=α$，
$\therefore ∠ G=∠ EAG=α$，
根据等角对等边可得：$AE=EG$，
$\therefore AB=AE+BE=EG+CE=CG$，
结合$CG=2CF$，可得$AB=2CF$。
【答案】
(1)证明成立；(2)证明成立。
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型证明题，解题的关键是灵活运用角平分线、平行线的性质转化角的相等关系，再通过等腰三角形的判定和性质推导边的关系，对于线段倍分关系的证明，可结合等腰三角形三线合一的性质转化线段关系求解。
【难度系数】
0.6

5.如图，在△ABE中，AB＝AE，AC⊥BE于点C，D在BC上，∠ABC＝2∠CAD，AB＝10，BC＝8，求CD的长。

解:设$∠ CAD=α$,
$∠ ADC=90°-α$,
$∠ EAD=90°-α$,
$\therefore AB=AE=ED$,
$\therefore BD=2BC-AB$,
$\therefore BD=16-10=6$,
$\therefore CD=2$.

【分析】
首先观察图形，△ABE是等腰三角形且AC为底边上的高，优先利用等腰三角形三线合一的性质，可得C是BE中点，同时∠B=∠E。结合题目给出的∠ABC=2∠CAD的角度关系，可通过设参数表示各相关角度，寻找相等的角，再利用等角对等边得到相等线段，最后结合已知线段长度即可计算出CD的长。
【解析】
解：
∵$AB=AE$，$AC⊥BE$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得$EC=BC=8$，$BE=2BC=16$，$∠E=∠ABC$。
设$∠CAD=α$，由题意得$∠ABC=2α$，因此$∠E=2α$。
∵$AC⊥BE$，
∴$∠ACD=90°$，
在$Rt△ACD$中，$∠ADC=90°-∠CAD=90°-α$，即$∠ADE=90°-α$。
在$△AED$中，由三角形内角和为180°得：
$∠EAD=180°-∠E-∠ADE=180°-2α-(90°-α)=90°-α$，
∴$∠EAD=∠ADE$，
∴$ED=AE$（等角对等边）。
∵$AE=AB=10$，
∴$ED=10$，
∴$CD=ED-EC=10-8=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
等腰三角形三线合一；等角对等边；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查等腰三角形的性质与判定，通过设参数推导角度关系得到等角，进而推出等边是解题的关键，能有效锻炼几何角度推导和线段计算的能力。
【难度系数】
0.6