【典例1】如图，$AB=CE$，且$∠ A + ∠ ACE = 180°$，$AC$交$BE$于$M$，求证：$BM=EM$.


备用图

方法一(割大):过点B作BG//CE交AC于点G，
∴∠AGB+∠C=180°，
∴∠A=∠BGA，
∴AB=BG,
∴BG=CE，
在△BGM和△ECM中，
$\begin{cases} ∠MBG=∠MEC, \\ BG=CE, \\ ∠BGM=∠C, \end{cases}$
∴△BGM≌△ECM(ASA)，
∴BM=EM.
方法二:(补小)过点E作EF//AB交AC的延长线于F点，
∴∠A=∠F，
∴∠ECF=∠F，
∴CE=EF=AB，
在△ABM和△FEM中，
$\begin{cases} ∠A=∠F, \\ AB=EF, \\ ∠B=∠FEM, \end{cases}$
∴△ABM≌△FEM(ASA)，
∴BM=EM.

【分析】
要证明BM=EM，可通过证明包含这两条线段的两个三角形全等求解。已知条件给出AB=CE，以及∠A与∠ACE互补，我们可以通过作平行线的方式构造对应角相等，再结合互补条件推导出等腰三角形得到相等的边，进而满足全等三角形的判定条件，最终得到对应边BM=EM。常用构造思路有两种：在AB一侧作平行线构造和△ECM全等的三角形，或在CE一侧作平行线构造和△ABM全等的三角形。
【解析】
方法一（割大）：
过点B作$BG// CE$交AC于点G，
由平行线的性质可得$∠ AGB+∠ ACE=180°$，
已知$∠ A+∠ ACE=180°$，因此$∠ A=∠ BGA$，
由等角对等边得$AB=BG$，结合已知$AB=CE$，可得$BG=CE$。
在$△ BGM$和$△ ECM$中：
$\begin{cases} ∠MBG=∠MEC（两直线平行，内错角相等）, \\ BG=CE, \\ ∠BGM=∠ECM（两直线平行，内错角相等）, \end{cases}$
因此$△ BGM≌△ ECM(\mathrm{ASA})$，由全等三角形对应边相等得$BM=EM$。
方法二（补小）：
过点E作$EF// AB$交AC的延长线于F点，
由平行线的性质可得$∠ A=∠ F$，$∠ B=∠ FEM$，
由平角定义得$∠ ACE+∠ ECF=180°$，结合已知$∠ A+∠ ACE=180°$，可得$∠ ECF=∠ A=∠ F$，
由等角对等边得$CE=EF$，结合已知$AB=CE$，可得$AB=EF$。
在$△ ABM$和$△ FEM$中：
$\begin{cases} ∠A=∠F, \\ AB=EF, \\ ∠B=∠FEM, \end{cases}$
因此$△ ABM≌△ FEM(\mathrm{ASA})$，由全等三角形对应边相等得$BM=EM$。
【答案】
方法一(割大):过点B作BG//CE交AC于点G，
∴∠AGB+∠C=180°，
∴∠A=∠BGA，
∴AB=BG,
∴BG=CE，
在△BGM和△ECM中，
$\begin{cases} ∠MBG=∠MEC, \\ BG=CE, \\ ∠BGM=∠C, \end{cases}$
∴△BGM≌△ECM(ASA)，
∴BM=EM.
方法二:(补小)过点E作EF//AB交AC的延长线于F点，
∴∠A=∠F，
∴∠ECF=∠F，
∴CE=EF=AB，
在△ABM和△FEM中，
$\begin{cases} ∠A=∠F, \\ AB=EF, \\ ∠B=∠FEM, \end{cases}$
∴△ABM≌△FEM(ASA)，
∴BM=EM.
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是构造全等证明线段相等的典型题型，解题核心是通过作平行线转化角的等量关系，结合已知互补条件推导等腰三角形得到等线段，进而证明三角形全等得到结论，需要掌握辅助线的构造思路，能灵活运用角和边的等量关系证明全等。
【难度系数】
0.6

【典例2】如图，点D为△ABC外一点，AD交BC边于点P，且AP＝PB，∠C＋∠D＝180°，求证：AC＝BD.

备用图

方法一:在PC上取点M,使AC=AM，
∴∠D=∠AMP，
在△APM和△BPD中，
$\begin{cases} ∠AMP=∠D, \\ ∠APM=∠BPD, \\ AP=PB, \end{cases}$
∴△APM≌△BPD(AAS)，
∴AM=BD,
∴AC=BD.
方法二:在AD的延长线上取点H,使BH=BD，
∴∠H=∠BDH=∠C，
在△APC和△BPH中，
$\begin{cases} ∠C=∠H, \\ ∠APC=∠BPH, \\ AP=PB, \end{cases}$
∴△ACP≌△BPH(AAS),
∴AC=BH=BD.

【分析】
要证明AC=BD，观察发现两条线段不在可直接判定全等的三角形中，结合已知条件分析：已知AP=PB，AD与BC相交可得一组对顶角相等，又有∠C+∠D=180°，可通过构造等腰三角形实现角的等量转化，进而构造全等三角形完成证明。思路1：在PC上取点M使AC=AM，利用等腰三角形等边对等角得∠C=∠AMC，结合补角性质推导得∠AMP=∠D，即可证明△APM≌△BPD，通过等量代换得AC=BD；思路2：在AD延长线上取点H使BH=BD，同理推导得∠H=∠C，证明△ACP≌△BPH，等量代换得到结论。
【解析】
方法一：
在PC上取点M，使AC=AM，
根据等腰三角形等边对等角性质，得∠C=∠AMC，
∵∠AMC+∠AMP=180°（平角定义），∠C+∠D=180°（已知），
∴∠D=∠AMP（等角的补角相等），
在△APM和△BPD中：
$\begin{cases} ∠AMP=∠D, \\ ∠APM=∠BPD（对顶角相等）, \\ AP=PB（已知）, \end{cases}$
∴△APM≌△BPD（AAS），
∴AM=BD（全等三角形对应边相等），
又
∵AC=AM（构造的辅助线），
∴AC=BD（等量代换）。
方法二：
在AD的延长线上取点H，使BH=BD，
根据等腰三角形等边对等角性质，得∠H=∠BDH，
∵∠BDH+∠ADB=180°（平角定义），∠C+∠ADB=180°（已知），
∴∠H=∠C（等角的补角相等），
在△APC和△BPH中：
$\begin{cases} ∠C=∠H, \\ ∠APC=∠BPH（对顶角相等）, \\ AP=PB（已知）, \end{cases}$
∴△ACP≌△BPH（AAS）,
∴AC=BH（全等三角形对应边相等），
又
∵BH=BD（构造的辅助线），
∴AC=BD（等量代换）。
【答案】
方法一:在PC上取点M,使AC=AM，
∴∠D=∠AMP，
在△APM和△BPD中，
$\begin{cases} ∠AMP=∠D, \\ ∠APM=∠BPD, \\ AP=PB, \end{cases}$
∴△APM≌△BPD(AAS)，
∴AM=BD,
∴AC=BD.
方法二:在AD的延长线上取点H,使BH=BD，
∴∠H=∠BDH=∠C，
在△APC和△BPH中，
$\begin{cases} ∠C=∠H, \\ ∠APC=∠BPH, \\ AP=PB, \end{cases}$
∴△ACP≌△BPH(AAS),
∴AC=BH=BD.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，补角的性质
【点评】
本题是构造全等证明线段相等的典型题型，解题核心是结合已知的等线段、补角关系，通过构造等腰三角形完成角的等量转化，进而得到全等三角形，体现了几何证明中的转化思想，需熟练掌握全等判定规则和这类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.6

题型三 角度的错位相等
【典例3】如图，在$△ ABC$中，点D在AC上，点E在AB上，$∠ CDE=∠ B$，$DE=BC$，求证：$AC=AE$.
备用图

方法一:在AB上取点M,使BC=CM，
证△ACM≌△AED，
∴AC=AE.
方法二:在AB延长线上取点M,使CM=AC,则
△ADE≌△MBC，
CM=AE=AC.

【分析】
要证明AC=AE，通常可通过证明两条边所在的三角形全等实现。题目已知∠CDE=∠B、DE=BC，但现有图形中无直接全等的三角形，因此需要构造辅助线创造全等条件：我们可以通过构造等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质，将已知的边、角等量关系进行转化，得到全等三角形判定所需的对应角、对应边相等的条件，进而证明全等得到结论。
【解析】
方法一：
1. 如图，在AB上取点M，使CM=BC。
由等腰三角形性质得∠CMB=∠B，已知∠CDE=∠B，因此∠CMB=∠CDE。
由补角的性质可得180°-∠CDE=180°-∠CMB，即∠ADE=∠AMC。
2. 在△ACM和△AED中：
∠A=∠A（公共角），∠AMC=∠ADE，CM=DE（CM=BC且已知DE=BC），
因此△ACM≌△AED（AAS），由全等三角形对应边相等得AC=AE。
方法二：
1. 如图，在AB的延长线上取点M，使CM=AC。
由等腰三角形性质得∠A=∠M，已知∠CDE=∠B，由补角的性质可得180°-∠CDE=180°-∠B，即∠ADE=∠MBC。
2. 在△ADE和△MBC中：
∠A=∠M，∠ADE=∠MBC，DE=BC（已知），
因此△ADE≌△MBC（AAS），由全等三角形对应边相等得AE=CM，又因为CM=AC，因此AC=AE。
【答案】
方法一:在AB上取点M,使BC=CM，
证△ACM≌△AED，
∴AC=AE.
方法二:在AB延长线上取点M,使CM=AC,则
△ADE≌△MBC，
CM=AE=AC.
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是角度错位相等类的典型几何证明题，解题核心是通过构造等腰三角形转移边、角的等量关系，构造出全等三角形完成证明。解题的关键是结合已知的边角相等条件，合理选择辅助线的构造方式，熟练运用等腰三角形和全等三角形的相关性质推导。
【难度系数】
0.6