方法1:在AC上取点M，
使CM=CP，连
接PM，

(抓∠BPE=∠A,AM=PB)

证△APM≌△PEB。

【分析】
要证明△APM≌△PEB，需逐步寻找全等的对应条件：首先利用构造的辅助线CM=CP结合∠C=90°，得到等腰直角△CMP，推出∠AMP=135°，与已知的∠PBE=135°相等；再结合AC=BC，通过边的差运算得到AM=PB；最后利用直角三角形两锐角互余、平角的性质，通过同角的余角相等推出∠A=∠BPE，凑齐全等判定所需的条件即可完成证明。
【解析】
1.
∵∠C=90°，CM=CP，
∴△CMP为等腰直角三角形，
∴∠CMP=∠CPM=45°，
∴∠AMP=180°-∠CMP=135°。
2. 已知∠PBE=135°，
∴∠AMP=∠PBE。
3.
∵△ACB为等腰直角三角形，AC=BC，
∴AC-CM=BC-CP，即AM=PB。
4.
∵∠APE=90°，
∴∠APC+∠EPB=180°-90°=90°；又
∵Rt△ACP中∠A+∠APC=90°，
∴∠A=∠EPB（同角的余角相等）。
5. 在△APM和△PEB中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠EPB \\AM=PB \\∠AMP=∠PBE\end{array} $
∴△APM≌△PEB（ASA）。
【答案】

【知识点】
等腰直角三角形性质，全等三角形判定，同角的余角相等
【点评】
本题是典型的45°角模型应用题，通过构造辅助线得到等腰直角三角形，实现角和边的等量转化，进而利用全等判定定理完成证明，掌握该类辅助线的构造思路能大幅提升同类题型的解题效率。
【难度系数】
0.6

方法2:连接AB,作PH⊥BC交AB于H点，

（抓∠ABP=45°作垂线）

证△APH≌△EPB。

【分析】
解题时首先结合等腰直角△ACB的性质得到∠ABC=45°，作PH⊥BC交AB于H后，可得到等腰直角△PHB，进而推出PH=PB、∠PHA=135°，刚好和已知的∠PBE=135°相等；再结合∠APE是直角，利用同角的余角相等可推出∠APH=∠EPB，最终满足ASA全等判定条件，即可证明△APH≌△EPB。
【解析】
1. 由题意可知△ACB为等腰直角三角形，∠C=90°，因此∠ABC=45°。
2. 作PH⊥BC交AB于H，可得∠HPB=90°，因此△PHB为等腰直角三角形，故PH=PB，且∠PHB=45°，由此推出∠PHA=180°-∠PHB=135°。
3. 已知∠PBE=135°，因此∠PHA=∠PBE。
4. 由图可知∠APE=90°，因此∠APH + ∠HPE = 90°；又∠HPB=90°，因此∠EPB + ∠HPE = 90°，根据同角的余角相等，可得∠APH=∠EPB。
5. 在△APH和△EPB中：
$\{\begin{array}{l}∠ PHA=∠ PBE \\PH=PB \\∠ APH=∠ EPB\end{array} $
因此△APH≌△EPB（ASA）。
【答案】

【知识点】
全等三角形判定，等腰直角三角形性质，余角的性质
【点评】
本题是45°角模型的经典变式题，核心思路是通过作垂线构造等腰直角三角形，得到全等所需的等边和等角条件，解题的关键是抓住135°角与45°角的互补关系，合理选择辅助线的构造方式。
【难度系数】
0.6

方法3:连接AB,作PF⊥BC交EB的延长线于F，

(利用45°角作垂线)

证△ABP≌△EFP。

【分析】
解题时先利用已知的135°角得到其邻补角为45°，结合所作PF⊥BC的辅助线，可证△PBF是等腰直角三角形，得到PB=PF、∠F=45°；再结合等腰直角△ACB的性质得到∠ABP=45°，即∠ABP=∠F；之后利用AP⊥PE的条件，通过平角、直角的角度和差关系推导出∠APB=∠EPF；最后用ASA判定定理即可证明△ABP≌△EFP。
【解析】
1. 推导等腰直角△PBF的性质：
已知∠PBE=135°，由邻补角定义得$∠ PBF=180°-135°=45°$。
因为$PF⊥ BC$，所以$∠ FPB=90°$，在$△ PBF$中，$∠ F=180°-∠ FPB-∠ PBF=45°$，因此$∠ F=∠ PBF$，由等角对等边得$PB=PF$。
2. 推导相等角：
由题可知$△ ACB$为等腰直角三角形，$∠ C=90°$，$AC=BC$，因此$∠ ABC=45°$，即$∠ ABP=45°$，可得$∠ ABP=∠ F$。
3. 推导对应角相等：
已知$AP⊥ PE$，因此$∠ APE=90°$。
因为点$C、P、B$共线，$∠ CPB=180°$，所以$∠ APC+∠ APE+∠ EPB=180°$，代入得$∠ APC+∠ EPB=90°$，即$∠ EPB=90°-∠ APC$。
由平角定义得$∠ APB=180°-∠ APC$；
同时$∠ EPF=∠ FPB+∠ EPB=90°+∠ EPB$，代入$∠ EPB=90°-∠ APC$得$∠ EPF=180°-∠ APC$，因此$∠ APB=∠ EPF$。
4. 证明全等：
在$△ ABP$和$△ EFP$中：
$\begin{cases}∠ ABP=∠ F \\PB=PF \\∠ APB=∠ EPF\end{cases}$
所以$△ ABP≌△ EFP(\mathrm{ASA})$。
【答案】

【知识点】
等腰直角三角形性质，全等三角形判定，角度和差计算
【点评】
本题属于45°角模型的典型几何证明题，通过作垂线构造等腰直角三角形得到全等所需的等边和等角，是几何辅助线构造的常用方法，能有效训练角度推导和全等证明的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.65

方法4:连接AB,过P点作PM⊥AB于M点,PN⊥EB交EB的延长线于N点,
(抓P点在角平分线上,向两边作垂线)

变式.如图,AC＝BC,AC⊥BC,点P在BC的延长线上,AP⊥PE,∠PBE＝45°.求证:PA＝PE.

证△APM≌△EPN。
变式证明：
方法1:延长AC至M使CP=CM,连接PM,证△APM≌△PEB。
方法2:连接AB,过P点作PH⊥PB交直线AB于H点,证△PHA≌△PBE。
方法3:连接AB,作PF⊥PB交直线BE于F点,证△PEF≌△PAB。
方法4:连接AB,过P点作PM⊥AB,PN⊥BE,垂足分别为M,N,证△APM≌△EPN。

【分析】
首先梳理已知条件：①AC⊥BC且AC=BC，可得△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45°；②已知∠PBE=45°，因此BP是∠ABE的角平分线；③AP⊥PE，要证PA=PE，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。
解题可从45°角的特性切入：要么利用角平分线性质作垂线段得到等边，要么构造新的等腰直角三角形得到等角、等边，再结合直角、同角的余角相等等条件，找到全等的判定依据，最终证明线段相等。
【解析】
我们以方法4为例展开证明：
1. 连接AB，
∵AC⊥BC，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45°。
2. 已知∠PBE=45°，
∴∠ABP=∠EBP=45°，即BP平分∠ABE。
3. 过P作PM⊥AB于M，PN⊥BE交EB延长线于N，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PM=PN，且∠PMA=∠PNE=90°。
4. 由∠PMB=∠PNB=90°，∠MBN=45°+45°=90°，可得四边形PMBN是矩形，因此∠MPN=90°。
5.
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，则∠APM+∠MPE=90°，又∠EPN+∠MPE=∠MPN=90°，可得∠APM=∠EPN。
6. 在△APM和△EPN中：
$\{\begin{array}{l}∠ PMA=∠ PNE=90°\\ PM=PN\\ ∠ APM=∠ EPN\end{array} $


∴△APM≌△EPN（ASA），因此PA=PE。
其余方法均是通过构造辅助线得到全等条件，逻辑与上述过程一致。
【答案】
证△APM≌△EPN。
变式证明：
方法1:延长AC至M使CP=CM,连接PM,证△APM≌△PEB。
方法2:连接AB,过P点作PH⊥PB交直线AB于H点,证△PHA≌△PBE。
方法3:连接AB,作PF⊥PB交直线BE于F点,证△PEF≌△PAB。
方法4:连接AB,过P点作PM⊥AB,PN⊥BE,垂足分别为M,N,证△APM≌△EPN。
【知识点】
等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，角平分线性质
【点评】
本题是45°角与等腰直角三角形结合的典型几何证明题，解题核心是根据45°角的特性构造合适的辅助线，创造全等三角形的判定条件，一题多解的设置有助于拓展几何解题思维，提升辅助线构造的熟练度。
【难度系数】
0.6