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【典例1】如图，若点D在AB下方，AD⊥BD，求∠BDC的度数. 
答案
证明:过点 C 作$CM ⊥ CD$ 交 DB 的延长线于点 M，
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}∠ ACD=∠ BCM,\\AC=BC,\\∠ CAD=∠ CBM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{ASA}),$
$\therefore CD=CM,$
$\therefore ∠ BDC=∠ M=45°.$
解析
【分析】
首先梳理已知条件：△ACB为等腰直角三角形（∠ACB=90°，AC=BC），且AD⊥BD即∠ADB=90°，要求∠BDC的度数。我们可以通过构造全等三角形转化边角关系：过点C作CM⊥CD交DB延长线于M，先利用同角的余角相等推出∠ACD=∠BCM，再结合四边形内角和、邻补角的性质推出∠CAD=∠CBM，结合AC=BC证明△ACD≌△BCM，得到CD=CM后即可推出△CDM为等腰直角三角形，进而求出∠BDC的度数。
【解析】
已知△ACB是等腰直角三角形，因此∠ACB=90°，AC=BC，又AD⊥BD，所以∠ADB=90°。
过点C作$CM ⊥ CD$ 交DB的延长线于点M：
1. 推导角相等：
因为∠ACB=∠DCM=90°，所以∠ACB - ∠BCD = ∠DCM - ∠BCD，即∠ACD=∠BCM；
四边形ADBC中，∠ADB+∠ACB=180°，因此∠CAD + ∠CBD = 180°，又∠CBM + ∠CBD = 180°（邻补角和为180°），因此∠CAD=∠CBM。
2. 证明全等：
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}∠ ACD=∠ BCM,\\AC=BC,\\∠ CAD=∠ CBM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{ASA})$，因此CD=CM。
3. 求角度：
因为∠DCM=90°且CD=CM，所以△CDM是等腰直角三角形，$\therefore ∠ BDC=∠ M=45°$。
【答案】
证明:过点 C 作$CM ⊥ CD$ 交 DB 的延长线于点 M，
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}∠ ACD=∠ BCM,\\AC=BC,\\∠ CAD=∠ CBM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{ASA}),$
$\therefore CD=CM,$
$\therefore ∠ BDC=∠ M=45°.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角度计算
【点评】
本题是45°角模型的典型习题，解题关键是通过作垂直辅助线构造全等三角形，将已知的等腰直角条件转化为新的等腰直角三角形，进而求出目标角度，掌握这类构造全等的辅助线方法，可快速解决同类型角度求解问题。
【难度系数】
0.6
首先梳理已知条件：△ACB为等腰直角三角形（∠ACB=90°，AC=BC），且AD⊥BD即∠ADB=90°，要求∠BDC的度数。我们可以通过构造全等三角形转化边角关系：过点C作CM⊥CD交DB延长线于M，先利用同角的余角相等推出∠ACD=∠BCM，再结合四边形内角和、邻补角的性质推出∠CAD=∠CBM，结合AC=BC证明△ACD≌△BCM，得到CD=CM后即可推出△CDM为等腰直角三角形，进而求出∠BDC的度数。
【解析】
已知△ACB是等腰直角三角形，因此∠ACB=90°，AC=BC，又AD⊥BD，所以∠ADB=90°。
过点C作$CM ⊥ CD$ 交DB的延长线于点M：
1. 推导角相等：
因为∠ACB=∠DCM=90°，所以∠ACB - ∠BCD = ∠DCM - ∠BCD，即∠ACD=∠BCM；
四边形ADBC中，∠ADB+∠ACB=180°，因此∠CAD + ∠CBD = 180°，又∠CBM + ∠CBD = 180°（邻补角和为180°），因此∠CAD=∠CBM。
2. 证明全等：
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}∠ ACD=∠ BCM,\\AC=BC,\\∠ CAD=∠ CBM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{ASA})$，因此CD=CM。
3. 求角度：
因为∠DCM=90°且CD=CM，所以△CDM是等腰直角三角形，$\therefore ∠ BDC=∠ M=45°$。
【答案】
证明:过点 C 作$CM ⊥ CD$ 交 DB 的延长线于点 M，
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}∠ ACD=∠ BCM,\\AC=BC,\\∠ CAD=∠ CBM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{ASA}),$
$\therefore CD=CM,$
$\therefore ∠ BDC=∠ M=45°.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角度计算
【点评】
本题是45°角模型的典型习题，解题关键是通过作垂直辅助线构造全等三角形，将已知的等腰直角条件转化为新的等腰直角三角形，进而求出目标角度，掌握这类构造全等的辅助线方法，可快速解决同类型角度求解问题。
【难度系数】
0.6
变式.如图,点 D 在 AB 下方,∠BDC=45°,求证:AD⊥BD. 
答案
证明:过点 C 作$CM ⊥ CD$ 交 DB 的延长线于点 M
$\therefore CD=CM,$
$∠ ACD=∠ BCM,$
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ ACD=∠ BCM,\\CD=CM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ ADC=∠ M=45°,$
$\therefore AD⊥ BD.$
解析
【分析】
要证明$AD⊥BD$，即需证明$∠ADB=90°$，已知$∠BDC=45°$，因此只需证明$∠ADC=45°$即可。结合本题是等腰直角三角形与45°角结合的模型，△ACB为等腰直角三角形（$AC=BC$，$∠ACB=90°$）的隐含条件，可通过作辅助线构造全等三角形转化角的关系：过点C作$CM⊥CD$交DB延长线于M，先得到等腰直角△CDM，可得$CD=CM$、$∠M=45°$，再证明△ACD与△BCM全等，即可推出$∠ADC=∠M=45°$，进而得到$∠ADB=90°$完成证明。
【解析】
证明：过点C作$CM ⊥ CD$ 交 DB 的延长线于点 M
∵$∠DCM=90°$，$∠BDC=45°$
∴△CDM是等腰直角三角形，
$\therefore CD=CM$，$∠M=45°$
∵$∠ACB=∠DCM=90°$
∴$∠ACB - ∠DCB = ∠DCM - ∠DCB$，即$∠ ACD=∠ BCM$
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ ACD=∠ BCM,\\CD=CM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ ADC=∠ M=45°$
∴$∠ADB=∠ADC + ∠BDC=45°+45°=90°$
$\therefore AD⊥ BD$
【答案】
证明:过点 C 作$CM ⊥ CD$ 交 DB 的延长线于点 M
$\therefore CD=CM,$
$∠ ACD=∠ BCM,$
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ ACD=∠ BCM,\\CD=CM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ ADC=∠ M=45°,$
$\therefore AD⊥ BD.$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的判定
【点评】
本题是典型的45°角结合等腰直角三角形的几何模型，解题的关键是通过作垂线构造等腰直角三角形，借助全等三角形转化角的数量关系，这种构造辅助线的思路是解决此类角度证明问题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
要证明$AD⊥BD$，即需证明$∠ADB=90°$，已知$∠BDC=45°$，因此只需证明$∠ADC=45°$即可。结合本题是等腰直角三角形与45°角结合的模型，△ACB为等腰直角三角形（$AC=BC$，$∠ACB=90°$）的隐含条件，可通过作辅助线构造全等三角形转化角的关系：过点C作$CM⊥CD$交DB延长线于M，先得到等腰直角△CDM，可得$CD=CM$、$∠M=45°$，再证明△ACD与△BCM全等，即可推出$∠ADC=∠M=45°$，进而得到$∠ADB=90°$完成证明。
【解析】
证明：过点C作$CM ⊥ CD$ 交 DB 的延长线于点 M
∵$∠DCM=90°$，$∠BDC=45°$
∴△CDM是等腰直角三角形，
$\therefore CD=CM$，$∠M=45°$
∵$∠ACB=∠DCM=90°$
∴$∠ACB - ∠DCB = ∠DCM - ∠DCB$，即$∠ ACD=∠ BCM$
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ ACD=∠ BCM,\\CD=CM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ ADC=∠ M=45°$
∴$∠ADB=∠ADC + ∠BDC=45°+45°=90°$
$\therefore AD⊥ BD$
【答案】
证明:过点 C 作$CM ⊥ CD$ 交 DB 的延长线于点 M
$\therefore CD=CM,$
$∠ ACD=∠ BCM,$
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ ACD=∠ BCM,\\CD=CM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ ADC=∠ M=45°,$
$\therefore AD⊥ BD.$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的判定
【点评】
本题是典型的45°角结合等腰直角三角形的几何模型，解题的关键是通过作垂线构造等腰直角三角形，借助全等三角形转化角的数量关系，这种构造辅助线的思路是解决此类角度证明问题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
【典例2】如图，点D在AB上方，AD⊥BD，求∠BDC的度数.
答案
证明:$\because ∠ ADB=∠ BCA,$
$\therefore ∠ DAC=∠ CBD,$
过点 C 作$CM ⊥ CD$ 交 BD 于点 M，
$\therefore ∠ DCA=∠ BCM,$
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}∠ DCA=∠ BCM,\\CA=CB,\\∠ CAD=∠ CBM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{ASA}),$
$\therefore CD=CM,$
$\therefore ∠ CDB=45°.$
解析
【分析】
首先由已知的AD⊥BD和∠ACB=90°，可得∠ADB=∠BCA=90°，结合三角形内角和与对顶角相等，可推出∠DAC=∠CBD；要推导∠BDC的度数，可通过构造全等三角形转化边角关系：过点C作CM⊥CD交BD于M，可得∠DCA=∠BCM，结合隐含条件CA=CB，即可证明△ACD和△BCM全等，得到CD=CM，进而推出△CDM为等腰直角三角形，就能求出∠BDC的度数。
【解析】
证明：
∵AD⊥BD，∠ACB=90°
∴∠ADB=∠BCA=90°
根据三角形内角和与对顶角相等，可得∠DAC=∠CBD
过点C作$CM⊥CD$交BD于点M
∴∠DCM=∠ACB=90°
∴∠DCM - ∠ACM = ∠ACB - ∠ACM，即∠DCA=∠BCM
在$△ACD$和$△BCM$中：
$\begin{cases}∠DCA=∠BCM\\CA=CB\\∠CAD=∠CBM\end{cases}$
∴$△ACD≌△BCM(\mathrm{ASA})$
∴CD=CM，即△CDM为等腰直角三角形
∴∠CDB=45°
【答案】
证明:$\because ∠ ADB=∠ BCA,$
$\therefore ∠ DAC=∠ CBD,$
过点 C 作$CM ⊥ CD$ 交 BD 于点 M，
$\therefore ∠ DCA=∠ BCM,$
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}∠ DCA=∠ BCM,\\CA=CB,\\∠ CAD=∠ CBM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{ASA}),$
$\therefore CD=CM,$
$\therefore ∠ CDB=45°.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等
【点评】
本题属于经典的45°角构造类几何题，解题核心是通过作垂直辅助线构造全等三角形，将分散的边角条件进行整合，结合等腰直角三角形的性质求解角度，需熟练掌握这类辅助线的构造技巧和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
首先由已知的AD⊥BD和∠ACB=90°，可得∠ADB=∠BCA=90°，结合三角形内角和与对顶角相等，可推出∠DAC=∠CBD；要推导∠BDC的度数，可通过构造全等三角形转化边角关系：过点C作CM⊥CD交BD于M，可得∠DCA=∠BCM，结合隐含条件CA=CB，即可证明△ACD和△BCM全等，得到CD=CM，进而推出△CDM为等腰直角三角形，就能求出∠BDC的度数。
【解析】
证明：
∵AD⊥BD，∠ACB=90°
∴∠ADB=∠BCA=90°
根据三角形内角和与对顶角相等，可得∠DAC=∠CBD
过点C作$CM⊥CD$交BD于点M
∴∠DCM=∠ACB=90°
∴∠DCM - ∠ACM = ∠ACB - ∠ACM，即∠DCA=∠BCM
在$△ACD$和$△BCM$中：
$\begin{cases}∠DCA=∠BCM\\CA=CB\\∠CAD=∠CBM\end{cases}$
∴$△ACD≌△BCM(\mathrm{ASA})$
∴CD=CM，即△CDM为等腰直角三角形
∴∠CDB=45°
【答案】
证明:$\because ∠ ADB=∠ BCA,$
$\therefore ∠ DAC=∠ CBD,$
过点 C 作$CM ⊥ CD$ 交 BD 于点 M，
$\therefore ∠ DCA=∠ BCM,$
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}∠ DCA=∠ BCM,\\CA=CB,\\∠ CAD=∠ CBM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{ASA}),$
$\therefore CD=CM,$
$\therefore ∠ CDB=45°.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等
【点评】
本题属于经典的45°角构造类几何题，解题核心是通过作垂直辅助线构造全等三角形，将分散的边角条件进行整合，结合等腰直角三角形的性质求解角度，需熟练掌握这类辅助线的构造技巧和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
变式.如图,点 D 在 AB 上方,∠BDC=45°,求证:AD⊥BD. 
答案
证明:过点 C 作$CM ⊥ CD$ 交 BD 于点 M，
$\therefore CD=CM,$
$∠ DCA=∠ MCB,$
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ ACD=∠ BCM,\\CD=CM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ DAC=∠ CBM,$
$\therefore ∠ ADB=∠ ACB=90°.$
解析
【分析】
要证AD⊥BD，即证明∠ADB=90°。首先观察图形可知△ACB是等腰直角三角形（AC=BC，∠ACB=90°），结合已知∠BDC=45°，可通过作辅助线构造等腰直角三角形创造全等条件：过点C作CM⊥CD交BD于点M，可得△CDM为等腰直角三角形，即CD=CM，再推导得到∠ACD=∠BCM，结合AC=BC即可证明△ACD≌△BCM，利用全等三角形对应角相等得到角的等量关系，最后通过导角即可证明∠ADB=90°，完成证明。
【解析】
证明：由图可知△ACB为等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°。
过点C作$CM ⊥ CD$ 交 BD 于点 M，
∴∠DCM=90°，
∵∠BDC=45°，
∴△CDM为等腰直角三角形，
$\therefore CD=CM,$
∵∠ACD + ∠ACM = ∠DCM = 90°，∠BCM + ∠ACM = ∠ACB = 90°，
$\therefore ∠ DCA=∠ MCB,$
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ ACD=∠ BCM,\\CD=CM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ DAC=∠ CBM,$
设AC与BD交于点O，
∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
∴180° - ∠DAC - ∠AOD = 180° - ∠CBM - ∠BOC，
即∠ADB=∠ACB=90°，
$\therefore AD⊥BD$。
【答案】
证明:过点 C 作$CM ⊥ CD$ 交 BD 于点 M，
$\therefore CD=CM,$
$∠ DCA=∠ MCB,$
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ ACD=∠ BCM,\\CD=CM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ DAC=∠ CBM,$
$\therefore ∠ ADB=∠ ACB=90°.$
【知识点】
等腰直角三角形性质，全等三角形的判定与性质，垂直的判定
【点评】
本题是45°角与等腰直角三角形结合的典型几何证明题，通过构造等腰直角三角形创造全等条件，再利用全等性质导角证明垂直，掌握这类辅助线构造方法能快速解决同类型几何问题。
【难度系数】
0.6
要证AD⊥BD，即证明∠ADB=90°。首先观察图形可知△ACB是等腰直角三角形（AC=BC，∠ACB=90°），结合已知∠BDC=45°，可通过作辅助线构造等腰直角三角形创造全等条件：过点C作CM⊥CD交BD于点M，可得△CDM为等腰直角三角形，即CD=CM，再推导得到∠ACD=∠BCM，结合AC=BC即可证明△ACD≌△BCM，利用全等三角形对应角相等得到角的等量关系，最后通过导角即可证明∠ADB=90°，完成证明。
【解析】
证明：由图可知△ACB为等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°。
过点C作$CM ⊥ CD$ 交 BD 于点 M，
∴∠DCM=90°，
∵∠BDC=45°，
∴△CDM为等腰直角三角形，
$\therefore CD=CM,$
∵∠ACD + ∠ACM = ∠DCM = 90°，∠BCM + ∠ACM = ∠ACB = 90°，
$\therefore ∠ DCA=∠ MCB,$
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ ACD=∠ BCM,\\CD=CM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ DAC=∠ CBM,$
设AC与BD交于点O，
∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
∴180° - ∠DAC - ∠AOD = 180° - ∠CBM - ∠BOC，
即∠ADB=∠ACB=90°，
$\therefore AD⊥BD$。
【答案】
证明:过点 C 作$CM ⊥ CD$ 交 BD 于点 M，
$\therefore CD=CM,$
$∠ DCA=∠ MCB,$
在$△ ACD$ 和$△ BCM$ 中，
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ ACD=∠ BCM,\\CD=CM,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCM(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ DAC=∠ CBM,$
$\therefore ∠ ADB=∠ ACB=90°.$
【知识点】
等腰直角三角形性质，全等三角形的判定与性质，垂直的判定
【点评】
本题是45°角与等腰直角三角形结合的典型几何证明题，通过构造等腰直角三角形创造全等条件，再利用全等性质导角证明垂直，掌握这类辅助线构造方法能快速解决同类型几何问题。
【难度系数】
0.6
135°,求证:AD⊥BD. 
答案
证明:过点 C 作$CM ⊥ CD$,交 AD 的延长线于点 M，
$\therefore CD=CM,$
$∠ ACM=∠ BCD,$
在$△ ACM$ 和$△ BCD$ 中，
$\begin{cases}CM=CD,\\∠ MCA=∠ DCB,\\AC=BC,\end{cases}$
$\therefore △ ACM≌ △ BCD(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ MAC=∠ DBC,$
$\therefore AD⊥ BD.$
解析
【分析】
要证明AD⊥BD，本质是要证∠ADB=90°。已知△ACB为等腰直角三角形（∠ACB=90°，AC=BC），且给出∠ADC=135°，135°与45°互补，我们可以通过构造等腰直角三角形创造全等条件：过点C作CM⊥CD交AD延长线于点M，可得△CDM是等腰直角三角形，得到CD=CM，再结合共顶点的直角推出∠ACM=∠BCD，即可用SAS证明△ACM≌△BCD，最后通过倒角推出∠ADB=90°即可得证。
【解析】
已知△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ADC=135°，求证AD⊥BD，证明过程如下：
过点 C 作$CM ⊥ CD$，交 AD 的延长线于点 M，
∵∠DCM=∠ACB=90°，
∴∠DCM - ∠ACD = ∠ACB - ∠ACD，即$∠ ACM=∠ BCD$。
∵∠ADC=135°，
∴∠MDC=180°-135°=45°，Rt△DCM中∠M=45°=∠MDC，$\therefore CD=CM$。
在$△ ACM$ 和$△ BCD$ 中，
$\begin{cases}CM=CD,\\∠ MCA=∠ DCB,\\AC=BC,\end{cases}$
$\therefore △ ACM≌ △ BCD(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ MAC=∠ DBC,$
设AC与BD交于点O，由对顶角相等得∠AOD=∠BOC，因此∠ADB=∠ACB=90°，故AD⊥BD。
【答案】
证明:过点 C 作$CM ⊥ CD$,交 AD 的延长线于点 M，
$\therefore CD=CM,$
$∠ ACM=∠ BCD,$
在$△ ACM$ 和$△ BCD$ 中，
$\begin{cases}CM=CD,\\∠ MCA=∠ DCB,\\AC=BC,\end{cases}$
$\therefore △ ACM≌ △ BCD(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ MAC=∠ DBC,$
$\therefore AD⊥ BD.$
【知识点】
等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质、垂直的判定
【点评】
本题是等腰直角三角形构造全等的典型题型，通过特殊角的特征构造辅助线获得全等条件，借助全等转化角的关系最终证明垂直，熟练掌握全等判定和等腰直角三角形的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.6
要证明AD⊥BD，本质是要证∠ADB=90°。已知△ACB为等腰直角三角形（∠ACB=90°，AC=BC），且给出∠ADC=135°，135°与45°互补，我们可以通过构造等腰直角三角形创造全等条件：过点C作CM⊥CD交AD延长线于点M，可得△CDM是等腰直角三角形，得到CD=CM，再结合共顶点的直角推出∠ACM=∠BCD，即可用SAS证明△ACM≌△BCD，最后通过倒角推出∠ADB=90°即可得证。
【解析】
已知△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ADC=135°，求证AD⊥BD，证明过程如下：
过点 C 作$CM ⊥ CD$，交 AD 的延长线于点 M，
∵∠DCM=∠ACB=90°，
∴∠DCM - ∠ACD = ∠ACB - ∠ACD，即$∠ ACM=∠ BCD$。
∵∠ADC=135°，
∴∠MDC=180°-135°=45°，Rt△DCM中∠M=45°=∠MDC，$\therefore CD=CM$。
在$△ ACM$ 和$△ BCD$ 中，
$\begin{cases}CM=CD,\\∠ MCA=∠ DCB,\\AC=BC,\end{cases}$
$\therefore △ ACM≌ △ BCD(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ MAC=∠ DBC,$
设AC与BD交于点O，由对顶角相等得∠AOD=∠BOC，因此∠ADB=∠ACB=90°，故AD⊥BD。
【答案】
证明:过点 C 作$CM ⊥ CD$,交 AD 的延长线于点 M，
$\therefore CD=CM,$
$∠ ACM=∠ BCD,$
在$△ ACM$ 和$△ BCD$ 中，
$\begin{cases}CM=CD,\\∠ MCA=∠ DCB,\\AC=BC,\end{cases}$
$\therefore △ ACM≌ △ BCD(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ MAC=∠ DBC,$
$\therefore AD⊥ BD.$
【知识点】
等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质、垂直的判定
【点评】
本题是等腰直角三角形构造全等的典型题型，通过特殊角的特征构造辅助线获得全等条件，借助全等转化角的关系最终证明垂直，熟练掌握全等判定和等腰直角三角形的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.6
变式.如图,点P在AB上,连接PC,PE⊥PC,且PE=PC,求证:BE//AC. 
答案
证明:过点 P 作$PM ⊥ AB$,交 BC 的延长线于点 M，
$\therefore PM=BP,$
$∠ MPC=∠ EPB,$
在$△ CPM$ 和$△ EPB$ 中，
$\begin{cases}PM=PB,\\∠ MPC=∠ EPB,\\PC=PE,\end{cases}$
$\therefore △ CPM≌ △ EPB(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ PBE=45°,\therefore BE// AC.$
解析
【分析】
要证明BE//AC，可通过证明两直线被AB所截的内错角相等推导，结合已知△ACB是等腰直角三角形，可得∠A=45°，因此只需证∠PBE=45°即可。题中给出PE=PC且PE⊥PC，我们可以通过构造全等三角形转化角的关系：过点P作PM⊥AB交BC延长线于点M，先得到等腰直角△PMB，推出PM=PB、∠M=45°，再利用PC⊥PE的条件，根据同角的余角相等得到一组夹角相等，即可证明△CPM和△EPB全等，得到∠PBE=∠M=45°，最终推出两直线平行。
【解析】
证明：过点P作$PM ⊥ AB$，交BC的延长线于点M，
∵△ACB是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵PM⊥AB，
∴∠MPB=90°，
∴∠M=∠PBM=45°，
∴PM=BP，
∵PE⊥PC，
∴∠CPE=90°，
∴∠MPC + ∠CPB = ∠MPB=90°，∠EPB + ∠CPB = ∠CPE=90°，
∴∠MPC=∠EPB，
在$△ CPM$ 和$△ EPB$ 中，
$\begin{cases}PM=PB,\\∠ MPC=∠ EPB,\\PC=PE,\end{cases}$
$\therefore △ CPM≌ △ EPB(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ PBE=∠M=45°,$
∴∠A=∠PBE=45°（内错角相等），
$\therefore BE// AC.$
【答案】
证明:过点 P 作$PM ⊥ AB$,交 BC 的延长线于点 M，
$\therefore PM=BP,$
$∠ MPC=∠ EPB,$
在$△ CPM$ 和$△ EPB$ 中，
$\begin{cases}PM=PB,\\∠ MPC=∠ EPB,\\PC=PE,\end{cases}$
$\therefore △ CPM≌ △ EPB(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ PBE=45°,\therefore BE// AC.$
【知识点】
等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定
【点评】
本题是45°角几何模型的典型应用，解题核心是通过作垂直辅助线构造等腰直角三角形和全等三角形，将平行的证明转化为角相等的证明，有助于提升几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要证明BE//AC，可通过证明两直线被AB所截的内错角相等推导，结合已知△ACB是等腰直角三角形，可得∠A=45°，因此只需证∠PBE=45°即可。题中给出PE=PC且PE⊥PC，我们可以通过构造全等三角形转化角的关系：过点P作PM⊥AB交BC延长线于点M，先得到等腰直角△PMB，推出PM=PB、∠M=45°，再利用PC⊥PE的条件，根据同角的余角相等得到一组夹角相等，即可证明△CPM和△EPB全等，得到∠PBE=∠M=45°，最终推出两直线平行。
【解析】
证明：过点P作$PM ⊥ AB$，交BC的延长线于点M，
∵△ACB是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵PM⊥AB，
∴∠MPB=90°，
∴∠M=∠PBM=45°，
∴PM=BP，
∵PE⊥PC，
∴∠CPE=90°，
∴∠MPC + ∠CPB = ∠MPB=90°，∠EPB + ∠CPB = ∠CPE=90°，
∴∠MPC=∠EPB，
在$△ CPM$ 和$△ EPB$ 中，
$\begin{cases}PM=PB,\\∠ MPC=∠ EPB,\\PC=PE,\end{cases}$
$\therefore △ CPM≌ △ EPB(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ PBE=∠M=45°,$
∴∠A=∠PBE=45°（内错角相等），
$\therefore BE// AC.$
【答案】
证明:过点 P 作$PM ⊥ AB$,交 BC 的延长线于点 M，
$\therefore PM=BP,$
$∠ MPC=∠ EPB,$
在$△ CPM$ 和$△ EPB$ 中，
$\begin{cases}PM=PB,\\∠ MPC=∠ EPB,\\PC=PE,\end{cases}$
$\therefore △ CPM≌ △ EPB(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ PBE=45°,\therefore BE// AC.$
【知识点】
等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定
【点评】
本题是45°角几何模型的典型应用，解题核心是通过作垂直辅助线构造等腰直角三角形和全等三角形，将平行的证明转化为角相等的证明，有助于提升几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
