登录
方法技巧 等腰三角形模型(四)——倍角模型〈化倍角为等角〉
【方法归纳】化倍角为等角，构造等腰与全等是倍角问题常规方法。
题型一 结合角等运用截长或补短构全等与等腰
【典例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，若AD平分∠BAC交BC于点D，求证：AB＋BD＝AC。
备用图
【方法归纳】化倍角为等角，构造等腰与全等是倍角问题常规方法。
题型一 结合角等运用截长或补短构全等与等腰
【典例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，若AD平分∠BAC交BC于点D，求证：AB＋BD＝AC。
备用图
答案
证明:方法一(截长法):在 AC 上截取 AE=AB,连接 DE.
在△ABD 和△AED 中,
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAD=∠EAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△ABD≌△AED(SAS),
∴BD=DE,
∠B=∠AED=2∠C,
∴∠EDC=∠C,
∴CE=DE=BD,
∴AB+BD=AC.
方法二(补短法):延长 AB 至点 E,使 BE=BD,连接 DE.
∵∠ABC=2∠C=2∠E,
∴∠E=∠C,
在△AED 和△ACD 中,$\begin{cases} ∠E=∠C, \\ ∠EAD=∠CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AED≌△ACD(AAS),
∴AE=AC,
∴AC=AB+BD.
解析
【分析】
要证明AB+BD=AC，属于线段和差类证明问题，常用截长法或补短法两种思路：
1. 截长法：在较长线段AC上截取一段等于AB，将问题转化为证明剩余线段等于BD。结合AD是角平分线的条件，可构造全等三角形，再利用∠B=2∠C的倍角关系推导等腰三角形，即可得到剩余线段与BD相等。
2. 补短法：将较短线段AB延长，使延长的部分长度等于BD，将问题转化为证明延长后的总线段等于AC。先利用等腰三角形外角性质将倍角转化为等角，再结合角平分线条件构造全等三角形，即可证明总线段与AC相等。
【解析】
方法一（截长法）
在AC上截取AE=AB，连接DE。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD。
在$△ ABD$和$△ AED$中：
$\begin{cases} AB=AE \\ ∠BAD=∠EAD \\ AD=AD \end{cases}$
∴$△ ABD≌△ AED$（SAS）
∴$BD=DE$，$∠B=∠AED$。
已知$∠ABC=2∠C$，
∴$∠AED=2∠C$。
根据三角形外角性质，$∠AED=∠EDC+∠C$，
∴$2∠C=∠EDC+∠C$，即$∠EDC=∠C$，
∴$CE=DE=BD$。
∵$AC=AE+CE$，且$AE=AB$，$CE=BD$，
∴$AB+BD=AC$。
方法二（补短法）
延长AB至点E，使$BE=BD$，连接DE。
∵$BE=BD$，
∴$∠E=∠BDE$。
根据三角形外角性质，$∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E$。
又
∵$∠ABC=2∠C$，
∴$∠E=∠C$。
∵AD平分∠BAC，
∴$∠EAD=∠CAD$。
在$△ AED$和$△ ACD$中：
$\begin{cases} ∠E=∠C \\ ∠EAD=∠CAD \\ AD=AD \end{cases}$
∴$△ AED≌△ ACD$（AAS）
∴$AE=AC$。
∵$AE=AB+BE=AB+BD$，
∴$AB+BD=AC$。
【答案】
证明:方法一(截长法):在 AC 上截取 AE=AB,连接 DE.
在△ABD 和△AED 中,
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAD=∠EAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△ABD≌△AED(SAS),
∴BD=DE,
∠B=∠AED=2∠C,
∴∠EDC=∠C,
∴CE=DE=BD,
∴AB+BD=AC.
方法二(补短法):延长 AB 至点 E,使 BE=BD,连接 DE.
∵∠ABC=2∠C=2∠E,
∴∠E=∠C,
在△AED 和△ACD 中,$\begin{cases} ∠E=∠C, \\ ∠EAD=∠CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AED≌△ACD(AAS),
∴AE=AC,
∴AC=AB+BD.
【知识点】
1. 全等三角形判定与性质
2. 等腰三角形判定
3. 三角形外角性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心思路是利用截长补短法转化线段关系，结合倍角条件构造等腰三角形与全等三角形，体现了几何证明中的转化思想，掌握截长补短的方法可快速解决这类倍角、线段和差结合的问题。
【难度系数】
0.7
要证明AB+BD=AC，属于线段和差类证明问题，常用截长法或补短法两种思路：
1. 截长法：在较长线段AC上截取一段等于AB，将问题转化为证明剩余线段等于BD。结合AD是角平分线的条件，可构造全等三角形，再利用∠B=2∠C的倍角关系推导等腰三角形，即可得到剩余线段与BD相等。
2. 补短法：将较短线段AB延长，使延长的部分长度等于BD，将问题转化为证明延长后的总线段等于AC。先利用等腰三角形外角性质将倍角转化为等角，再结合角平分线条件构造全等三角形，即可证明总线段与AC相等。
【解析】
方法一（截长法）
在AC上截取AE=AB，连接DE。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD。
在$△ ABD$和$△ AED$中：
$\begin{cases} AB=AE \\ ∠BAD=∠EAD \\ AD=AD \end{cases}$
∴$△ ABD≌△ AED$（SAS）
∴$BD=DE$，$∠B=∠AED$。
已知$∠ABC=2∠C$，
∴$∠AED=2∠C$。
根据三角形外角性质，$∠AED=∠EDC+∠C$，
∴$2∠C=∠EDC+∠C$，即$∠EDC=∠C$，
∴$CE=DE=BD$。
∵$AC=AE+CE$，且$AE=AB$，$CE=BD$，
∴$AB+BD=AC$。
方法二（补短法）
延长AB至点E，使$BE=BD$，连接DE。
∵$BE=BD$，
∴$∠E=∠BDE$。
根据三角形外角性质，$∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E$。
又
∵$∠ABC=2∠C$，
∴$∠E=∠C$。
∵AD平分∠BAC，
∴$∠EAD=∠CAD$。
在$△ AED$和$△ ACD$中：
$\begin{cases} ∠E=∠C \\ ∠EAD=∠CAD \\ AD=AD \end{cases}$
∴$△ AED≌△ ACD$（AAS）
∴$AE=AC$。
∵$AE=AB+BE=AB+BD$，
∴$AB+BD=AC$。
【答案】
证明:方法一(截长法):在 AC 上截取 AE=AB,连接 DE.
在△ABD 和△AED 中,
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAD=∠EAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△ABD≌△AED(SAS),
∴BD=DE,
∠B=∠AED=2∠C,
∴∠EDC=∠C,
∴CE=DE=BD,
∴AB+BD=AC.
方法二(补短法):延长 AB 至点 E,使 BE=BD,连接 DE.
∵∠ABC=2∠C=2∠E,
∴∠E=∠C,
在△AED 和△ACD 中,$\begin{cases} ∠E=∠C, \\ ∠EAD=∠CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AED≌△ACD(AAS),
∴AE=AC,
∴AC=AB+BD.
【知识点】
1. 全等三角形判定与性质
2. 等腰三角形判定
3. 三角形外角性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心思路是利用截长补短法转化线段关系，结合倍角条件构造等腰三角形与全等三角形，体现了几何证明中的转化思想，掌握截长补短的方法可快速解决这类倍角、线段和差结合的问题。
【难度系数】
0.7
变式.如图，P为$△ ABC$角平分线的交点，$∠ CAB=2∠ ABC$，求证：$BC=AC+AP$.
答案
证明:方法一(截长法):在 BC 上取 CM=CA,连接 PM,
在△ACP 和△MCP 中,$\begin{cases} AC=CM, \\ ∠ACP=∠MCP, \\ CP=CP, \end{cases}$
∴△ACP≌△MCP(SAS),
∴PA=PM,
∴∠CAP=∠CMP=∠MBP+∠MPB,
∴∠MBP=∠MPB,
∴BM=MP,
∴BC=AC+AP.
方法二(补短法):延长 CA 至点 N,使 CN=CB,
在△CNP 和△CBP 中,
$\begin{cases} CN=CB, \\ ∠NCP=∠BCP, \\ CP=CP, \end{cases}$
∴△CNP≌△CBP(SAS),
∴∠N=∠CBP,
又
∵∠CAP=∠N+∠APN,
∴∠N=∠APN,
∴AP=AN,
∴BC=AC+AP.
解析
【分析】
要证明线段和差关系$BC=AC+AP$，通常采用截长补短法：①截长法：在长线段$BC$上截取一段等于$AC$，证明剩余线段等于$AP$；②补短法：延长较短线段$AC$，使延长后的总长度等于$BC$，证明延长的部分等于$AP$。结合$P$是角平分线交点的条件构造全等三角形，再利用$∠ CAB=2∠ ABC$的倍角关系推导等腰三角形，得到等线段即可完成证明。
【解析】
方法一（截长法）：
在$BC$上取$CM=CA$，连接$PM$，
因为$CP$是$∠ ACB$的角平分线，所以$∠ ACP=∠ MCP$。
在$△ ACP$和$△ MCP$中：
$\begin{cases} AC=CM, \\ ∠ ACP=∠ MCP, \\ CP=CP, \end{cases}$
$\therefore△ ACP≌△ MCP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore PA=PM$，$∠ CAP=∠ CMP$。
已知$P$是$△ ABC$角平分线交点，$∠ CAB=2∠ ABC$，因此$∠ CAP=∠ CAB=2∠ MBP$。
又因为$∠ CMP$是$△ BMP$的外角，所以$∠ CMP=∠ MBP+∠ MPB$，代入得$2∠ MBP=∠ MBP+∠ MPB$，即$∠ MBP=∠ MPB$，由等角对等边得$BM=MP=PA$。
因此$BC=BM+CM=AP+AC$，即$BC=AC+AP$。
方法二（补短法）：
延长$CA$至点$N$，使$CN=CB$，连接$PN$，
因为$CP$平分$∠ ACB$，所以$∠ NCP=∠ BCP$。
在$△ CNP$和$△ CBP$中：
$\begin{cases} CN=CB, \\ ∠ NCP=∠ BCP, \\ CP=CP, \end{cases}$
$\therefore△ CNP≌△ CBP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore∠ N=∠ CBP$。
已知$P$是$△ ABC$角平分线交点，$∠ CAB=2∠ ABC$，因此$∠ CAP=\frac{1}{2}∠ CAB=∠ ABC=2∠ CBP=2∠ N$。
又因为$∠ CAP$是$△ ANP$的外角，所以$∠ CAP=∠ N+∠ APN$，代入得$2∠ N=∠ N+∠ APN$，即$∠ N=∠ APN$，由等角对等边得$AP=AN$。
因此$BC=CN=AC+AN=AC+AP$，即$BC=AC+AP$。
【答案】
证明:方法一(截长法):在 BC 上取 CM=CA,连接 PM,
在△ACP 和△MCP 中,$\begin{cases} AC=CM, \\ ∠ACP=∠MCP, \\ CP=CP, \end{cases}$
∴△ACP≌△MCP(SAS),
∴PA=PM,
∴∠CAP=∠CMP=∠MBP+∠MPB,
∴∠MBP=∠MPB,
∴BM=MP,
∴BC=AC+AP.
方法二(补短法):延长 CA 至点 N,使 CN=CB,
在△CNP 和△CBP 中,
$\begin{cases} CN=CB, \\ ∠NCP=∠BCP, \\ CP=CP, \end{cases}$
∴△CNP≌△CBP(SAS),
∴∠N=∠CBP,
又
∵∠CAP=∠N+∠APN,
∴∠N=∠APN,
∴AP=AN,
∴BC=AC+AP.
【知识点】
全等三角形判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心考查截长补短法构造全等三角形的应用，结合倍角条件转化为等角推导出等腰三角形，即可实现线段关系的转换，对几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要证明线段和差关系$BC=AC+AP$，通常采用截长补短法：①截长法：在长线段$BC$上截取一段等于$AC$，证明剩余线段等于$AP$；②补短法：延长较短线段$AC$，使延长后的总长度等于$BC$，证明延长的部分等于$AP$。结合$P$是角平分线交点的条件构造全等三角形，再利用$∠ CAB=2∠ ABC$的倍角关系推导等腰三角形，得到等线段即可完成证明。
【解析】
方法一（截长法）：
在$BC$上取$CM=CA$，连接$PM$，
因为$CP$是$∠ ACB$的角平分线，所以$∠ ACP=∠ MCP$。
在$△ ACP$和$△ MCP$中：
$\begin{cases} AC=CM, \\ ∠ ACP=∠ MCP, \\ CP=CP, \end{cases}$
$\therefore△ ACP≌△ MCP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore PA=PM$，$∠ CAP=∠ CMP$。
已知$P$是$△ ABC$角平分线交点，$∠ CAB=2∠ ABC$，因此$∠ CAP=∠ CAB=2∠ MBP$。
又因为$∠ CMP$是$△ BMP$的外角，所以$∠ CMP=∠ MBP+∠ MPB$，代入得$2∠ MBP=∠ MBP+∠ MPB$，即$∠ MBP=∠ MPB$，由等角对等边得$BM=MP=PA$。
因此$BC=BM+CM=AP+AC$，即$BC=AC+AP$。
方法二（补短法）：
延长$CA$至点$N$，使$CN=CB$，连接$PN$，
因为$CP$平分$∠ ACB$，所以$∠ NCP=∠ BCP$。
在$△ CNP$和$△ CBP$中：
$\begin{cases} CN=CB, \\ ∠ NCP=∠ BCP, \\ CP=CP, \end{cases}$
$\therefore△ CNP≌△ CBP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore∠ N=∠ CBP$。
已知$P$是$△ ABC$角平分线交点，$∠ CAB=2∠ ABC$，因此$∠ CAP=\frac{1}{2}∠ CAB=∠ ABC=2∠ CBP=2∠ N$。
又因为$∠ CAP$是$△ ANP$的外角，所以$∠ CAP=∠ N+∠ APN$，代入得$2∠ N=∠ N+∠ APN$，即$∠ N=∠ APN$，由等角对等边得$AP=AN$。
因此$BC=CN=AC+AN=AC+AP$，即$BC=AC+AP$。
【答案】
证明:方法一(截长法):在 BC 上取 CM=CA,连接 PM,
在△ACP 和△MCP 中,$\begin{cases} AC=CM, \\ ∠ACP=∠MCP, \\ CP=CP, \end{cases}$
∴△ACP≌△MCP(SAS),
∴PA=PM,
∴∠CAP=∠CMP=∠MBP+∠MPB,
∴∠MBP=∠MPB,
∴BM=MP,
∴BC=AC+AP.
方法二(补短法):延长 CA 至点 N,使 CN=CB,
在△CNP 和△CBP 中,
$\begin{cases} CN=CB, \\ ∠NCP=∠BCP, \\ CP=CP, \end{cases}$
∴△CNP≌△CBP(SAS),
∴∠N=∠CBP,
又
∵∠CAP=∠N+∠APN,
∴∠N=∠APN,
∴AP=AN,
∴BC=AC+AP.
【知识点】
全等三角形判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心考查截长补短法构造全等三角形的应用，结合倍角条件转化为等角推导出等腰三角形，即可实现线段关系的转换，对几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
【典例2】如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=2∠ C$，若$AD⊥ BC$于$D$，$BD=4$，$CD=16$，求$AB$的长。
答案
解:方法一:(截长法)在 DC 上截取 DF=BD,连接 AF.
则∠ABC=∠AFB=2∠C,
∴∠FAC=∠C,
∴BD=DF=4,
∴AB=12.
方法二:(补短法)延长 CB 到 F,使 BF=AB.
可得∠F=∠C,
FD=DC=16,
∴AB=BF=12.
解析
【分析】
本题是带倍角关系的几何求解问题，核心思路是将倍角转化为等角，构造等腰三角形求解。结合已知条件AD⊥BC、∠ABC=2∠C，可通过两类思路构造辅助线：①截长法：在DC上截取与BD等长的线段DF，利用AD垂直平分BF得到AB=AF，将∠ABC转化为∠AFB，再结合外角性质推导等角得到等腰三角形，进而计算边长；②补短法：延长CB构造BF=AB，利用等边对等角将∠ABC转化为2∠F，结合已知倍角关系得到∠F=∠C，构造出等腰△AFC，再利用等腰三线合一的性质计算边长。
【解析】
方法一（截长法）：
在DC上截取DF=BD，连接AF。
∵AD⊥BC，BD=DF，
∴AD是线段BF的垂直平分线，
∴AB=AF，
∴∠ABC=∠AFB。
已知∠ABC=2∠C，
∴∠AFB=2∠C。
又
∵∠AFB是△AFC的外角，根据三角形外角性质可得∠AFB=∠C+∠FAC，
∴2∠C=∠C+∠FAC，
化简得∠FAC=∠C，
∴AF=FC。
已知BD=4，CD=16，
∴DF=BD=4，FC=CD-DF=16-4=12，
∴AB=AF=FC=12。
方法二（补短法）：
延长CB到F，使BF=AB，连接AF。
∵BF=AB，
∴∠F=∠BAF。
∵∠ABC是△ABF的外角，
∴∠ABC=∠F+∠BAF=2∠F。
已知∠ABC=2∠C，
∴2∠F=2∠C，即∠F=∠C，
∴AF=AC，△AFC为等腰三角形。
又
∵AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴FD=DC=16。
∴BF=FD-BD=16-4=12，
∵BF=AB，
∴AB=12。
【答案】
AB的长为12。
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是倍角模型的典型应用，通过截长或补短的辅助线构造方法，将倍角关系转化为等角关系，进而构造等腰三角形求解，是处理角的倍数关系类几何题的常用技巧，需熟练掌握这类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.6
本题是带倍角关系的几何求解问题，核心思路是将倍角转化为等角，构造等腰三角形求解。结合已知条件AD⊥BC、∠ABC=2∠C，可通过两类思路构造辅助线：①截长法：在DC上截取与BD等长的线段DF，利用AD垂直平分BF得到AB=AF，将∠ABC转化为∠AFB，再结合外角性质推导等角得到等腰三角形，进而计算边长；②补短法：延长CB构造BF=AB，利用等边对等角将∠ABC转化为2∠F，结合已知倍角关系得到∠F=∠C，构造出等腰△AFC，再利用等腰三线合一的性质计算边长。
【解析】
方法一（截长法）：
在DC上截取DF=BD，连接AF。
∵AD⊥BC，BD=DF，
∴AD是线段BF的垂直平分线，
∴AB=AF，
∴∠ABC=∠AFB。
已知∠ABC=2∠C，
∴∠AFB=2∠C。
又
∵∠AFB是△AFC的外角，根据三角形外角性质可得∠AFB=∠C+∠FAC，
∴2∠C=∠C+∠FAC，
化简得∠FAC=∠C，
∴AF=FC。
已知BD=4，CD=16，
∴DF=BD=4，FC=CD-DF=16-4=12，
∴AB=AF=FC=12。
方法二（补短法）：
延长CB到F，使BF=AB，连接AF。
∵BF=AB，
∴∠F=∠BAF。
∵∠ABC是△ABF的外角，
∴∠ABC=∠F+∠BAF=2∠F。
已知∠ABC=2∠C，
∴2∠F=2∠C，即∠F=∠C，
∴AF=AC，△AFC为等腰三角形。
又
∵AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴FD=DC=16。
∴BF=FD-BD=16-4=12，
∵BF=AB，
∴AB=12。
【答案】
AB的长为12。
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是倍角模型的典型应用，通过截长或补短的辅助线构造方法，将倍角关系转化为等角关系，进而构造等腰三角形求解，是处理角的倍数关系类几何题的常用技巧，需熟练掌握这类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.6
