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【例1】如图1，在$△ ABC$中，若$∠ B=50°$，$∠ C=65°$，则$△ ABC$的形状是
等腰三角形
答案
等腰三角形
解析
【分析】
要判断三角形的形状，首先回忆三角形内角和定理，已知两个内角的度数，第一步先计算出第三个内角的度数，再观察三个内角的大小关系，若存在两个相等的角，结合等腰三角形“等角对等边”的判定定理，即可得出三角形的形状。
【解析】
解：
∵三角形内角和为180°，
∴∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 50° - 65° = 65°，
∴∠A = ∠C = 65°，
根据等角对等边的判定规则，可得AB = BC，
∴△ABC是等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和的计算与等腰三角形的判定方法，熟练掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断三角形的形状，首先回忆三角形内角和定理，已知两个内角的度数，第一步先计算出第三个内角的度数，再观察三个内角的大小关系，若存在两个相等的角，结合等腰三角形“等角对等边”的判定定理，即可得出三角形的形状。
【解析】
解：
∵三角形内角和为180°，
∴∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 50° - 65° = 65°，
∴∠A = ∠C = 65°，
根据等角对等边的判定规则，可得AB = BC，
∴△ABC是等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和的计算与等腰三角形的判定方法，熟练掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
练习1.如图2，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则图中共有
3
个等腰三角形。答案
3
解析
【分析】
解题时先从已知条件AB=AC出发，先确定第一个等腰三角形△ABC，再利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和算出∠ABC和∠C的度数；接着根据角平分线的定义得到∠ABD、∠DBC的度数，最后通过“等角对等边”的等腰三角形判定定理，逐一判断剩余两个三角形是否为等腰三角形，统计总数即可。
【解析】
解：①
∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，
∠ABC=∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-36°)÷2=72°。
②
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，即△ABD是等腰三角形。
③在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，即△BDC是等腰三角形。
综上，图中等腰三角形有△ABC、△ABD、△BDC，共3个。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础常考题，解题核心是结合角度计算，灵活运用等腰三角形的性质与判定，需注意不要漏数符合条件的三角形。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件AB=AC出发，先确定第一个等腰三角形△ABC，再利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和算出∠ABC和∠C的度数；接着根据角平分线的定义得到∠ABD、∠DBC的度数，最后通过“等角对等边”的等腰三角形判定定理，逐一判断剩余两个三角形是否为等腰三角形，统计总数即可。
【解析】
解：①
∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，
∠ABC=∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-36°)÷2=72°。
②
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，即△ABD是等腰三角形。
③在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，即△BDC是等腰三角形。
综上，图中等腰三角形有△ABC、△ABD、△BDC，共3个。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础常考题，解题核心是结合角度计算，灵活运用等腰三角形的性质与判定，需注意不要漏数符合条件的三角形。
【难度系数】
0.7
练习2.如图3,已知△ABC的角平分线CD交AB于D,DE//BC交AC于E,若DE=3,AE=4,则AC=
7
.答案
7
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：首先CD是△ABC的角平分线，可得到一组相等的角；其次DE平行BC，可利用平行线的性质得到另一组相等的角。通过等量代换可推出△EDC中有两个内角相等，结合等腰三角形“等角对等边”的判定就能求出EC的长度，最后AC的长度就是AE与EC的和，代入数值计算即可。
【解析】
∵ CD是∠ACB的角平分线，
∴ ∠BCD = ∠ACD，
∵ DE//BC，
∴ ∠EDC = ∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠EDC = ∠ACD，
∴ EC = DE（等角对等边），
已知DE=3，
∴ EC=3，
又
∵ AE=4，
∴ AC = AE + EC = 4 + 3 = 7。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查“角平分线+平行线”的常用几何模型，熟练掌握该模型可快速识别出等腰三角形，进而求解线段长度。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：首先CD是△ABC的角平分线，可得到一组相等的角；其次DE平行BC，可利用平行线的性质得到另一组相等的角。通过等量代换可推出△EDC中有两个内角相等，结合等腰三角形“等角对等边”的判定就能求出EC的长度，最后AC的长度就是AE与EC的和，代入数值计算即可。
【解析】
∵ CD是∠ACB的角平分线，
∴ ∠BCD = ∠ACD，
∵ DE//BC，
∴ ∠EDC = ∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠EDC = ∠ACD，
∴ EC = DE（等角对等边），
已知DE=3，
∴ EC=3，
又
∵ AE=4，
∴ AC = AE + EC = 4 + 3 = 7。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查“角平分线+平行线”的常用几何模型，熟练掌握该模型可快速识别出等腰三角形，进而求解线段长度。
【难度系数】
0.8
练习3.如图，$AD// BC$，$BD$平分$∠ ABC$，求证：$AB=AD$. 
答案
证明:$\because AD// BC$,
$\therefore ∠ ADB=∠ CBD$,
又$\because BD$平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$,
$\therefore AB=AD$.
$\therefore ∠ ADB=∠ CBD$,
又$\because BD$平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$,
$\therefore AB=AD$.
解析
【分析】
要证明AB=AD，由于AB、AD属于同一个△ABD，可利用等腰三角形“等角对等边”的判定定理，先证明∠ABD=∠ADB。首先根据AD//BC的性质，可得内错角∠ADB=∠CBD；再结合BD平分∠ABC的条件，可得∠ABD=∠CBD；通过等量代换即可推出∠ABD=∠ADB，最终得到AB=AD的结论。
【解析】
证明:$\because AD// BC$,
$\therefore ∠ ADB=∠ CBD$,
又$\because BD$平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$,
$\therefore AB=AD$.
【答案】
证明:$\because AD// BC$,
$\therefore ∠ ADB=∠ CBD$,
又$\because BD$平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$,
$\therefore AB=AD$.
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是通过平行线性质和角平分线定义完成角的等量代换，再结合等腰三角形的判定定理得到边相等的结论，是考查等腰三角形判定的典型基础题。
【难度系数】
0.9
要证明AB=AD，由于AB、AD属于同一个△ABD，可利用等腰三角形“等角对等边”的判定定理，先证明∠ABD=∠ADB。首先根据AD//BC的性质，可得内错角∠ADB=∠CBD；再结合BD平分∠ABC的条件，可得∠ABD=∠CBD；通过等量代换即可推出∠ABD=∠ADB，最终得到AB=AD的结论。
【解析】
证明:$\because AD// BC$,
$\therefore ∠ ADB=∠ CBD$,
又$\because BD$平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$,
$\therefore AB=AD$.
【答案】
证明:$\because AD// BC$,
$\therefore ∠ ADB=∠ CBD$,
又$\because BD$平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$,
$\therefore AB=AD$.
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是通过平行线性质和角平分线定义完成角的等量代换，再结合等腰三角形的判定定理得到边相等的结论，是考查等腰三角形判定的典型基础题。
【难度系数】
0.9
练习4.如图，已知CE为$△ ABC$的角平分线，D为BC上一点，AD交CE于F.若$∠ BAC=∠ ADC=90°$.求证:$AE=AF$. 
答案
证明:设$∠ ACF=α$,
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中,
$∠ CFD=90°-α$,
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中,
$∠ AEC=90°-α$,
而$∠ AFE=∠ CFD$,
$\therefore ∠ AEF=∠ AFE$,
$\therefore AE=AF$.
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中,
$∠ CFD=90°-α$,
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中,
$∠ AEC=90°-α$,
而$∠ AFE=∠ CFD$,
$\therefore ∠ AEF=∠ AFE$,
$\therefore AE=AF$.
解析
【分析】
要证明AE=AF，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明∠AEF=∠AFE即可。首先利用CE是角平分线得到一组相等的角，再结合已知的两个直角，分别在Rt△ACE和Rt△CDF中推导∠AEC和∠CFD的度数关系，结合对顶角相等的性质即可完成角的等量代换，得到∠AEF=∠AFE，进而证明结论。
【解析】
证明：设$∠ ACF=α$,
∵CE为$△ ABC$的角平分线，
∴$∠DCF=∠ACF=α$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中,
$∠ CFD=90°-α$,
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中,
$∠ AEC=90°-α$,
而$∠ AFE=∠ CFD$（对顶角相等）,
$\therefore ∠ AEF=∠ AFE$,
$\therefore AE=AF$（等角对等边）。
【答案】
AE=AF，得证。
【知识点】
等腰三角形的判定；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是通过角的等量代换推导角相等，进而利用等腰三角形的判定证明线段相等，解题时要注意结合已知条件中的角平分线、直角等特殊条件梳理角的关系。
【难度系数】
0.7
要证明AE=AF，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明∠AEF=∠AFE即可。首先利用CE是角平分线得到一组相等的角，再结合已知的两个直角，分别在Rt△ACE和Rt△CDF中推导∠AEC和∠CFD的度数关系，结合对顶角相等的性质即可完成角的等量代换，得到∠AEF=∠AFE，进而证明结论。
【解析】
证明：设$∠ ACF=α$,
∵CE为$△ ABC$的角平分线，
∴$∠DCF=∠ACF=α$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中,
$∠ CFD=90°-α$,
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中,
$∠ AEC=90°-α$,
而$∠ AFE=∠ CFD$（对顶角相等）,
$\therefore ∠ AEF=∠ AFE$,
$\therefore AE=AF$（等角对等边）。
【答案】
AE=AF，得证。
【知识点】
等腰三角形的判定；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是通过角的等量代换推导角相等，进而利用等腰三角形的判定证明线段相等，解题时要注意结合已知条件中的角平分线、直角等特殊条件梳理角的关系。
【难度系数】
0.7
练习5.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$为$BC$上一点，$∠ B=2∠ ACD=2α$，求证：$BD=BC$。
答案
证明:$\because ∠ ACB=90°$,
$\therefore ∠ BCD=90°-α$,
在$△ BCD$中,
$∠ CDB =180°-2α-(90°-α)$
$=90°-α$,
$\therefore ∠ BCD=∠ BDC$,
$\therefore BD=BC$.
$\therefore ∠ BCD=90°-α$,
在$△ BCD$中,
$∠ CDB =180°-2α-(90°-α)$
$=90°-α$,
$\therefore ∠ BCD=∠ BDC$,
$\therefore BD=BC$.
解析
【分析】
要证明BD=BC，可根据等腰三角形“等角对等边”的判定思路，只需证明两条边所对的角∠BCD和∠BDC相等即可。首先利用已知的∠ACB=90°和∠ACD=α，通过角的差运算求出∠BCD的度数；再在△BCD中，结合已知∠B=2α，利用三角形内角和为180°计算出∠BDC的度数，验证两个角相等即可推出对应边相等。
【解析】
证明：$\because ∠ ACB=90°$
$\therefore ∠ BCD=90°-α$
在$△ BCD$中，
$∠ CDB =180°-2α-(90°-α)=90°-α$
$\therefore ∠ BCD=∠ BDC$
$\therefore BD=BC$
【答案】
$BD=BC$
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、角的和差计算
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用类题目，解题关键是通过已知角度参数表示出待证的两个等角，结合基础几何定理推导结论，考察学生对基础几何定理的运用能力和角度计算能力。
【难度系数】
0.8
要证明BD=BC，可根据等腰三角形“等角对等边”的判定思路，只需证明两条边所对的角∠BCD和∠BDC相等即可。首先利用已知的∠ACB=90°和∠ACD=α，通过角的差运算求出∠BCD的度数；再在△BCD中，结合已知∠B=2α，利用三角形内角和为180°计算出∠BDC的度数，验证两个角相等即可推出对应边相等。
【解析】
证明：$\because ∠ ACB=90°$
$\therefore ∠ BCD=90°-α$
在$△ BCD$中，
$∠ CDB =180°-2α-(90°-α)=90°-α$
$\therefore ∠ BCD=∠ BDC$
$\therefore BD=BC$
【答案】
$BD=BC$
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、角的和差计算
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用类题目，解题关键是通过已知角度参数表示出待证的两个等角，结合基础几何定理推导结论，考察学生对基础几何定理的运用能力和角度计算能力。
【难度系数】
0.8
【例2】如图，已知等腰三角形△ABC，AC=AB，用尺规作图作点D使CD=AC，且CD//AB。（用三种方法，不写作法，保留作图痕迹）
方法一：
方法二：
方法三：
方法一：
方法二：
方法三：
答案
解析
【分析】
要作出满足条件的点D，需同时满足两个要求：①CD//AB，②CD=AC，结合已知AC=AB，可从不同角度设计作图路径：
思路1：先保证平行关系，再保证线段等长：先过点C作出AB的平行线，再在平行线上以C为端点截取长度等于AC的线段，端点即为D；
思路2：利用两组对边分别相等的性质构造平行四边形：分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径作弧，交点即为D，此时CD平行且等于AB，结合AB=AC即可满足CD=AC；
思路3：先构造等角得到平行线，再截取等长线段：作∠BCD=∠ABC，由内错角相等可得CD//AB，再在CD上截取CD=AC即可得到点D。
【解析】
方法一：过点C用尺规作AB的平行线，再以C为圆心、AC的长度为半径画弧，与平行线的交点即为点D，此时CD//AB且CD=AC，符合要求；
方法二：分别以A为圆心、BC长为半径画弧，以C为圆心、AB长为半径画弧，两弧的交点即为D，连接CD，可得AB//CD，且CD=AB=AC，符合要求；
方法三：作∠BCD=∠ABC，再在∠BCD的边CD上截取CD=AC，此时由内错角相等可得CD//AB，且CD=AC，符合要求。
【答案】
【知识点】
尺规作图、平行线的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题考查尺规作图的综合应用，需要结合平行线、等腰三角形的相关性质，从多个角度思考满足作图条件的方法，能够锻炼学生的发散思维和对几何作图规则的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
要作出满足条件的点D，需同时满足两个要求：①CD//AB，②CD=AC，结合已知AC=AB，可从不同角度设计作图路径：
思路1：先保证平行关系，再保证线段等长：先过点C作出AB的平行线，再在平行线上以C为端点截取长度等于AC的线段，端点即为D；
思路2：利用两组对边分别相等的性质构造平行四边形：分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径作弧，交点即为D，此时CD平行且等于AB，结合AB=AC即可满足CD=AC；
思路3：先构造等角得到平行线，再截取等长线段：作∠BCD=∠ABC，由内错角相等可得CD//AB，再在CD上截取CD=AC即可得到点D。
【解析】
方法一：过点C用尺规作AB的平行线，再以C为圆心、AC的长度为半径画弧，与平行线的交点即为点D，此时CD//AB且CD=AC，符合要求；
方法二：分别以A为圆心、BC长为半径画弧，以C为圆心、AB长为半径画弧，两弧的交点即为D，连接CD，可得AB//CD，且CD=AB=AC，符合要求；
方法三：作∠BCD=∠ABC，再在∠BCD的边CD上截取CD=AC，此时由内错角相等可得CD//AB，且CD=AC，符合要求。
【答案】
【知识点】
尺规作图、平行线的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题考查尺规作图的综合应用，需要结合平行线、等腰三角形的相关性质，从多个角度思考满足作图条件的方法，能够锻炼学生的发散思维和对几何作图规则的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
