【典例1】如图，$AC=AB=BD$，$AB⊥ BD$，$BC=8$，则$△ BCD$的面积为（）

A.8
B.12
C.14
D.16

解:过点 A 作 $AM⊥BC$ 于点 M,过点 D 作 $DN⊥CB$ 交CB 的延长线于点 N，
$\therefore △ABM≌ △BDN$，
$DN=BM=CM=4$，
$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×8×4=16.$

【分析】
首先梳理已知条件：由$AC=AB$可知$△ ABC$是等腰三角形，针对等腰三角形可作底边上的高，利用三线合一得到底边一半的长度；再结合$AB⊥BD$、$AB=BD$的条件，可过$D$作$CB$延长线的垂线，构造全等三角形，将等腰三角形底边一半的长度转化为$△ BCD$的高，最后用三角形面积公式计算即可。具体思路：1. 作$AM⊥BC$于$M$，由等腰三角形三线合一得$BM=\frac{1}{2}BC=4$；2. 作$DN⊥CB$延长线于$N$，通过同角的余角相等证明角相等，结合$AB=BD$证明$△ ABM≌△ BDN$；3. 由全等性质得$DN=BM=4$，即$△ BCD$的高为4，代入面积公式求解。
【解析】
解：过点A作$AM⊥BC$于点M，过点D作$DN⊥CB$交CB的延长线于点N，
∵$AC=AB$，$AM⊥BC$，
∴根据等腰三角形三线合一，得$BM=CM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$，
∵$AB⊥BD$，
∴$∠ ABD=90°$，
∴$∠ ABM+∠ DBN=180°-90°=90°$，
又
∵在$Rt△ ABM$中，$∠ BAM+∠ ABM=90°$，
∴$∠ BAM=∠ DBN$，
在$△ ABM$和$△ BDN$中：
$\{\begin{array}{l}∠ AMB=∠ BND=90°\\∠ BAM=∠ DBN\\AB=BD\end{array} $
∴$△ ABM≌△ BDN(AAS)$，
∴$DN=BM=4$，
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×BC×DN=\frac{1}{2}×8×4=16$。

【答案】D
【知识点】等腰三角形三线合一；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】本题解题核心是合理构造辅助线，借助等腰三角形三线合一的性质得到线段长度，再通过全等三角形将所求三角形的高与已知线段建立关联，进而求出面积，对辅助线构造的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

变式.如图,在$△ ABD$中,点C在BD边上,$∠ CAD=90°$,$AC=AD$,$CA=CB$,$AB=5$,则$△ ABD$的面积为.

解:过点 C 作$CN⊥AB$ 交AB 于点N，
过点 D 作 $DM⊥AB$ 与 BA 的延长线交于点 M，
$\therefore △BCN≌ △DAM,\therefore DM=BN=2.5$，
$\therefore S_{△ABD}=\frac{1}{2}×5×\frac{5}{2}=\frac{25}{4}.$

【分析】
要求△ABD的面积，已知AB的长度，我们可以将AB作为底，只需求出AB边上的高即可算出面积。首先观察到△ACB是等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点C作CN⊥AB，得到AB的中点N，算出BN的长度；再结合△ACD是等腰直角三角形的条件，通过角度互余关系找到相等的角，证明△BCN和△DAM全等，即可得到AB边上的高DM的长度，最后代入三角形面积公式求解。
【解析】
过点C作$CN⊥AB$交AB于点N，过点D作 $DM⊥AB$与BA的延长线交于点M。
1. 由$CA=CB$，$CN⊥AB$，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得N为AB中点，$∠ CNB=90°$，因此$BN=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$。
2. 由$∠ CAD=90°$，可得$∠ BAC + ∠ DAM=90°$；又$CN⊥AB$，则$∠ BAC + ∠ ACN=90°$，结合等腰三角形三线合一可知$∠ ACN=∠ BCN$，因此$∠ BCN=∠ DAM$。
3. 已知$AC=AD$，$AC=CB$，故$CB=AD$。
在$△ BCN$和$△ DAM$中：
$\begin{cases}∠ CNB=∠ M=90° \\∠ BCN=∠ DAM \\CB=AD\end{cases}$
因此$△ BCN≌ △ DAM(\mathrm{AAS})$，可得$DM=BN=\frac{5}{2}$。
4. 代入三角形面积公式：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DM=\frac{1}{2}×5×\frac{5}{2}=\frac{25}{4}$。

【答案】
$\boxed{\dfrac{25}{4}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形结合的典型题型，核心是利用等腰三角形三线合一的特点构造辅助线，通过全等三角形将未知的高转化为已知线段的一半，掌握构造辅助线的方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.6

【典例2】在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，点$O$为$AB$的中点.如图，点$E$，$F$分别在边$AC$和$BC$上时，$OE⊥ OF$，求证：$OE=OF$.

证明:连接 OC，
$\because AC=BC,OA=OB$，
$\therefore ∠ACO=∠BCO=45°$，
$CO⊥AB$，
在$△ CEO$ 和$△ BFO$ 中,$\begin{cases} ∠ECO=∠B=45°, \\ CO=OB, \\ ∠COE=∠BOF, \end{cases}$
$\therefore △ CEO≌ △ BFO(\mathrm{ASA}),\therefore OE=OF.$

【分析】
要证明$OE=OF$，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等解决。首先观察题干条件，$△ ABC$是等腰直角三角形，$O$是斜边$AB$的中点，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，作辅助线连接$OC$，可得到$OC=OB$、$∠ ECO=∠ B=45°$、$CO⊥ AB$；再结合$OE⊥ OF$，通过角的和差关系可推出$∠ COE=∠ BOF$，即可证明$△ CEO$和$△ BFO$全等，从而得到$OE=OF$。
【解析】
证明：连接$OC$，
$\because AC=BC$，$∠ ACB=90°$，点$O$为$AB$中点，
$\therefore ∠ B=45°$，根据等腰三角形三线合一性质，得$∠ ACO=∠ BCO=45°$，$CO⊥ AB$，且$CO=OB$，
$\therefore ∠ ECO=∠ B=45°$，$∠ COB=∠ COF+∠ BOF=90°$，
$\because OE⊥ OF$，$\therefore ∠ EOF=∠ COE+∠ COF=90°$，
$\therefore ∠ COE=∠ BOF$，
在$△ CEO$和$△ BFO$中，
$\begin{cases} ∠ECO=∠B=45°, \\ CO=OB, \\ ∠COE=∠BOF, \end{cases}$
$\therefore △ CEO≌△ BFO(\mathrm{ASA})$，
$\therefore OE=OF$。
【答案】
证明:连接 OC，
$\because AC=BC,OA=OB$，
$\therefore ∠ACO=∠BCO=45°$，
$CO⊥AB$，
在$△ CEO$ 和$△ BFO$ 中,$\begin{cases} ∠ECO=∠B=45°, \\ CO=OB, \\ ∠COE=∠BOF, \end{cases}$
$\therefore △ CEO≌ △ BFO(\mathrm{ASA}),\therefore OE=OF.$

【知识点】
等腰三角形三线合一，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质与全等三角形结合的典型习题，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质作辅助线连接$OC$，构造出全等三角形，再通过角的等量代换得到全等所需的角相等条件即可完成求证。
【难度系数】
0.7

变式.如图,$Rt△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ ACB=90°$,点$O$为$AB$的中点,点$E$,$F$分别在$AC$,$BC$上,$∠ EOF=45°$,求证:$CE+EF=BF$.

证明:连 CO,在 BF 上取点 M,使 BM=CE,连接 OM，
在$△ COE$ 和$△ BOM$ 中,$\begin{cases} CE=BM, \\ ∠ECO=∠B=45°, \\ CO=OB, \end{cases}$
$\therefore △ COE≌ △ BOM(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠COE=∠BOM,OE=OM$，
$\therefore OE⊥OM$，
$\therefore ∠MOF=45°$，
在$△ OEF$ 和$△ OMF$ 中，
$\begin{cases} OE=OM, \\ ∠EOF=∠MOF=45°, \\ OF=OF, \end{cases}$
$\therefore △ OEF≌ △ OMF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore EF=FM=BF-CE$，
即 $CE+EF=BF.$

【分析】
要证明CE+EF=BF，属于线段和差类证明问题，优先考虑截长补短法解题。首先观察已知条件，△ABC是等腰直角三角形，O是AB中点，根据等腰直角三角形三线合一的性质，可得CO=OB，∠ECO=∠B=45°。我们可在BF上截取BM=CE，先证△COE和△BOM全等，得到OE=OM以及角的等量关系，推导出∠EOF=∠MOF=45°，再证△OEF和△OMF全等，得到EF=FM，最后通过线段和差换算即可得证。
【解析】
证明：连接CO，在BF上取点M，使BM=CE，连接OM。
∵Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O为AB的中点，
∴CO=OB，∠ECO=∠B=45°，∠COB=90°。
在$△ COE$ 和$△ BOM$ 中,
$\begin{cases} CE=BM, \\ ∠ECO=∠B=45°, \\ CO=OB, \end{cases}$
$\therefore △ COE≌ △ BOM(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠COE=∠BOM,OE=OM$，
$\therefore ∠EOM=∠COB=90°$，即$OE⊥OM$，
$\because ∠EOF=45°$，
$\therefore ∠MOF=∠EOM-∠EOF=45°$。
在$△ OEF$ 和$△ OMF$ 中，
$\begin{cases} OE=OM, \\ ∠EOF=∠MOF=45°, \\ OF=OF, \end{cases}$
$\therefore △ OEF≌ △ OMF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore EF=FM$，
$\because BF=BM+FM，BM=CE$，
$\therefore CE+EF=BF$。
【答案】
证明:连 CO,在 BF 上取点 M,使 BM=CE,连接 OM，
在$△ COE$ 和$△ BOM$ 中,$\begin{cases} CE=BM, \\ ∠ECO=∠B=45°, \\ CO=OB, \end{cases}$
$\therefore △ COE≌ △ BOM(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠COE=∠BOM,OE=OM$，
$\therefore OE⊥OM$，
$\therefore ∠MOF=45°$，
在$△ OEF$ 和$△ OMF$ 中，
$\begin{cases} OE=OM, \\ ∠EOF=∠MOF=45°, \\ OF=OF, \end{cases}$
$\therefore △ OEF≌ △ OMF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore EF=FM=BF-CE$，
即 $CE+EF=BF.$

【知识点】
等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质、截长补短法
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形的综合应用题，解题核心是通过截长补短构造全等三角形，将分散的线段关系转化为全等三角形对应边的等量关系，辅助线的构造是解题的关键，需要熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6