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7 如图，一个瓶子的容积是2 L(1 L = 1 000 cm³)，瓶内装着一些水.当瓶子正放时，瓶内水的高度为20 cm，当瓶子倒放时，空余部分的高度为5 cm，则瓶子的底面积是
80
cm².答案
7. 80 【解析】设瓶子的底面积为 $x\ \mathrm{cm}^2$. 由题意,可得 $20x=2\ 000-5x$,解得 $x=80$. 所以瓶子的底面积为 $80\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
解题时首先明确瓶子的总容积等于水的体积与倒放时空余部分体积之和。正放时水的部分为规则圆柱，体积等于底面积乘水的高度；倒放时空余部分也为规则圆柱，体积等于底面积乘空余高度，且水的体积始终不变。先将容积单位升换算为立方厘米统一单位，再设底面积为未知数，根据总容积的等量关系列方程即可求解。
【解析】
先进行单位换算：$2\ \mathrm{L}=2×1000=2000\ \mathrm{cm}^3$。
设瓶子的底面积为$x\ \mathrm{cm}^2$。
正放时水的体积为$20x\ \mathrm{cm}^3$，倒放时空余部分的体积为$5x\ \mathrm{cm}^3$，根据总容积的等量关系可列方程：
$20x + 5x = 2000$
合并同类项得：$25x=2000$
系数化为1得：$x=80$
【答案】
80
【知识点】
一元一次方程应用，圆柱体积计算，单位换算
【点评】
本题是典型的等积变形类应用题，解题关键是将瓶子不规则部分的体积转化为规则圆柱体积计算，通过抓住水体积不变的特征建立等量关系，考查学生的转化思维和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确瓶子的总容积等于水的体积与倒放时空余部分体积之和。正放时水的部分为规则圆柱，体积等于底面积乘水的高度；倒放时空余部分也为规则圆柱，体积等于底面积乘空余高度，且水的体积始终不变。先将容积单位升换算为立方厘米统一单位，再设底面积为未知数，根据总容积的等量关系列方程即可求解。
【解析】
先进行单位换算：$2\ \mathrm{L}=2×1000=2000\ \mathrm{cm}^3$。
设瓶子的底面积为$x\ \mathrm{cm}^2$。
正放时水的体积为$20x\ \mathrm{cm}^3$，倒放时空余部分的体积为$5x\ \mathrm{cm}^3$，根据总容积的等量关系可列方程：
$20x + 5x = 2000$
合并同类项得：$25x=2000$
系数化为1得：$x=80$
【答案】
80
【知识点】
一元一次方程应用，圆柱体积计算，单位换算
【点评】
本题是典型的等积变形类应用题，解题关键是将瓶子不规则部分的体积转化为规则圆柱体积计算，通过抓住水体积不变的特征建立等量关系，考查学生的转化思维和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
8 分类讨论思想 [2024 威海]如图,在数轴上,动点 A 从表示－3 的点出发,以 1 个单位长度/秒的速度沿着数轴的正方向运动.同时,动点 B 从表示 12 的点出发,以 2 个单位长度/秒的速度沿着数轴的负方向运动.经过
4或6
秒,点 A,B 之间的距离等于 3 个单位长度.答案
8. 4或6 【解析】设经过 $x$ 秒,点 $A,B$ 之间的距离等于 3 个单位长度. 根据题意,得$|(-3+x)-(12-2x)|=3$,解得 $x=4$或 $x=6$. 所以经过 4 或 6 秒,点 $A,B$ 之间的距离等于 3 个单位长度.
解析
【分析】
这是数轴上的动点距离问题，解题思路如下：第一步，设运动时间为x秒，先分别表示出x秒后点A和点B在数轴上对应的数：点A向右运动，每秒走1个单位，x秒后对应的数为初始数-3加上运动的路程x；点B向左运动，每秒走2个单位，x秒后对应的数为初始数12减去运动的路程2x。第二步，根据数轴上两点之间的距离等于两点对应数之差的绝对值，结合“两点距离为3”列出含绝对值的一元一次方程。第三步，解绝对值方程，分绝对值内的式子等于3和等于-3两种情况讨论，得到两个解，检验解均符合实际意义即可。
【解析】
设经过$x$秒，点A、B之间的距离等于3个单位长度。
x秒后，点A对应的数为$-3+x$，点B对应的数为$12-2x$。
根据数轴上两点距离公式，可列方程：
$\left| (-3+x)-(12-2x) \right|=3$
化简绝对值内的式子得：$\left| 3x-15 \right|=3$
分两种情况讨论：
① 当$3x-15=3$时，$3x=18$，解得$x=6$；
② 当$3x-15=-3$时，$3x=12$，解得$x=4$。
两个解均为正数，符合运动时间的实际意义。
【答案】
4或6
【知识点】
数轴上两点距离，一元一次方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题的解题关键是正确用含时间的代数式表示运动后点对应的数，结合数轴两点距离公式列方程，注意距离是非负数，因此要通过绝对值分类讨论两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
这是数轴上的动点距离问题，解题思路如下：第一步，设运动时间为x秒，先分别表示出x秒后点A和点B在数轴上对应的数：点A向右运动，每秒走1个单位，x秒后对应的数为初始数-3加上运动的路程x；点B向左运动，每秒走2个单位，x秒后对应的数为初始数12减去运动的路程2x。第二步，根据数轴上两点之间的距离等于两点对应数之差的绝对值，结合“两点距离为3”列出含绝对值的一元一次方程。第三步，解绝对值方程，分绝对值内的式子等于3和等于-3两种情况讨论，得到两个解，检验解均符合实际意义即可。
【解析】
设经过$x$秒，点A、B之间的距离等于3个单位长度。
x秒后，点A对应的数为$-3+x$，点B对应的数为$12-2x$。
根据数轴上两点距离公式，可列方程：
$\left| (-3+x)-(12-2x) \right|=3$
化简绝对值内的式子得：$\left| 3x-15 \right|=3$
分两种情况讨论：
① 当$3x-15=3$时，$3x=18$，解得$x=6$；
② 当$3x-15=-3$时，$3x=12$，解得$x=4$。
两个解均为正数，符合运动时间的实际意义。
【答案】
4或6
【知识点】
数轴上两点距离，一元一次方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题的解题关键是正确用含时间的代数式表示运动后点对应的数，结合数轴两点距离公式列方程，注意距离是非负数，因此要通过绝对值分类讨论两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9 如图,爷爷家的花圃为长方形,长比宽多2 m,如果花圃的长和宽都分别增加 3 m,那么这个花圃的面积将增加 39 $\mathrm{m}^2$.求花圃原来的长和宽.
答案
9. 设花圃原来的宽为 $x\ \mathrm{m}$,则长为 $(x+2)\mathrm{m}$. 依据题意,可得$3(x+2+3)+3x=39$,解得 $x=4$. 所以 $x+2=6$. 答:花圃原来的长和宽分别是 6 m,4 m
解析
【分析】
这是一道利用一元一次方程解决面积变化的应用题，解题思路如下：1. 设未知数：已知原来花圃的长比宽多2m，因此设较小的量即原来的宽为$x\ \mathrm{m}$，就可以用含$x$的式子表示原来的长为$(x+2)\ \mathrm{m}$；2. 找等量关系：花圃长和宽都增加3m后面积增加$39\ \mathrm{m}^2$，可将新增面积拆分为两个长方形的面积和，以此建立等量关系；3. 列方程求解得到原来的宽后，即可算出原来的长，最后验证结果符合实际即可。
【解析】
解：设花圃原来的宽为$x\ \mathrm{m}$，则原来的长为$(x+2)\ \mathrm{m}$。
根据题意，长和宽各增加3m后新增面积为$39\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$3(x+2+3)+3x=39$
去括号，得：$3x+15+3x=39$
合并同类项，得：$6x=24$
系数化为1，得：$x=4$
则原来的长为：$x+2=4+2=6\ (\mathrm{m})$
答：花圃原来的长和宽分别是6 m，4 m。
【答案】
花圃原来的长为6 m，宽为4 m
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 长方形面积计算
【点评】
本题是面积类方程应用的基础题，解题核心是准确抓住面积变化的等量关系，也可以通过画图拆分新增面积的组成，更直观地理解数量关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元一次方程解决面积变化的应用题，解题思路如下：1. 设未知数：已知原来花圃的长比宽多2m，因此设较小的量即原来的宽为$x\ \mathrm{m}$，就可以用含$x$的式子表示原来的长为$(x+2)\ \mathrm{m}$；2. 找等量关系：花圃长和宽都增加3m后面积增加$39\ \mathrm{m}^2$，可将新增面积拆分为两个长方形的面积和，以此建立等量关系；3. 列方程求解得到原来的宽后，即可算出原来的长，最后验证结果符合实际即可。
【解析】
解：设花圃原来的宽为$x\ \mathrm{m}$，则原来的长为$(x+2)\ \mathrm{m}$。
根据题意，长和宽各增加3m后新增面积为$39\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$3(x+2+3)+3x=39$
去括号，得：$3x+15+3x=39$
合并同类项，得：$6x=24$
系数化为1，得：$x=4$
则原来的长为：$x+2=4+2=6\ (\mathrm{m})$
答：花圃原来的长和宽分别是6 m，4 m。
【答案】
花圃原来的长为6 m，宽为4 m
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 长方形面积计算
【点评】
本题是面积类方程应用的基础题，解题核心是准确抓住面积变化的等量关系，也可以通过画图拆分新增面积的组成，更直观地理解数量关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
10 新情境 生活实际 如图①,小慧为买的铅笔配了一个铅笔套用于保护笔尖.套口到分界处的距离为1 cm.未开始使用时,铅笔长度比铅笔套长度的3倍多1 cm,且铅笔长度比铅笔套长度多12 cm.
(1) 请分别求出铅笔和铅笔套的长度.
(2) 如图②,铅笔套也能套在铅笔顶部作延长器使用,套口到顶部的距离也是1 cm.当总长度(笔尖到套尾的距离)小于8 cm时,将不再适合正常书写,则该铅笔最多可以正常使用多少长度?
(1) 请分别求出铅笔和铅笔套的长度.
(2) 如图②,铅笔套也能套在铅笔顶部作延长器使用,套口到顶部的距离也是1 cm.当总长度(笔尖到套尾的距离)小于8 cm时,将不再适合正常书写,则该铅笔最多可以正常使用多少长度?
答案
10. (1) 设铅笔套的长度为 $x\ \mathrm{cm}$,则铅笔的长度为 $(3x+1)\mathrm{cm}$.依题意,得$(3x+1)-x=12$,解得 $x=\dfrac{11}{2}$. 所以 $3x+1=\dfrac{35}{2}$. 答:铅笔的长度为$\dfrac{35}{2}\ \mathrm{cm}$,铅笔套的长度为$\dfrac{11}{2}\ \mathrm{cm}$ (2) 设该铅笔最多可以正常使用 $y\ \mathrm{cm}$. 依题意,得$\dfrac{35}{2}+(\dfrac{11}{2}-1)-y=8$,解得$y=14$. 答:该铅笔最多可以正常使用 14 cm
解析
【分析】
（1）本题属于和差倍分类的一元一次方程应用问题，首先设铅笔套长度为未知数，根据“铅笔长度比铅笔套长度的3倍多1cm”用含未知数的式子表示铅笔长度，再依据“铅笔长度比铅笔套长度多12cm”的等量关系列方程求解即可。
（2）第二问首先要明确笔套作为延长器时，和铅笔有1cm的重叠部分，此时总长度=剩余铅笔长度+铅笔套长度-重叠的1cm；当总长度恰好等于8cm时，铅笔用掉的长度最多，据此设用掉的长度为未知数，列方程求解即可。
【解析】
(1) 设铅笔套的长度为 $x\ \mathrm{cm}$，则铅笔的长度为 $(3x+1)\ \mathrm{cm}$。
根据题意列方程：
$(3x+1)-x=12$
合并同类项得 $2x+1=12$，
移项计算得 $2x=11$，解得 $x=\dfrac{11}{2}$。
因此铅笔长度为 $3x+1=3×\dfrac{11}{2}+1=\dfrac{35}{2}\ \mathrm{cm}$。
(2) 设该铅笔最多可以正常使用 $y\ \mathrm{cm}$，则剩余铅笔长度为 $(\dfrac{35}{2}-y)\ \mathrm{cm}$。
笔套和铅笔重叠长度为1cm，正常书写的临界总长度为8cm，据此列方程：
$\dfrac{35}{2}+(\dfrac{11}{2}-1)-y=8$
计算常数项得 $22-y=8$，解得 $y=14$。
【答案】
(1) 铅笔的长度为$\dfrac{35}{2}\ \mathrm{cm}$，铅笔套的长度为$\dfrac{11}{2}\ \mathrm{cm}$；
(2) 该铅笔最多可以正常使用14 cm
【知识点】
一元一次方程应用，和差倍分问题，重叠长度计算
【点评】
本题结合生活中铅笔套的使用场景命题，贴近实际，解题关键是准确提取题目中的等量关系，第二问需要注意笔套和铅笔的重叠长度，避免因忽略重叠导致列式错误，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于和差倍分类的一元一次方程应用问题，首先设铅笔套长度为未知数，根据“铅笔长度比铅笔套长度的3倍多1cm”用含未知数的式子表示铅笔长度，再依据“铅笔长度比铅笔套长度多12cm”的等量关系列方程求解即可。
（2）第二问首先要明确笔套作为延长器时，和铅笔有1cm的重叠部分，此时总长度=剩余铅笔长度+铅笔套长度-重叠的1cm；当总长度恰好等于8cm时，铅笔用掉的长度最多，据此设用掉的长度为未知数，列方程求解即可。
【解析】
(1) 设铅笔套的长度为 $x\ \mathrm{cm}$，则铅笔的长度为 $(3x+1)\ \mathrm{cm}$。
根据题意列方程：
$(3x+1)-x=12$
合并同类项得 $2x+1=12$，
移项计算得 $2x=11$，解得 $x=\dfrac{11}{2}$。
因此铅笔长度为 $3x+1=3×\dfrac{11}{2}+1=\dfrac{35}{2}\ \mathrm{cm}$。
(2) 设该铅笔最多可以正常使用 $y\ \mathrm{cm}$，则剩余铅笔长度为 $(\dfrac{35}{2}-y)\ \mathrm{cm}$。
笔套和铅笔重叠长度为1cm，正常书写的临界总长度为8cm，据此列方程：
$\dfrac{35}{2}+(\dfrac{11}{2}-1)-y=8$
计算常数项得 $22-y=8$，解得 $y=14$。
【答案】
(1) 铅笔的长度为$\dfrac{35}{2}\ \mathrm{cm}$，铅笔套的长度为$\dfrac{11}{2}\ \mathrm{cm}$；
(2) 该铅笔最多可以正常使用14 cm
【知识点】
一元一次方程应用，和差倍分问题，重叠长度计算
【点评】
本题结合生活中铅笔套的使用场景命题，贴近实际，解题关键是准确提取题目中的等量关系，第二问需要注意笔套和铅笔的重叠长度，避免因忽略重叠导致列式错误，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
