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1 一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要12天完成，现由甲先做2天，乙再加入一起做。设完成这项工程共需$ x $天，则根据题意，可列方程为 （
A.$\frac{x}{20} + \frac{x}{12} = 1$
B.$\frac{x + 2}{20} + \frac{x - 2}{12} = 1$
C.$\frac{x}{20} + \frac{x - 2}{12} = 1$
D.$\frac{2}{12} + \frac{x - 2}{20} + \frac{x - 2}{12} = 1$
C
）A.$\frac{x}{20} + \frac{x}{12} = 1$
B.$\frac{x + 2}{20} + \frac{x - 2}{12} = 1$
C.$\frac{x}{20} + \frac{x - 2}{12} = 1$
D.$\frac{2}{12} + \frac{x - 2}{20} + \frac{x - 2}{12} = 1$
答案
1. C
解析
【分析】
解决工程类列方程问题，首先默认将总工作量看作单位“1”，先根据“工作效率=1÷单独完成总时长”算出甲、乙各自的工作效率；其次明确两人的工作时长：题目设完成工程共需x天，甲从工程开始就参与，因此甲的总工作时长就是x天，乙是甲先做2天后才加入，因此乙的工作时长比总时长少2天，即(x-2)天；最后根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”的等量关系列方程即可。
【解析】
将这项工程的总工作量看作单位“1”：
1. 计算工作效率：甲单独做20天完成，甲的工作效率为$\frac{1}{20}$；乙单独做12天完成，乙的工作效率为$\frac{1}{12}$。
2. 确定工作时长：完成工程共需$x$天，甲全程参与，工作时长为$x$天；甲先做2天后乙加入，因此乙的工作时长为$(x-2)$天。
3. 列方程：根据“总工作量=甲的工作量+乙的工作量”，结合“工作量=工作效率×工作时间”，可得方程：
$\frac{x}{20} + \frac{x-2}{12} = 1$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用、工作量=工作效率×工作时间
【点评】
本题是工程问题的基础题型，解题核心是找准各参与主体的工作时长，牢记工程问题中总工作量默认为1的隐含条件，再结合工作量的等量关系列式即可，需注意避免混淆不同主体的工作时长。
【难度系数】
0.7
解决工程类列方程问题，首先默认将总工作量看作单位“1”，先根据“工作效率=1÷单独完成总时长”算出甲、乙各自的工作效率；其次明确两人的工作时长：题目设完成工程共需x天，甲从工程开始就参与，因此甲的总工作时长就是x天，乙是甲先做2天后才加入，因此乙的工作时长比总时长少2天，即(x-2)天；最后根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”的等量关系列方程即可。
【解析】
将这项工程的总工作量看作单位“1”：
1. 计算工作效率：甲单独做20天完成，甲的工作效率为$\frac{1}{20}$；乙单独做12天完成，乙的工作效率为$\frac{1}{12}$。
2. 确定工作时长：完成工程共需$x$天，甲全程参与，工作时长为$x$天；甲先做2天后乙加入，因此乙的工作时长为$(x-2)$天。
3. 列方程：根据“总工作量=甲的工作量+乙的工作量”，结合“工作量=工作效率×工作时间”，可得方程：
$\frac{x}{20} + \frac{x-2}{12} = 1$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用、工作量=工作效率×工作时间
【点评】
本题是工程问题的基础题型，解题核心是找准各参与主体的工作时长，牢记工程问题中总工作量默认为1的隐含条件，再结合工作量的等量关系列式即可，需注意避免混淆不同主体的工作时长。
【难度系数】
0.7
2 有一个水池，只打开进水管，2 h可把空水池注满；只打开出水管，3 h可把满池水放空.若两管同时打开，则把空水池灌注到水池的$\frac{5}{6}$所需要的时间是 （
A.6 h
B.5 h
C.4 h
D.3 h
B
）A.6 h
B.5 h
C.4 h
D.3 h
答案
2. B
解析
【分析】
本题属于工程类应用题，解题时先将水池总容水量看作单位“1”，首先分别计算进水管、出水管的工作效率；两管同时打开时，每小时的净进水量为进水管效率减去出水管效率，最后根据“工作时间=工作量÷工作效率”的关系，用需要灌注的水量$\frac{5}{6}$除以净效率即可求出所需时间，也可通过列一元一次方程求解，等量关系为：(进水管效率-出水管效率)×注水时间=需要灌注的水量$\frac{5}{6}$。
【解析】
将水池的总容量记为单位“1”。
1. 计算单管工作效率：
进水管2小时可注满空池，因此进水管每小时的注水量为$1÷2=\frac{1}{2}$；
出水管3小时可放空满池水，因此出水管每小时的放水量为$1÷3=\frac{1}{3}$。
2. 计算两管同开的净效率：
两管同时打开时，每小时实际留存的水量为进水量减去放水量，即$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$。
3. 计算注水时间：
方法1（算术法）：根据工作时间=工作量÷工作效率，可得灌注到$\frac{5}{6}$的时间为$\frac{5}{6}÷\frac{1}{6}=5$（小时）。
方法2（方程法）：设所需时间为x小时，根据题意列方程：
$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})x=\frac{5}{6}$
化简得$\frac{1}{6}x=\frac{5}{6}$
解得$x=5$。
【答案】
B
【知识点】
工程问题、一元一次方程应用
【点评】
本题是工程问题的基础题型，核心是掌握将总工作量设为单位1的分析方法，理清多管同时工作时的实际净效率，结合工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系即可快速求解，重点考察应用题的基础分析能力。
【难度系数】
0.8
本题属于工程类应用题，解题时先将水池总容水量看作单位“1”，首先分别计算进水管、出水管的工作效率；两管同时打开时，每小时的净进水量为进水管效率减去出水管效率，最后根据“工作时间=工作量÷工作效率”的关系，用需要灌注的水量$\frac{5}{6}$除以净效率即可求出所需时间，也可通过列一元一次方程求解，等量关系为：(进水管效率-出水管效率)×注水时间=需要灌注的水量$\frac{5}{6}$。
【解析】
将水池的总容量记为单位“1”。
1. 计算单管工作效率：
进水管2小时可注满空池，因此进水管每小时的注水量为$1÷2=\frac{1}{2}$；
出水管3小时可放空满池水，因此出水管每小时的放水量为$1÷3=\frac{1}{3}$。
2. 计算两管同开的净效率：
两管同时打开时，每小时实际留存的水量为进水量减去放水量，即$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$。
3. 计算注水时间：
方法1（算术法）：根据工作时间=工作量÷工作效率，可得灌注到$\frac{5}{6}$的时间为$\frac{5}{6}÷\frac{1}{6}=5$（小时）。
方法2（方程法）：设所需时间为x小时，根据题意列方程：
$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})x=\frac{5}{6}$
化简得$\frac{1}{6}x=\frac{5}{6}$
解得$x=5$。
【答案】
B
【知识点】
工程问题、一元一次方程应用
【点评】
本题是工程问题的基础题型，核心是掌握将总工作量设为单位1的分析方法，理清多管同时工作时的实际净效率，结合工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系即可快速求解，重点考察应用题的基础分析能力。
【难度系数】
0.8
3 棋盘旁有甲、乙两个围棋盒.甲盒中都是黑子,共10枚;乙盒中都是白子,共8枚.嘉嘉从甲盒拿出a枚黑子放入乙盒,使乙盒中棋子的总数是甲盒中所剩棋子数的2倍,则a的值为
4
.答案
3. 4
解析
【分析】
解题时先梳理甲乙两盒棋子的数量变化情况，先分别表示出甲盒拿出a枚黑子后剩余的棋子数，以及乙盒放入a枚黑子后的总棋子数，再根据题目给出的“乙盒中棋子总数是甲盒剩余棋子数的2倍”这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程即可求出a的值。
【解析】
1. 表示变化后两盒的棋子数量：
甲盒原有黑子10枚，拿出a枚后，剩余棋子数为$10 - a$；
乙盒原有白子8枚，放入a枚黑子后，总棋子数为$8 + a$。
2. 根据等量关系列方程：
由乙盒棋子总数是甲盒剩余棋子数的2倍，可得方程：
$8 + a = 2(10 - a)$
3. 解方程：
去括号得：$8 + a = 20 - 2a$
移项合并同类项得：$3a = 12$
系数化为1得：$a = 4$
【答案】
4
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程解应用题
【点评】
本题是基础的实际应用类题目，解题关键是准确梳理数量变化前后的对应关系，抓住题目给出的倍数关系建立方程求解，整体计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理甲乙两盒棋子的数量变化情况，先分别表示出甲盒拿出a枚黑子后剩余的棋子数，以及乙盒放入a枚黑子后的总棋子数，再根据题目给出的“乙盒中棋子总数是甲盒剩余棋子数的2倍”这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程即可求出a的值。
【解析】
1. 表示变化后两盒的棋子数量：
甲盒原有黑子10枚，拿出a枚后，剩余棋子数为$10 - a$；
乙盒原有白子8枚，放入a枚黑子后，总棋子数为$8 + a$。
2. 根据等量关系列方程：
由乙盒棋子总数是甲盒剩余棋子数的2倍，可得方程：
$8 + a = 2(10 - a)$
3. 解方程：
去括号得：$8 + a = 20 - 2a$
移项合并同类项得：$3a = 12$
系数化为1得：$a = 4$
【答案】
4
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程解应用题
【点评】
本题是基础的实际应用类题目，解题关键是准确梳理数量变化前后的对应关系，抓住题目给出的倍数关系建立方程求解，整体计算量小。
【难度系数】
0.8
4 某工程队共有55人，每人每天平均可挖土$2.5\ \mathrm{m}^3$或运土$3\ \mathrm{m}^3$，为了合理分配劳动力，使挖出的土及时运走，应分配挖土和运土的人数分别为
30
，25
.答案
4. 30 25
解析
【分析】
这是一道劳动力分配的配套应用题，解题核心是明确“挖出的土及时运走”的含义：即每天挖土的总方量等于每天运土的总方量。我们可以先设挖土人数为未知数，用总人数表示运土人数，再根据两类总方量相等的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设应分配$x$人挖土，则分配运土的人数为$(55-x)$人。
要使挖出的土及时运走，需满足每天挖土总量=每天运土总量，据此列方程：
$2.5x=3(55-x)$
展开右侧得：$2.5x=165-3x$
移项合并同类项得：$5.5x=165$
解得：$x=30$
则运土人数为 $55-30=25$（人）
【答案】
30；25
【知识点】
一元一次方程应用；配套问题；列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的配套类应用题，解题关键是准确理解题意，抓住挖土总量与运土总量相等的核心等量关系建立方程，计算难度较小，只要找准等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是一道劳动力分配的配套应用题，解题核心是明确“挖出的土及时运走”的含义：即每天挖土的总方量等于每天运土的总方量。我们可以先设挖土人数为未知数，用总人数表示运土人数，再根据两类总方量相等的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设应分配$x$人挖土，则分配运土的人数为$(55-x)$人。
要使挖出的土及时运走，需满足每天挖土总量=每天运土总量，据此列方程：
$2.5x=3(55-x)$
展开右侧得：$2.5x=165-3x$
移项合并同类项得：$5.5x=165$
解得：$x=30$
则运土人数为 $55-30=25$（人）
【答案】
30；25
【知识点】
一元一次方程应用；配套问题；列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的配套类应用题，解题关键是准确理解题意，抓住挖土总量与运土总量相等的核心等量关系建立方程，计算难度较小，只要找准等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
5 某校七年级(1)班举行了一次安全知识竞赛,竞赛题一共20道,记分规则如下:每答对一道题得5分,每答错或不答一道题扣1分.若小红一共得70分,则小红答对
15
道题.答案
5. 15
解析
【分析】
这是一道典型的一元一次方程实际应用题，解题核心是找准等量关系：总得分=答对题目总得分 - 答错或不答题目总扣分。我们可以先设答对的题数为未知数，再用总题数表示出答错或不答的题数，分别计算答对得分和扣掉的分数，根据总得分70分列方程求解即可。
【解析】
解：设小红答对了$x$道题，则答错或不答的题数为$(20-x)$道。
根据记分规则和总得分可列方程：
$5x - 1×(20 - x) = 70$
去括号得：$5x - 20 + x = 70$
合并同类项得：$6x = 90$
系数化为1得：$x = 15$
【答案】
15
【知识点】
一元一次方程应用；列方程解实际问题
【点评】
本题属于基础类实际应用题，解题的关键是明确得分规则，厘清得分项与扣分项的数量关系，正确列出方程求解即可。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的一元一次方程实际应用题，解题核心是找准等量关系：总得分=答对题目总得分 - 答错或不答题目总扣分。我们可以先设答对的题数为未知数，再用总题数表示出答错或不答的题数，分别计算答对得分和扣掉的分数，根据总得分70分列方程求解即可。
【解析】
解：设小红答对了$x$道题，则答错或不答的题数为$(20-x)$道。
根据记分规则和总得分可列方程：
$5x - 1×(20 - x) = 70$
去括号得：$5x - 20 + x = 70$
合并同类项得：$6x = 90$
系数化为1得：$x = 15$
【答案】
15
【知识点】
一元一次方程应用；列方程解实际问题
【点评】
本题属于基础类实际应用题，解题的关键是明确得分规则，厘清得分项与扣分项的数量关系，正确列出方程求解即可。
【难度系数】
0.8
6 新情境 生活实际 [2024 陕西]星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需$4\ \mathrm{h}$;若爸爸单独完成,需$2\ \mathrm{h}$.当天,小峰先单独打扫了一段时间,然后去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一共打扫了$3\ \mathrm{h}$,求这次小峰打扫了多长时间.
答案
6. 设这次小峰打扫了$x$ h,则爸爸打扫了$(3-x)$h. 根据题意,得$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$,解得$x=2$.答:这次小峰打扫了2 h
解析
【分析】
这是工程类实际应用问题，解题思路如下：①工程问题通常把总工作量设为单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成时间”，可先算出小峰和爸爸各自的工作效率：小峰的工作效率为$\frac{1}{4}$，爸爸的工作效率为$\frac{1}{2}$；②找等量关系：小峰完成的工作量 + 爸爸完成的工作量 = 总工作量1，且两人总用时共3h，即爸爸的打扫时间=总用时-小峰的打扫时间；③设小峰的打扫时间为未知数，根据等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设这次小峰打扫了$x\ \mathrm{h}$，则爸爸打扫的时间为$(3-x)\ \mathrm{h}$。
根据题意列方程得：
$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$
去分母，两边同时乘4得：$x + 2(3-x) = 4$
去括号得：$x + 6 - 2x = 4$
移项、合并同类项得：$-x = -2$
系数化为1得：$x=2$
经检验，$x=2$符合实际题意。
答：这次小峰打扫了2 h。
【答案】
这次小峰打扫了$\boldsymbol{2\ \mathrm{h}}$
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题
【点评】
本题结合家庭大扫除的生活场景命题，贴近生活实际，解题核心是掌握工程问题的基本数量关系，准确找到总工作量、工作效率、工作时间三者的对应关系，找准等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.8
这是工程类实际应用问题，解题思路如下：①工程问题通常把总工作量设为单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成时间”，可先算出小峰和爸爸各自的工作效率：小峰的工作效率为$\frac{1}{4}$，爸爸的工作效率为$\frac{1}{2}$；②找等量关系：小峰完成的工作量 + 爸爸完成的工作量 = 总工作量1，且两人总用时共3h，即爸爸的打扫时间=总用时-小峰的打扫时间；③设小峰的打扫时间为未知数，根据等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设这次小峰打扫了$x\ \mathrm{h}$，则爸爸打扫的时间为$(3-x)\ \mathrm{h}$。
根据题意列方程得：
$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$
去分母，两边同时乘4得：$x + 2(3-x) = 4$
去括号得：$x + 6 - 2x = 4$
移项、合并同类项得：$-x = -2$
系数化为1得：$x=2$
经检验，$x=2$符合实际题意。
答：这次小峰打扫了2 h。
【答案】
这次小峰打扫了$\boldsymbol{2\ \mathrm{h}}$
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题
【点评】
本题结合家庭大扫除的生活场景命题，贴近生活实际，解题核心是掌握工程问题的基本数量关系，准确找到总工作量、工作效率、工作时间三者的对应关系，找准等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.8
7 某项工作，甲单独做要$a$天完成，乙单独做要$b$天完成.现在甲单独做2天后，剩下的工作由乙单独做，则乙单独完成剩下的工作所需的天数是 （
A.$a - 2$
B.$b - \dfrac{2}{a}$
C.$\dfrac{a - 2}{b}$
D.$b(1 - \dfrac{2}{a})$
D
）A.$a - 2$
B.$b - \dfrac{2}{a}$
C.$\dfrac{a - 2}{b}$
D.$b(1 - \dfrac{2}{a})$
答案
7. D
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题思路如下：首先将总工作量看作单位“1”，分别求出甲、乙的工作效率；接着计算甲单独工作2天完成的工作量，进而求出剩余工作量；最后根据“工作时间=工作量÷工作效率”，用剩余工作量除以乙的工作效率，即可得到乙所需的工作天数。
【解析】
工程问题默认总工作量为单位“1”：
1. 求工作效率：甲单独做$a$天完成，因此甲的工作效率为$\frac{1}{a}$；乙单独做$b$天完成，因此乙的工作效率为$\frac{1}{b}$。
2. 计算甲2天的工作量：根据“工作量=工作效率×工作时间”，甲做2天完成的工作量为$2×\frac{1}{a}=\frac{2}{a}$。
3. 计算剩余工作量：剩余工作量=总工作量-甲完成的工作量，即$1-\frac{2}{a}$。
4. 计算乙的工作时间：工作时间=剩余工作量÷乙的工作效率，即$(1-\frac{2}{a})÷\frac{1}{b}=b(1-\frac{2}{a})$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
工程问题计算；列代数式
【点评】
本题是工程问题的基础考法，核心是掌握“总工作量设为单位1”“工作量=工作效率×工作时间”两个核心要点，主要考查对数量关系的梳理能力和代数式的运算能力，整体难度不高。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，解题思路如下：首先将总工作量看作单位“1”，分别求出甲、乙的工作效率；接着计算甲单独工作2天完成的工作量，进而求出剩余工作量；最后根据“工作时间=工作量÷工作效率”，用剩余工作量除以乙的工作效率，即可得到乙所需的工作天数。
【解析】
工程问题默认总工作量为单位“1”：
1. 求工作效率：甲单独做$a$天完成，因此甲的工作效率为$\frac{1}{a}$；乙单独做$b$天完成，因此乙的工作效率为$\frac{1}{b}$。
2. 计算甲2天的工作量：根据“工作量=工作效率×工作时间”，甲做2天完成的工作量为$2×\frac{1}{a}=\frac{2}{a}$。
3. 计算剩余工作量：剩余工作量=总工作量-甲完成的工作量，即$1-\frac{2}{a}$。
4. 计算乙的工作时间：工作时间=剩余工作量÷乙的工作效率，即$(1-\frac{2}{a})÷\frac{1}{b}=b(1-\frac{2}{a})$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
工程问题计算；列代数式
【点评】
本题是工程问题的基础考法，核心是掌握“总工作量设为单位1”“工作量=工作效率×工作时间”两个核心要点，主要考查对数量关系的梳理能力和代数式的运算能力，整体难度不高。
【难度系数】
0.7
