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8 新情境 数学文化 [2025 吉林]《孙子算经》中记载了这样一道题:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问车几何? 其大意为有若干人乘车,若每 3 人同乘一车,最终剩余 2 辆空车;若每 2 人同乘一车,最终剩下 9 人因无车可乘而步行.问:共有多少辆车? 设共有 x 辆车,则可列方程为
$3(x-2)=2x+9$
.答案
8. $3(x-2)=2x+9$
解析
【分析】
列方程解应用题的核心是找到不变的等量关系，本题中乘车的总人数始终固定，因此我们只需用含车辆数x的式子分别表示两种乘车方案下的总人数，令二者相等即可列出方程。第一步分析第一种乘车方案：每3人乘1车，剩余2辆空车，说明实际参与载人的车辆数为总车数减空车数，即(x-2)辆，总人数可表示为3(x-2)；第二步分析第二种乘车方案：每2人乘1车，剩余9人步行，说明x辆车全部坐满还多9人，总人数可表示为2x+9；最后根据总人数相等联立两个式子即可。
【解析】
设共有x辆车，由于两种乘车方案的总人数相等：
1. 每3人共乘一车，剩2辆空车时，载人车辆数为(x-2)辆，总人数为：$\boldsymbol{3(x-2)}$
2. 每2人共乘一车，剩9人步行时，坐车总人数为2x，加上步行的9人，总人数为：$\boldsymbol{2x+9}$
因为总人数不变，所以可列方程：$3(x-2)=2x+9$
【答案】
$3(x-2)=2x+9$
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 等量关系确定
【点评】
本题结合传统数学文化考查列方程解应用题，解题关键是抓住总人数这一不变量，学会从不同的场景表述中表示同一总量，是方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
列方程解应用题的核心是找到不变的等量关系，本题中乘车的总人数始终固定，因此我们只需用含车辆数x的式子分别表示两种乘车方案下的总人数，令二者相等即可列出方程。第一步分析第一种乘车方案：每3人乘1车，剩余2辆空车，说明实际参与载人的车辆数为总车数减空车数，即(x-2)辆，总人数可表示为3(x-2)；第二步分析第二种乘车方案：每2人乘1车，剩余9人步行，说明x辆车全部坐满还多9人，总人数可表示为2x+9；最后根据总人数相等联立两个式子即可。
【解析】
设共有x辆车，由于两种乘车方案的总人数相等：
1. 每3人共乘一车，剩2辆空车时，载人车辆数为(x-2)辆，总人数为：$\boldsymbol{3(x-2)}$
2. 每2人共乘一车，剩9人步行时，坐车总人数为2x，加上步行的9人，总人数为：$\boldsymbol{2x+9}$
因为总人数不变，所以可列方程：$3(x-2)=2x+9$
【答案】
$3(x-2)=2x+9$
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 等量关系确定
【点评】
本题结合传统数学文化考查列方程解应用题，解题关键是抓住总人数这一不变量，学会从不同的场景表述中表示同一总量，是方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
9 一水池有甲、乙两个进水管，单开甲进水管需20小时可注满水池，两个进水管齐开只需12小时便可注满水池，那么单开乙进水管需________小时可注满水池。
答案
9. 30
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时我们可以把注满整个水池的总工作量看作单位“1”。解题思路如下：第一步，根据“工作效率=总工作量÷工作时间”，先分别求出甲进水管的工作效率，以及甲、乙两管齐开的工作效率之和；第二步，用两管的效率和减去甲管的效率，就能得到乙管单独的工作效率；第三步，再根据“工作时间=总工作量÷工作效率”，用总工作量1除以乙管的效率，就能求出单开乙管注满水池的时间。
【解析】
我们把注满水池的总工作量看作单位“1”。
1. 计算甲进水管的工作效率：单开甲管20小时注满水池，因此甲的效率为 $\frac{1}{20}$。
2. 计算甲、乙两管齐开的工作效率之和：两管齐开12小时注满水池，因此效率和为 $\frac{1}{12}$。
3. 计算乙进水管的工作效率：$\frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5}{60} - \frac{3}{60} = \frac{1}{30}$。
4. 计算单开乙管的注满时间：$1 ÷ \frac{1}{30} = 30$（小时）。
【答案】
30
【知识点】
工程问题，工作效率与时间关系，分数运算
【点评】
本题是工程问题的基础题型，核心是将总工作量设为单位“1”，熟练运用工作量、工作效率、工作时间三者的关系即可求解，解题时注意分数通分计算的准确性。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程类应用题，解题时我们可以把注满整个水池的总工作量看作单位“1”。解题思路如下：第一步，根据“工作效率=总工作量÷工作时间”，先分别求出甲进水管的工作效率，以及甲、乙两管齐开的工作效率之和；第二步，用两管的效率和减去甲管的效率，就能得到乙管单独的工作效率；第三步，再根据“工作时间=总工作量÷工作效率”，用总工作量1除以乙管的效率，就能求出单开乙管注满水池的时间。
【解析】
我们把注满水池的总工作量看作单位“1”。
1. 计算甲进水管的工作效率：单开甲管20小时注满水池，因此甲的效率为 $\frac{1}{20}$。
2. 计算甲、乙两管齐开的工作效率之和：两管齐开12小时注满水池，因此效率和为 $\frac{1}{12}$。
3. 计算乙进水管的工作效率：$\frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5}{60} - \frac{3}{60} = \frac{1}{30}$。
4. 计算单开乙管的注满时间：$1 ÷ \frac{1}{30} = 30$（小时）。
【答案】
30
【知识点】
工程问题，工作效率与时间关系，分数运算
【点评】
本题是工程问题的基础题型，核心是将总工作量设为单位“1”，熟练运用工作量、工作效率、工作时间三者的关系即可求解，解题时注意分数通分计算的准确性。
【难度系数】
0.8
10 一题多解 食堂有煤若干，原来每天烧3吨煤，烧去15吨后，改进设备，耗煤量为原来的一半，结果多烧了10天.求原存煤量.
答案
10. 解法一:设原存煤量为$x$吨. 根据题意,得$\frac{15}{3}+\frac{x-15}{3×\frac{1}{2}}=\frac{x}{3}+10$. 解这个方程,得$x=45$. 答:原存煤量为45吨
解法二:设改进设备前可烧$x$天. 根据题意,得$\frac{3x-15}{3×\frac{1}{2}}=x-\frac{15}{3}+10$. 解这个方程,得$x=15$. 所以$3x=45$. 答:原存煤量为45吨
解法二:设改进设备前可烧$x$天. 根据题意,得$\frac{3x-15}{3×\frac{1}{2}}=x-\frac{15}{3}+10$. 解这个方程,得$x=15$. 所以$3x=45$. 答:原存煤量为45吨
解析
【分析】这是一道列一元一次方程解决实际问题的应用题，解题核心是抓住“改进设备后比原计划多烧10天”的等量关系，可选择两种设未知数的思路：一是直接设原存煤量为未知数，分别表示出实际烧煤总天数和原计划烧煤总天数，根据天数差列方程；二是间接设原计划烧煤的天数为未知数，先求出计划烧煤天数再计算总存煤量，根据改进设备后剩余煤的烧煤天数差列方程。
【解析】
解法一：直接设元法
设原存煤量为$x$吨。
原计划每天烧3吨，原计划总烧煤天数为$\frac{x}{3}$天；实际先烧15吨，耗煤天数为$\frac{15}{3}=5$天，改进设备后每天耗煤量为$3×\frac{1}{2}=1.5$吨，剩余煤量为$(x-15)$吨，剩余煤的烧煤天数为$\frac{x-15}{1.5}$天，实际总烧煤天数为$5+\frac{x-15}{1.5}$天。
根据实际比原计划多烧10天，列方程：
$\frac{15}{3}+\frac{x-15}{3×\frac{1}{2}}=\frac{x}{3}+10$
化简求解：
$5+\frac{2(x-15)}{3}=\frac{x}{3}+10$
两边同乘3消去分母：
$15 + 2(x-15) = x + 30$
$15 + 2x - 30 = x + 30$
解得$x=45$。
解法二：间接设元法
设原存煤量按原计划可烧$x$天，则原存煤量为$3x$吨。
先烧15吨用的天数为$\frac{15}{3}=5$天，原计划烧完剩余煤需要的天数为$x-5$天；剩余煤量为$3x-15$吨，改进设备后每天烧1.5吨，实际烧完剩余煤的天数为$\frac{3x-15}{1.5}$天。
根据实际烧剩余煤比原计划多10天，列方程：
$\frac{3x-15}{3×\frac{1}{2}}=x-\frac{15}{3}+10$
化简求解：
$2x -10 = x +5$
解得$x=15$
则原存煤量为$3x=3×15=45$吨。
【答案】原存煤量为45吨
【知识点】一元一次方程应用；直接设元法；间接设元法
【点评】本题考查利用一元一次方程解决实际问题，解题关键是抓住“多烧10天”的核心等量关系，既可以直接设所求量为未知数求解，也可以通过间接设中间量简化计算，有利于培养发散思维和多角度分析问题的能力。
【难度系数】0.7
【解析】
解法一：直接设元法
设原存煤量为$x$吨。
原计划每天烧3吨，原计划总烧煤天数为$\frac{x}{3}$天；实际先烧15吨，耗煤天数为$\frac{15}{3}=5$天，改进设备后每天耗煤量为$3×\frac{1}{2}=1.5$吨，剩余煤量为$(x-15)$吨，剩余煤的烧煤天数为$\frac{x-15}{1.5}$天，实际总烧煤天数为$5+\frac{x-15}{1.5}$天。
根据实际比原计划多烧10天，列方程：
$\frac{15}{3}+\frac{x-15}{3×\frac{1}{2}}=\frac{x}{3}+10$
化简求解：
$5+\frac{2(x-15)}{3}=\frac{x}{3}+10$
两边同乘3消去分母：
$15 + 2(x-15) = x + 30$
$15 + 2x - 30 = x + 30$
解得$x=45$。
解法二：间接设元法
设原存煤量按原计划可烧$x$天，则原存煤量为$3x$吨。
先烧15吨用的天数为$\frac{15}{3}=5$天，原计划烧完剩余煤需要的天数为$x-5$天；剩余煤量为$3x-15$吨，改进设备后每天烧1.5吨，实际烧完剩余煤的天数为$\frac{3x-15}{1.5}$天。
根据实际烧剩余煤比原计划多10天，列方程：
$\frac{3x-15}{3×\frac{1}{2}}=x-\frac{15}{3}+10$
化简求解：
$2x -10 = x +5$
解得$x=15$
则原存煤量为$3x=3×15=45$吨。
【答案】原存煤量为45吨
【知识点】一元一次方程应用；直接设元法；间接设元法
【点评】本题考查利用一元一次方程解决实际问题，解题关键是抓住“多烧10天”的核心等量关系，既可以直接设所求量为未知数求解，也可以通过间接设中间量简化计算，有利于培养发散思维和多角度分析问题的能力。
【难度系数】0.7
11 [2025广西]自2025年5月9日起至2025年12月31日,周末自驾游广西的外省籍小客车,可享受高速公路车辆通行费(以下简称高速费)优惠.小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩,此次全程所产生的高速费享受的优惠如下表:
(1) 周六小悦一家从湖南Z市到广西A市,所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为$a$元,$b$元和$c$元.此行程的高速费实付多少元?比原价优惠了多少元(用代数式表示)?
(2) 周日他们从A市到K市(全程在广西境内),高速费实付27.55元;周一从K市原路返回到A市,高速费实付95.95元.求此行程中A市与K市之间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元.
(1) 周六小悦一家从湖南Z市到广西A市,所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为$a$元,$b$元和$c$元.此行程的高速费实付多少元?比原价优惠了多少元(用代数式表示)?
(2) 周日他们从A市到K市(全程在广西境内),高速费实付27.55元;周一从K市原路返回到A市,高速费实付95.95元.求此行程中A市与K市之间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元.
答案
11. (1) 实付为$0.95a+0+0.5c=(0.95a+0.5c)$元. 因为此次行程高速费原价总共为$(a+b+c)$元,所以比原价优惠了$a+b+c-(0.95a+0.5c)=(0.05a+b+0.5c)$元 (2) 由题意,得广西境内其他路段的单程高速费原价为$27.55÷0.5=55.1$(元). 设广西境内特定路段的单程高速费原价为$x$元. 根据题意,得$0.95(x+55.1)=95.95$,解得$x=45.9$. 所以此行程中A市与K市之间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元
解析
【分析】
(1) 先判断周六属于周五至周日的时间段，对照表格提取各路段对应的优惠折扣：湖南境内路段按原价的0.95收费，广西境内特定路段免费，广西境内其他路段按原价的0.5收费。实付费用为各路段优惠后费用的和，优惠费用等于总原价减去实付费用，据此列代数式即可。
(2) 首先判断周日属于周五至周日时段，全程在广西境内时特定路段免费，仅其他路段按5折收费，结合实付金额可先求出广西境内其他路段的原价；再判断周一属于周一至周四时段，原路返回时两段路段原价不变，此时广西境内路段按9.5折收费，根据实付金额列一元一次方程求解特定路段的原价即可。
【解析】
(1) 周六属于周五至周日的优惠时段：
湖南境内路段实付费用为$0.95a$元，广西境内特定路段全免实付0元，广西境内其他路段实付费用为$0.5c$元，
因此总实付费用为$0.95a + 0 + 0.5c = (0.95a + 0.5c)$元。
本次行程高速费总原价为$(a+b+c)$元，
优惠费用为总原价减去实付费用，即$(a+b+c) - (0.95a + 0.5c) = (0.05a + b + 0.5c)$元。
(2) 周日属于周五至周日的优惠时段，全程在广西境内时特定路段全免，实付的27.55元为其他路段5折后的费用，
因此广西境内其他路段的单程原价为：$27.55 ÷ 0.5 = 55.1$（元）。
设广西境内特定路段的单程高速费原价为$x$元，
周一属于周一至周四的优惠时段，广西境内路段按9.5折收费，原路返回的总原价为$(x + 55.1)$元，根据实付金额列方程：
$0.95(x + 55.1) = 95.95$
解得$x + 55.1 = 101$，即$x = 45.9$。
【答案】
(1) 实付$(0.95a + 0.5c)$元，比原价优惠$(0.05a + b + 0.5c)$元；
(2) 广西境内特定路段单程高速费原价为45.9元，其他路段单程高速费原价为55.1元。
【知识点】
列代数式，一元一次方程应用，折扣问题
【点评】
本题贴近生活实际，考查从表格中提取信息、利用折扣规则列式计算和列方程解应用题的能力，解题的核心是准确匹配不同时段对应路段的优惠政策，找准等量关系。
【难度系数】
0.7
(1) 先判断周六属于周五至周日的时间段，对照表格提取各路段对应的优惠折扣：湖南境内路段按原价的0.95收费，广西境内特定路段免费，广西境内其他路段按原价的0.5收费。实付费用为各路段优惠后费用的和，优惠费用等于总原价减去实付费用，据此列代数式即可。
(2) 首先判断周日属于周五至周日时段，全程在广西境内时特定路段免费，仅其他路段按5折收费，结合实付金额可先求出广西境内其他路段的原价；再判断周一属于周一至周四时段，原路返回时两段路段原价不变，此时广西境内路段按9.5折收费，根据实付金额列一元一次方程求解特定路段的原价即可。
【解析】
(1) 周六属于周五至周日的优惠时段：
湖南境内路段实付费用为$0.95a$元，广西境内特定路段全免实付0元，广西境内其他路段实付费用为$0.5c$元，
因此总实付费用为$0.95a + 0 + 0.5c = (0.95a + 0.5c)$元。
本次行程高速费总原价为$(a+b+c)$元，
优惠费用为总原价减去实付费用，即$(a+b+c) - (0.95a + 0.5c) = (0.05a + b + 0.5c)$元。
(2) 周日属于周五至周日的优惠时段，全程在广西境内时特定路段全免，实付的27.55元为其他路段5折后的费用，
因此广西境内其他路段的单程原价为：$27.55 ÷ 0.5 = 55.1$（元）。
设广西境内特定路段的单程高速费原价为$x$元，
周一属于周一至周四的优惠时段，广西境内路段按9.5折收费，原路返回的总原价为$(x + 55.1)$元，根据实付金额列方程：
$0.95(x + 55.1) = 95.95$
解得$x + 55.1 = 101$，即$x = 45.9$。
【答案】
(1) 实付$(0.95a + 0.5c)$元，比原价优惠$(0.05a + b + 0.5c)$元；
(2) 广西境内特定路段单程高速费原价为45.9元，其他路段单程高速费原价为55.1元。
【知识点】
列代数式，一元一次方程应用，折扣问题
【点评】
本题贴近生活实际，考查从表格中提取信息、利用折扣规则列式计算和列方程解应用题的能力，解题的核心是准确匹配不同时段对应路段的优惠政策，找准等量关系。
【难度系数】
0.7
12 新情境 生活实际 某服装厂要生产一批某种型号的学生服装.已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条,1件上衣和1条裤子为一套,计划用600米长的这种布料生产,应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？
答案
12. 设用$x$米长的布料生产上衣,则用$(600-x)$米长的布料生产裤子. 根据题意,得$x:(600-x)=3:2$,即$2x=3(600-x)$. 解这个方程,得$x=360$,此时$600-x=240,360÷3×2=240$(套). 答:用360米长的布料生产上衣,240米长的布料生产裤子才能恰好配套,共能生产240套
解析
【分析】这是配套类一元一次方程应用题，解题核心是抓住“1件上衣配1条裤子，即生产的上衣总数量=裤子总数量”的等量关系。我们可以先设生产上衣的布料长度为x米，那么生产裤子的布料长度就是总长度减去x米；再根据已知条件，分别用含x的式子表示出上衣、裤子的总数量，根据两者相等的关系列方程求解即可，也可直接根据配套时上衣、裤子的用料比列比例方程计算。
【解析】
解：设用$x$米长的布料生产上衣，则用$(600-x)$米长的布料生产裤子。
要恰好配套，上衣和裤子的用料比为$3:2$，据此列方程：
$x:(600-x)=3:2$
根据比例的基本性质，得：
$2x=3(600-x)$
解方程：
$2x=1800-3x$
$5x=1800$
$x=360$
则生产裤子的布料长度为：$600-360=240$（米）
共能生产的套数为：$360÷3×2=240$（套）
答：用360米长的布料生产上衣，240米长的布料生产裤子才能恰好配套，共能生产240套。
【答案】用360米长的布料生产上衣，240米长的布料生产裤子才能恰好配套，共能生产240套。
【知识点】一元一次方程应用；配套问题；列方程解应用题
【点评】本题结合服装生产的实际场景命题，考查学生从实际问题中提取等量关系、构建方程解决问题的能力，解题关键是明确配套要求，理清布料长度与服装件数的对应关系。
【难度系数】0.75
【解析】
解：设用$x$米长的布料生产上衣，则用$(600-x)$米长的布料生产裤子。
要恰好配套，上衣和裤子的用料比为$3:2$，据此列方程：
$x:(600-x)=3:2$
根据比例的基本性质，得：
$2x=3(600-x)$
解方程：
$2x=1800-3x$
$5x=1800$
$x=360$
则生产裤子的布料长度为：$600-360=240$（米）
共能生产的套数为：$360÷3×2=240$（套）
答：用360米长的布料生产上衣，240米长的布料生产裤子才能恰好配套，共能生产240套。
【答案】用360米长的布料生产上衣，240米长的布料生产裤子才能恰好配套，共能生产240套。
【知识点】一元一次方程应用；配套问题；列方程解应用题
【点评】本题结合服装生产的实际场景命题，考查学生从实际问题中提取等量关系、构建方程解决问题的能力，解题关键是明确配套要求，理清布料长度与服装件数的对应关系。
【难度系数】0.75
